第三章 矩阵.

1、第三章第三章 矩矩 阵阵3.1 3.1 矩阵的运算矩阵的运算 一、矩阵的加法一、矩阵的加法与 定义定义3.1 如果如果 )(ijaA )(ijbB 都是都是m mn n矩阵矩阵,并且并且它们的对应元素相等它们的对应元素相等,即即 ), 2 , 1 ;, 2 , 1(njmibajiji 那末就称矩阵那末就称矩阵A与矩阵与矩阵B相等相等,记作记作 A=B 、定义、定义3.2 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij

2、 ABBA 说明说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A1 1、定义、定义3.33.3.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规规定定为为或或的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数, AAA ;1A

3、A ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、定义、定义3.4 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 设设 是一个是一个 矩阵，矩阵， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB例例2

4、22263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例2 2?故故 121113121430415003112101ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB

5、BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m例例2 在线性方程组在线性方程组 ,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa(3.2) 中，如果记中，如果记 , , ,2121212222111211 nmmnmmnnxxxXbbbBaaaaaaaaaA则（则（3.2）式可写成矩阵形式）式可写成矩阵形式 相应的导出组可以写成相应的导出组可以写成 .BAX OAX

6、 (3.3)1.1.矩阵乘法一般不满足交换律。也就是说，矩阵乘法一般不满足交换律。也就是说，ABAB有意义时，有意义时，BABA不一定有意义。即使和都有意义它们不一定相等。不一定有意义。即使和都有意义它们不一定相等。 例例8 设矩阵设矩阵 naaaA21),(21nbbbB 则则ABAB和和BABA都有意义，但是都有意义，但是 nnnnnnnnbabababababababababbbaaaAB2122212121112121),( BA),(21nbbb naaa21nnababab 22112两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例例9 求矩阵求矩阵 2142A

7、6342B与与 的乘积的乘积AB及及BA. 解解 按公式有按公式有 ,168321663422142 AB.000021426342 BA由例由例9可知可知,矩阵的乘法不满足交换律矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下即在一般情况下 .BAAB 因此，当因此，当 OAB 时，一般不能得出时，一般不能得出 OA 或或 OB 的结论。的结论。 注意注意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 设设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有, AB22 2

8、2 BA22 2 2.BAAB 定义定义 3.5 主对角上的元素都是主对角上的元素都是1，其余元素都是零的，其余元素都是零的n n n n矩阵矩阵 100010001称为称为n n阶单位矩阵，记阶单位矩阵，记 nE3.3.对任意的矩阵对任意的矩阵 nmA ，有，有 nmnmmAAE nmnnmAEA 即单位矩阵起着与数字乘法中数即单位矩阵起着与数字乘法中数1相同的作用。相同的作用。 例例10 如果两个如果两个n n n n矩阵矩阵A A和和B B满足满足 AB=BA，则称，则称A A和和B B是可交换的是可交换的。 有了矩阵的乘法有了矩阵的乘法,就可以定义就可以定义n阶方阵的幂阶方阵的幂.设设

9、A是是n阶阶方阵方阵,定义定义 , ,21AAAAAAAAAk 其中其中k为正整数为正整数.这就是说这就是说, 就是就是k个个A连乘。显然只有连乘。显然只有方阵的幂才有意义方阵的幂才有意义. 由于矩阵乘法适合结合律由于矩阵乘法适合结合律,所以方阵的幂满足以下运算所以方阵的幂满足以下运算规律规律: ,)( ,kllklklkAAAAA 其中其中k、l为正整数为正整数.又因矩阵乘法一般不满足交换律又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以所以对于两个对于两个n阶方阵阶方阵A与与B,一般说来一般说来 .)(kkkBAAB 例例 计算下列乘积：计算下列乘积： 21322 1 解解 213221 12 22 1

10、2 22 13 23 .634242 3213332312322211312113212bbbaaaaaaaaabbb 解解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 定义定义3.5把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . AAA mnnnmmTmnmmnnaaaaaaaaaAaaa

11、aaaaaaA212221212111212222111211 ,例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB由于由于n维列向量维列向量 可以看成可以看成n n 1 1矩阵，因此常记矩阵，因此常记n维列向量维列向量 Tnaaa),(21 ),(21nTaaa 或或 转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 我们仅证明我们仅证明(4). 设设 ,)(,)(nsijsmijbBaA 记记 .)(,)(mnijTTnmijdDABcCAB 于是按公式于是按公式(3.3),有有 skkijkjibac1,而而 T

12、B的第的第i行为行为 TsiiAbb),(1的第的第j列为列为 Tjsjaa),(1因此因此 skkijkskjkkijibaabd11,所以所以 ), 2 , 1 ;, 2 , 1(mjnicdjiij .)(TTTABAB 例例11 11 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 应该注意应该注意,方阵与行列式是两个不同的概念方阵与行列式是两个不