必修1--第二章--基本初等函数基本题型分类

1、必修1第二章 根本初等函数I基此题型分类 题型一：指数与指数幕的运算和对数与对数的运算一化简求值：1化简1 解:3 (12)34(1、2)4 (1 、2) (.21)2化简232-.J2642解:23641)2(乏 1)2(26)2 三 2 (.王 1)2aba b2a2b21a21b21a21b2aba b1 12a2b21a21b21a空1b23化简3解:1 11b21 1(a°b。)1a21b"二含附加条件的幕的求值4.求以下各式的值.2(1)a2;(2) a4.解:(1)由 a5两边平方得:2aa 1225，即 a23 .1(a21a。)2指数函数、对数函数、幕函数

2、的定义题型二：5. (1)以下以x为自变量的函数，其中为指数函数的是a. y ( 5)xB. y ex(e 2.71828)C. y5xD.如果函数(a23a3)ax是指数函数，那么有A. a1 或a 2B. a 1C.d. a5 解：(1)B ; (2)C ;由指数函数的三大特征：ax的系数为1 ；底数a0,且a1的常数；指数位置上仅有自变量x .【规律总结】系数为1;底数为大于0且不等于1的常数;指数函数的指数仅有自变量 x .26.函数 f (x) (aa 1)log(a1)x是对数函数,那么实数 a1解得：a 1 .2a a 16解：a 10【规律总结】判断一个函数是否为对数函数的方法

3、:判断一个函数是对数函数必须是形如y loga x(a 0,且a 1)的形式，即必须满足以下条件:27函数f(x) (m2 m 1)xm m3是幕函数，且当x (0,)时，f(x)是增函数，贝U f(x)的解析式为7解：因为函数 f(x)2(m2 m 1)xm m 3是幕函数，所以2m2m1解得：m2 ； f(x)【规律总结】由幕函数的特征：指数为常数；底数为自变量；系数为1.题型三：指数函数、对数函数、幕函数的图象x 38 函数y a 3(a0,且a 1)的图象过定点 0,且a1)的图象过定点(3,4).x 3&解：(1)令 x 30, x 3, y 4，所以函数 y a 3(a【归

4、纳总结】函数y af(x) m恒过定点问题，令f (x)0解出x，那么定点为(x,1 m).如图是指数函数(1) y ax , (2) y bx, (3) y cx, (4) y dx的图象，那么a,b,c,d与1的大小关系为A. ab1cdB. ba1dcC.1 a b c dD. ab1dc令x 1，这时各自的函数值就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：B .9. (1)函数y loga(x 1) 2(a0,且a 1)的图象恒过点 .如下列图的曲线是对数函数y logaX , y logb x , y logc x ,y log d x图象，贝U a,b,c,d与1的大小关系为 9解：令

5、x 11, x 0,所以函数y loga(x 1)2(a0,且a 1)的图象恒过点(0, 2)【规律总结】对数函数恒过定点问题(1)求函数y m loga f(x)(a 0,且a 1)的图象过的定点时，只需令 f(x) 1求出x，即得定点为(x, m).令y 1，这时各自的真数就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：b a 1 d c 0.110如下列图，曲线是幕函数y xn在第一象限内的图象，n分别取 1,1, 一,2四个值，相应于曲线C1,C2,C3,C4的n依次为1 11 1A,竄一,1,2B.2,1，, 1C.,1,2, 1D. 2,1, 1, _2 2 2 210解：由幕函数的性质得

6、：答案： D .题型四：指数函数、对数函数、幕函数的性质(一)比拟大小yCi /i701X(A) a b c(B) b a c(C)c b a(D) c a(1)解：D【规律总结】1. 底数相同，指数不同，利用指数函数的单调性解决；2. 底数不同，指数相同，利用指数函数的图象解决；在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指 数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数函数所取值对应的函数值即可.3. 底数不同，指数也不同：采用中间量法取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1;或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数比方要比拟ac与bd的大

7、小，可取ad或bc为中间量，ac与ad利用函数的单调性比拟大小，bd与ad利用函数的图象比拟大小. a = Iog23.6, b= Iog43.2, c= Iog43.6，那么()A a>b>c B a>c> b C. b>a>c D. c>a> b解：B【规律总结】：1. 假设底数为同一常数，那么可根据对数函数的单调性直接进行比拟；2. 假设底数为同一字母，那么可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论;3假设底数不同，真数相同，那么可以根据对数函数的图象进行比拟；4.假设底数和真数均不相同，那么常借助1,0等中间值进行比拟.设 a

8、(3)5,b5A. a c b解：A【规律总结】：厶2 ()5,c ()5，那么a, b,c的大小关系是55B. a b c C.c a b D. b1. 假设指数相同，底数不同，那么考虑幕函数；2. 假设指数不同，底数相同，那么考虑指数函数；3. 假设指数与底数都不相同，那么考虑取中间量法；取中间量1,其中一个大于1,另一个小于1;或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数.比方要比拟ac与bd的大小，可取ad或bc为中间量，ac与ad利用函数的单调性比拟大小，bd与ad利用函数的图象比拟大小.(二)求函数值域或最值1111 求函数y ()x ()x 1在3,2上的值域.42

9、1 x1 x1 2x1 x11解：y(一)(一)1(一)(一)14222沁1 X1设 t (),T x 3,2 t 8,24(1) a0.80.7,b0.80.9,c 1.20'8，那么 a,b,c的大小关系是21 23111- y g(t) t t 1 (t -),所以函数y g(t)在t -上单调递减，在t ,8上单调递增,441313当 t 时，ymin；当 t 8 时，ymax (8)57 ；424113所以函数y ()x ( )x 1在3,2上的值域为二57 424【规律总结】2y g(t) at bt c ；由y g(t)at2bt c 在求形如：函数 y as2x bsx

