第六章用有限单元法解

1、弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五第六章第六章 用有限单元法解用有限单元法解 平面问题平面问题概述概述1.1.有限元法有限元法(Finite Element Method，简称简称FEM) 是弹是弹力的一种近似解法。力的一种近似解法。首先将连续体变换为离散化结构，首先将连续体变换为离散化结构，然后再应用结力方法或变分法进行求解。然后再应用结力方法或变分法进行求解。（1）具有）具有通用性和灵活性通用性和灵活性。2. FEM的特点的特点（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。弹性力学

2、Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 3. FEM简史简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的概念。 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立，应用于工程问题。1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五4. FEM的两种主要导出方法的两种主要导出方法:

3、:应用结构力学方法导出。应用变分法导出。5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位移求解的方法。且一般都以平面应力问题来表示。弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示 采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。本章无特别指明，均表示为平面应力问题平面应力问题的公式。T()xyfffT( ( , ), ( , )u x yv x yd。T()xyxyT()xyxyT()iijjuvuvT()ixiyjxjyFFFFF基本物理量基本物理量：T()xyfff。体力面力位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵弹性力学Me

4、chanics of Elasticity2022年3月18日星期五物理方程)(b,D)(2100010112cE。DFEM中应用的方程：中应用的方程：T()( )uvuvaxyxy几何方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是对于平面应变问题是21EE1弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 在FEM中，虚功方程代替平衡微分方程及应力边界条件。TT()()d dAx yt*F虚功方程其中* 结点虚位移， 对应的虚应变。*,iiyvF*,iixuFjjyvF ,*,jjxuFijxyO弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月1

5、8日星期五2. 再应用结构力学方法进行求解。6-2 有限单元法的概念 FEM的概念的概念，可以简述为：用结构力学方法求解弹力问题用结构力学方法求解弹力问题。1. 将连续体变换为离散化结构。以下来导出FEM。1. 结构离散化结构离散化将连续体变换为离散化结构； 结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系。FAB123456789弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹力研究的对象，是连续体。 深梁 将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用

6、绞连结起来，构成所谓离散化结构离散化结构。 深梁（离散化结构） 例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。桁架的单元是杆件，而深梁的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五分析步骤如下：分析步骤如下：（1）取三角形单元的结点位移为基本未知量，它们是：TeijmTiijjmmuvuvuve 称为单元的结点位移列阵（2）应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数，即求出关系式e , , u xyv xydN 插值公式表示单元中的位移分布形式，称为位移模式，N 称为形函数矩阵。a（

7、 ）ijmxyOivmvjviumuju弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五eS 。eB 。b（ ）ee( ijmFFFFk 。（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应单元的应变变。（4）应用物理方程，由单元的应变 ，求出单元的应力单元的应力。c（ ）（5）应用虚功方程，由单元的应力 ，求出单元的结点力单元的结点力。d（ ）ijmxyOixFiyFjxFjyFmxFmyFivmvjviumujuiyFixFi 结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。T(ixiyFFiF弹性力学Mechanics of Elasticit

8、y2022年3月18日星期五ijmxyOixFiyFjxFjyFmxFmyFivmvjviumujuiyFixFi 单元对结点的作用力，与 数值相同,方向相反，作用于结点。T(ixiyFF iFiF（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功等效原则移置到结点上，化为结点荷载结点荷载。 eTL(LiLjLmFFFFe（ ） 求解联立方程 ，得出各结点位移值，并从而求出各单元的应变和应力。作用于结点i上的力有：1、各单元对i 结点的结点力 ；2、各单位移置到i 结点上的结点荷载,iFLiF ,Lee,(1,2,)iiiFF（7）对每一结点建立平衡方程对每一结点建立平衡方程。f（ ）弹性力学Mechan