10、 c, x m,n的值域.使用“换兀法设 t sx，从而原函数 y as2x bsx c变为关于t的一兀二次函数 x m, n，求出t sx的值域p,q，即t的范围为p,q，进而转化为求一元二次函数 t p,q上的值域此题使用了“换元法和“转化的数学思想.1 x2 2x 312.求函数y ()x 2x 3的值域.21 x2 2 x 3221 t12解：函数y ()的定义域为R;设t x 2x 3 (x 1)44，所以y () ,t 4,),2 21 2所以0 y 16，所求函数y G)x 2x 3的值域为(0,16.2【规律总结】求形如函数y af(x)的值域.使用“换元法设t f (x)，求

11、出tf (x)的值域m, n，从而转化为y g(t)at在tm, n的值域使用指数函数的单调性.213 x满足不等式2(log 0.5 x)7 log 0.5 x求函数f (x)Xx(log2)(log 2)的最值.24213 解：由 2(log 0.5 x)7 log0.5 x3 得(log 0.5 x3)( 2 log 0.5 x1)0,那么 3 log 0.5 x 1 ,23即 log 0.5 0.5 log0,5 x log 0.5 0.5xx又 f(x) (log2x) (log2°)(log2x "(叽乂 2)242(log 2 x) 3 log 2 x 2令

12、t log 2 x , . 2x8, 丄2那么 y h(t) t2 3t2,t1丄,3,231 yminh(：)y maxh( 3)2 .t 3 ,2【规律总结】求形如：x m, n时，函数ya(logs x)blog s x c(s 0,s1)的值域.使用“换元法设t logs x，由x m, n，求出t logs x值域p, q，即t的范围为p, q，进而转化为求一元次函数y g(t) at2 bt c在t p,q上的值域此题使用了“换元法和“转化的数学思想.214.求函数 y Iog2(x 2x 2), x 2,)的值域.2 214.解：设 t x 2x 2 (x 1)1，: x 2,)

13、，从而 t 2 , y g(t) log?"2,),y g(2) 1，所以函数 y log2 (x2 2x 2), x 2,)的值域为1,).【规律总结】求形如函数y logaf(x),x m, n的值域.使用"换元法设t f (x)，求出t f (x), x m, n的值域p,q，从而转化为求函数 y g(t) loga t,t p,q的值域此题使用了“换元法和“转化的数学思想.三解不等式15. (1).0.2x 25，求实数x的取值范围.1CCC(1) 解： 25(一)20.2 2 ,0.2x 250.2 2, x 2 ;所以实数 x 的取值范围是(2,).5(2) .

14、求不等式a2x 7 a4x 1(a 0,且a 1)中x的取值范围.(2).解：假设a1，那么 2x74x 1, /x3;假设0 a1 ,那么2x 74x1,二 x3;综上，当a1时，不等式a2x74x 1 .a (a0 ,且a 1)中x的取值范围为(,3)；2 x 74x 1当0 a 1时，不等式a a (a 0，且a 1)中x的取值范围为(3,).【规律总结】1.形如af(x) ag(x)的不等式，借助于指数函数y ax(a 0, a1)的单调性求解；如果a的值不确定,需分a 1与0a1两种情况讨论；2.形如ax b的不等式，注意将 b转化为以a底的指数幕的形式，再借助指数函数y a (a

15、0,a1)的单调性求解16.解以下不等式(1).log1 2x log1 (x 1)33(1)解: log 1 2x log1 (x 1)332x 0 x 10解得：x 12x x1所以不等式log 1 2xlog( x 1)的解集为(1,)33(2). log a 2x log a (x 1)(a> 0, a丰 1).解：loga2x loga(x 1)2x 0假设a 1，那么x 10解得：x2x x 12x 0假设0 a 1，那么x 10解得：x 1 ；2x x 1综上，当a 1时，不等式log a 2x loga( x 1)的解集为；当0 a 1时，不等式loga2x log a

16、(x 1)的解集为(1,).【规律总结】1.形如log a x log a b的不等式，可借助指数函数的单调性求解，假设底数a的值不确定，那么需对其分a> 1和0 v av 1两种情况讨论.2形如loga x b的不等式，要首先将 b化为以a为底数的对数形式，再进行求解.3.形如log a x log b x的形式，可借助对数函数的图象求解.题型五：复合函数的单调性判断及应用217判断函数f(x) log2(x2x)的单调性，并指出它的单调区间.217.解：令 x 2x 0,得 x 0 或 x 2函数 f(x) log2(x2 2x)的定义域为x| x 0或 x 2,设 xX2 (2,)

17、，且 X1 X2 ,f(X1)f(X2)2log2(X122x1) log 2(x22x2)log 2x,X1X2(X222)x1, x2(2,), x120, x220 ,又 x1x2 ； 0洛区 2)1X2(X22) log 2_2) 0，所以 f(xjf (x2)X2(X22)函数f(x) log 2(x2 2x)在(2,)上单调递增.同理可证：函数f(x) log 2(x2 2x)在(，0)上单调递减.所以函数f(x) log2(x2 2x)的单调递减区间为(，0)；单调递增区间为(2,).【规律总结】嵌套式复合函数的单调性：“同增异减.形如：yf(g(x)，设 tg(x)为内函数，y f(t)为外函数；当内函数t g(x)和外函数y f (t)在定义域内单调性相同时，此时这个复合函数y f(g(x)在该定义域上为增函数，即“同增当内函数t g(x)和外函数y f(t)在定义域内单