9、ics of Elasticity2022年3月18日星期五建立结点平衡方程组，求解各结点的位移。1. 将连续体变换为离散化结构。归纳起来，FEM分析的主要内容分析的主要内容：2.应用结构力学方法求解离散化结构,对单元进行分析：求出（1）单元的位移模式（2）单元的应变和应力列阵 （3）单元的结点力列阵（4）单元的结点荷载列阵 整体分析：弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 FEM是取结点位移 为基本未知数的。但其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公式求应变、应力时，必须首先解决：如何由单元的结点位移 来求出单元的位移函数 eT(ijmiT( ( ,

10、)( , )u x yv x yd。6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性 e 应用插值公式，可由 求出位移d。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式位移模式。 泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。三角形单元的位移模式，可取为。yxvyxu654321,a（ ）弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyOivmvjviumuju123456iiiiiiuxyvxy 在i、j、m三个结点，位移函数等于该结点位移值123456jjjjjjuxyvxy123456mmmmmmuxyvxy1111iiijjjmmmiijjmmuxyu

11、xyuxyxyxyxyjmmjimiimjijjimjmmjmiimijjix yx yux yx yux yx y ux yx yx yx yx yx y弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五2111111iijjmmiijjmmuyuyuyxyxyxyjmimijijmjmmjmiimijjiyyuyy uyyux yx yx yx yx yx y123iiiuxy123jjjuxy123mmmuxy3111111iijjmmiijjmmxuxuxuxyxyxymjiimjjimjmmjmiimijjixxuxxuxx ux yx yx yx yx

12、 yx y弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyOqpr 在三角形ijm三的面积为111222imimijijjmjmAxxyyxxyyxxyy12jmmjmiimijjix yx yx yx yx yx y 结点i、j、m的次序必须逆时针转向 现引用记号ijmmjax yx yijmbyyimjcxx12iijjmmaua ua uA22iijjmmbub ub uA32iijjmmcuc uc uA 同理42iijjmmava va vA52iijjmmbvb vb vA62iijjmmcvc vc vA弹性力学Mechanics of

13、Elasticity2022年3月18日星期五 代入（a）式，整理后得：iijjmmiijjmmuN uN uN uvN vN vN vb（ ）其中),(,2)(mjiAycxbaNiiii111, , ,111jjmmiiijjmmxyxyxyNi j mxyxyxy或 （b）式也可表示如下：iijjmmiijjmmN uN uN uuN vN vN vv de N000000ijmijmNNNNNNN其中弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 三结点三角形单元的位移模式，略去了二次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了x、y 的一次项，所以在单

14、元中Ni 如（a）所示，u、v的分布如图（b）、（c）所示。 2Oxijm1（a）Ni 的分布图ijmiujumu（b）u的分布图ijmivjvmv（c）v的分布图 Ni 、Nj 、Nm 是坐标的线性函数，反映了单元的位移形态，称为位移的形态函数。简称为形函数。1,0,0iiiijmNNN弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了保证保证FEM收敛性收敛性, ,位移模式位移模式应满足下列条件：应满足下列条件： FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。0,yx （1）位移模式必须能反

15、映单元的刚体位移。（2）位移模式必须能反映单元的常量应变。 因为当单元为无穷小时，单元中的位移和应变都趋近于基本量刚体位移和常量位移。将式（a）写成。xxyvyyxu22,22353564353521弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五与刚体位移相比,00 xvvyuu。xxyvyyxu22,22353564353521可见刚体位移项在式（a）中均已反映。5301042uv,5362xyyx常量应变也已反映弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 连续体的位移连续性。 在

16、三角形单元内部，位移为连续； ijmxyOp 在相邻两单元边界ij 上，i 点及j点位移相同，公共边界上位移分量也是线性变化，所以两相邻单元在具有相同的位移，也为连续。 为了保证FEM的收敛性，（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五6-4 单元的应变列阵和应力列阵 。mmjjiimmjjiivNvNvNvuNuNuNu,),(2/ )(mjiAycxbaNiiii。其中，单元中的位移函数单元中的位移函数已用位移模式表示为 由几何方程，求出单元的应变列阵：T0001()0002iiijmjijmjiij

17、jmmmmuvbbbuuvvucccvxyxyAcbcbcbuva（ ）eB 。弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五(),(b)ijmBBBB010( , ,)(c)2iiiibci j mAcbiB。,(d)eeDDBSS称为应力转换矩阵应力转换矩阵，写成分块形式为再应用物理方程，求出单元的应力列阵：B 称为应变矩阵应变矩阵，用分块矩阵表示，弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，

18、且相邻单元的应力是跳跃式的。)(),(emjiSSSS)(),(2121)1 (22fmjibccbcbAEiiiiii。iiDBS),( xo 弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五6-5 单元的结点力列阵与 劲度矩阵 现在来考虑其中一个单元： 在FEM中，首先将连续体变换为离散化结构的模型连续体变换为离散化结构的模型。ijmxyOixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFi（2）单元与周围的单元在边界上已没有联系，只在结点i、j、m互相联系。（1）将作用于单元上的各种外荷载，按静力等效原则移置到结点上去，化为等效结点荷载。故单元内已没有外荷载

19、。弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五T() ;eijmFFFFT()xyxy。按虚功方程，在虚位移上，外力的虚功等于应力的虚功外力的虚功等于应力的虚功。而其内部有应力作用， 考察已与结点切开后的单元ijm，则此单元上作用有外力结点力 ，应用虚功方程，求单元的结点力：eF)()(*e)(* 代入虚功方程：在单元中，外力（结点力 ）在虚位移（结点虚位移 ）上的虚功，等于应力 在虚应变 上的虚功，e() ,*e() ,*dN ,)(e*B 假设发生一组结点虚位移 则单元内单元内任一点（x,y）的虚位移为 则单元内任一点（x,y）的虚应变为e TeT()

20、)()d dAx yt*Fa（ ）即弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五式(b)是由应力求结点力的一般公式。TeTeTT()( () )() ),*B Be)(*eTeeTT() )() )d d Ax yt*FB eTd dAx ytFB 其中 与x、y无关，故式(a) 成为代入 (b)因为 是独立的任意的虚位移e)(*得出e TeT() )()d dAx yt*F虚功方程弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五eTeed d (),(c)Ax yt*FB DBkTd d(d)Ax ytkB DB。元素)66

21、( 式（c）是由结点位移求结点力的一般公式，k 称为单元的劲度矩阵其中再将应力公式代入上式，得eS 。对于三角形单元，B矩阵内均为常数， 有）（eT,tAkB DB弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五）（e代入B、D，得出k如书中（6-37）及（6-38）所示。T,tAkB DBiiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkk（6-37）（6-38）21122114(1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtAc bb cc cb bk, ,; , ,ri j m si j m k是对称矩阵，它与单元的大小无关，

22、放大缩小单元的尺寸，k值不变。弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyixFiyFjxFjyFmxFmyFaa例：图示在平面应力情况下的等腰三角形单元。求形函数N、单元劲度矩阵K、应变矩阵B和应力矩阵S00ijmxaxx00ijmyyayijmmjax yx yijmbyyimjcxx200ijmaaaa0ijmccaca 212Aa() 2iiiiNabxc yA形函数N0ijmbabba 1002ixNaxyAa1002jyNxayAa2112mxyNaaxayAaa 00100001xyxyaaaaNxyxyaaaa 弹性力学Mechan

23、ics of Elasticity2022年3月18日星期五单元劲度矩阵K0ijmccaca 0ijmbabba 21122114(1)22rsrsrsrsrsrsrsrsrsb bc cb cc bEtAc bb cc cb bk2222012(1)02iiaEtaak222014(1)02ijaEtAak22222114(1)22imaaEtAaak2221024(1)0jjaEtAak2222211224(1)jmaaEtAaak2222222221122114(1)22mmaaaaEtAaaaak弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五单元劲度矩

24、阵K2222012(1)02iiaEtaak222014(1)02ijaEtAak22222114(1)22imaaEtAaak2221024(1)0jjaEtAak2222211224(1)jmaaEtAaak2222222221122114(1)22mmaaaaEtAaaaak22222222222222222222222200111100222211102222(1)011221122aaaaaaaaaaaEtaaaaaaaaaaaak弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五21001111100222211102222(1)01131221322

25、Etk10001000.50.500.50.500.50.500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5E01t 取 ，弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五0102iiiibcAcbiB应变矩阵B010020iaBAa200ijmaaaa0ijmccaca 0ijmbabba 001020jBaAa0102maBaAaa000010000200aaaaAaaaaB应力矩阵S22(1)1122iiiiiibcEbcAcbiiSDB2002(1)102iaESaAa2002(1)102jaESaAa弹性力学Mech

26、anics of Elasticity2022年3月18日星期五200ijmaaaa0ijmccaca 0ijmbabba 应力矩阵S22(1)1122iiiiiibcEbcAcbiiSDB2002(1)102iaESaAa2002(1)102jaESaAa22(1)1122maaESaaAaa210010011(1)1111002222ESa弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五2,2i6,3j5,6mxyO例：试写出图示在平面应力情况下的三角形单元的形函数N、应变矩阵B。265ijmxxx236ijmyyy2126ijmaaa 134ijmccc

27、341ijmbbb ijmmjax yx yijmbyyimjcxx121131iijjmmxyAxyxy弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五() 2iiiiNabxc yA2126ijmaaa 134ijmccc 341ijmbbb 213A 1121 3213iiiiNabxc yxyA11243213jjjjNab xc yxyA 1164213mmmmNab xc yxyA 000000ijmijmNNNNNNN弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五0102iiiibcAcbiB134ijmccc 3

28、41ijmbbb 应变矩阵B30101213iBA40103234jBA10104241mBA304010101030413133441B弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五eTLLLLTLLLLLL()()ixiyjxjymxmyFFFFFFijmFFFF66荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵 在FEM中，与结力相似，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载等效结点荷载，（1）刚体静力等效原则使原荷载与移置荷载的主矢量以及对同一点的主矩也相同。1. 移置原则移置原则（2）变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载 与移置荷载的虚功相等

29、。弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyOPyfPxfPfM 刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；在FEM中，采用变形体的静力等效原则 变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。 2. 集中力的移置公式集中力的移置公式 LixFLiyFLmxFLmyFLjxFLjyF 原荷载 作用于单位厚度单元中任一点（x,y）上；TPPP xyfff 移置荷载 作用于结点i、j、m。TeLLLL ijmFFFF 假设发生一组结点虚位移 ，则（x,y）点的虚位移为 eT* iijj

30、mmuvuvuvTe* *uvdN 弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五TTeeTeTLPP()()()tt*FdfN f 。使移置荷载的虚功等于原荷载的虚功：即：eTLPtFN f (a) 应用式(a)，将 fPt 代之为 并在边界上积分，得3. 单元边界单元边界Su上面力上面力 的移置公式的移置公式fdf steTLd (b)uSf stFN4. 单元内体力单元内体力f 的移置公式的移置公式 应用式(a)，将fPt代之为 并在边界上积分，得d dx ytfeTLd d (c)Ax ytFN f弹性力学Mechanics of Elasticity

31、2022年3月18日星期五 当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。例：设有均质等厚度的三角形单元受有重力荷载fP，作用在单元重心，求移置到各结点的荷载。ijmxyOPfMiyFB利用虚位移原理去除i点在垂直方向的约束，代以FiyPiyyyiM Ff3yyiM又P3iyfF 同理P3jyfF P3myfF 弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五ijmxyOPfMixFB去除i点在水平方向的约束，代以Fix0yM又0ixF 同理0jyF 0myFPixxyiM Ff例：设有均质等厚度的三角形单元ij边上受

32、有图示均布荷载P，求移置到各结点的荷载。ijmxyOqTeL210000233qltFTeLP111000333Ff弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五67结构的整体分析 结点平衡方程组 在单元分析中，从单元的结点位移求位移分布求应变求应力求结点力，为单元的内力分析；外荷载移置到结点荷载，为单元的外力分析。iFLiF 假设将结点i与周围的单元切开，则围绕i结点的每个单元，对i 结点有结点力( ）的作用, 也有外荷载移置的结点荷载（ ）的作用。下面考虑整体分析整体分析。i 结点的平衡条件结点的平衡条件为Lee,(1,2, ) (a)iiinFF对某一个

33、单元ijm其中 是对围绕i 结点的单元求和e,mjinninikF弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五代入（a）式 ，可表示为Le, ,e()(1,2, ) (b)innin i j min k F。在（b）式中i、j、m是单元内部的结点编号，称为局部编号；i=1,2,n是整体结构的结点编号，称为整体编号 将式（b）按整体结点编号排列，得整个结构的平衡方程组L (c)KFT12 , , n整体结点位移列阵TLL1L2L , , nFFFF整体结点荷载列阵K整体劲度矩阵元素Krs是相同整体编号的单元劲度矩阵元素krs叠加而成弹性力学Mechanics

34、of Elasticity2022年3月18日星期五例 图（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用， 试用有限单元法求解跨中的位移。若取0,1tF2 m1 mF1 m1 m1 m图（a）图（b）弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II 图（c）中，只有两个未知结点位移v1，v2 。其余的结点位移均为零。1 m1 mIII1234xy图（c）图（d）图（e） 未知的结点位移列阵是T12vv对应的结点荷载列阵是T02LFF 弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五1

35、 m1 mIII1234xy图（c） 下面我们直接来建立对应于未知结点位移的平衡方程式，111: = (a)2yL yeeFvFF222: =0 (b)yL yeevFF对于三角形单元，按照结点的局部编号（i、j、m ）， 结点力一般公式是Ii(2)j(3)m(4)TT= (c)ixiyjxjymxmyixiyjxjymxmyFFFFFFk弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II图（d）图（e）单元I、II的单元劲度矩阵均为21001111100222211102222(1)01131221322E

36、tk10001000.50.500.50.500.50.500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5Ek弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 Ii(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II图（d）图（e）单元I结点的局部编号与整体编号的关系是单元III局部编号整体编号整体编号i23j32m41单元 I234FFF234iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk单元 II321FFF321iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk弹性力学Mechanics of Elastici

37、ty2022年3月18日星期五 整体结点平衡方程 写成LKF1112131411212223242231323334334142434444LLLLKKKKFKKKKFKKKKFKKKKF每个子块是22的矩阵例如 的四个元素是结构的结点3沿x或y方向有单位位移而在结点2沿x或y方向的引起的结点力。23K1 m1 mIII1234xy弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 整体刚度矩阵的形成11121314212223243132333441424344KKKKKKKKKKKKKKKKK1 m1 mIII1234xy单元 I234FFF234iiijim

38、jijjjmmimjmmkkkkkkkkk单元 II321FFF321iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIImmmjmijmiijjijjiimimjiijjjiijmmimjmmkkkkkkkkkkkkkkkkkk弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 整体刚度矩阵的形成IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIImmmjmijmiijjijjiimimjiijjjiijmmimjmmkkkkkkkkkkkkkkkkkk10001000.50.500.50.500.50.

39、500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5EkIi(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II1.50.50.5010.50.51.50.5100.50.50.51.5000.5100101.50.500.50.51000.51.500.50.520.50.50.5001.50110.50.501.50.500.50.510.51.5EK弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 整体刚度矩阵的形成IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIImmmjmijmiijjijjiimimjiijjjii

40、jmmimjmmkkkkkkkkkkkkkkkkkk10001000.50.500.50.500.50.500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5EkIi(2)j(3)m(4)m(1)i(3)j(2)II1.50.50.5010.50.51.50.5100.50.50.51.5000.5100101.50.500.50.51000.51.500.50.520.50.50.5001.50110.50.501.50.500.50.510.51.5EK弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五 由位移边界条件u1=u2

41、=u3=v3=u4=v4=01.50.50.5010.50.51.50.5100.50.50.51.5000.5100101.50.500.50.51000.51.500.50.520.50.50.5001.50110.50.501.50.500.50.510.51.5E121.51211.502vFEv。EFvEFv54,56211 m1 mIII1234xy弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五2 m2 m2 m2 m2 N/m2 N/mxyO1 N/mxy1 2 3 4 5 6 I II III IV 设有对角受压的正方形薄板，荷载沿厚度均匀分布

42、，为2 N/m。取 ，01t 弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五单元刚度矩阵的建立单元刚度矩阵为10001000.50.500.50.500.50.500.50.5000101210.50.501.50.500.50.510.51.5Ek单元 I312FFF312iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk1 N/mxy1 2 3 4 5 6 I II III IV Ii(3)j(1)m(2)单元 I524FFF524iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkIIi(5)j(2)m(4)弹性力学Mechanics of Ela

43、sticity2022年3月18日星期五单元 I312FFF312iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk1 N/mxy1 2 3 4 5 6 I II III IV Ii(3)j(1)m(2)单元 II524FFF524iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkIIi(5)j(2)m(4)m(3)i(2)j(5)III单元 III253FFF253iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkkIVi(6)j(3)m(5)单元 IV635FFF635iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk弹性力学Mechanics of Elasticity20

44、22年3月18日星期五111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK整体刚度矩阵的形成IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIVIIIIVIVIIIIIIIIIIIIIIIVIIIIIIIIVIVIVIVIVjjjmijmjmmjjiimiimjmjiijijimmiiimmjjmjjmjimjmmmiijjijmmjimiijjmmmiijimii kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

45、kkkkkkkkkk1 N/mxy1 2 3 4 5 6 I II III IV 单元 I312FFF312iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk单元 III253FFF253iiijimjijjjmmimjmmkkkkkkkkk弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五0.2500.250.2500.2500.500.5000.2501.50.2510.250.250.2500.250.250.50.251.50.250.500.50.2500010.251.50.250.50.2500.250.2500.250.50.251.50.25

46、1000.2500.750.250.50.250.50.250.75EK0.2500.2500.250.50.250.501.50.250.50.250.2500.2510.250.250.251.500.25000.500.2500.2500.250.2500.5弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五由位移边界条件u1=u2=u4=v4=v5=v6=00.2500.250.2500.2500.500.5000.2501.50.2510.250.250.2500.250.250.50.251.50.250.500.50.2500010.251.50.2

47、50.50.2500.250.2500.250.50.251.50.251000.2500.750.250.50.250.50.250.75EK0.2500.2500.250.50.250.501.50.250.50.250.2500.2510.250.250.251.500.25000.500.2500.2500.250.2500.5弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五整体劲度矩阵简化为0.50.500000.51.50.250.50.25000.251.50.250.5000.50.251.50.25000.250.50.251.50.50000

48、0.50.5EK1233560.50.5000010.51.50.250.50.250000.251.50.250.50000.50.251.50.250000.250.50.251.50.5000000.50.50vvuEvuu结构的整体平衡方程为1233563.2531.2530.08810.3740.1760.176vvuvEuu得弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五单元的应力转换矩阵：对于单元、IV为10001000010100.50.500.50.5ES对于单元III为10001000010100.50.500.50.5ES弹性力学Mech

49、anics of Elasticity2022年3月18日星期五各单元的应力为331I21000100.08800001012.000 Pa00.50.500.50.50.4400 xyxyuvEvv 52II01000100253 Pa00.50.500.50.50.00000 xyxyuEv 弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五各单元的应力为25III3301000100.0880001010.374 Pa000.50.500.50.50.308xyxyvuEuv 633IV501000100.0000001010.37

50、4 Pa00.50.500.50.50.1320 xyxyuuEvu 弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elastici

51、ty2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mechanics of Elasticity2022年3月18日星期五弹性力学Mecha