#等差数列、等比数列相关性质和公式以和数列的求和方法

1、等差、等比的公式性质以及数列的求和方法第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：anan=d（d为公差）（n_2，nN*）注：下面所有涉及n,N*省略，你懂的。2、等差数列通项公式：an=ai（n-1）d，ai为首项，d为公差推广公式：an二am（nm）d变形推广：d=anamnm3、等差中项（1）如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：A二口或2A二ab2（2）等差中项：数列，是等差数列：=2an=an-1an1(n-2)：=2an1anan24、等差数列的前n项和公式：Sn二n(a

2、a.)2n(n-1)2rl1=_n2d）n=An2Bn22（其中A、B是常数，所以当dz0时，S是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项S2n厂2n1：a2n1二2n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5、等差数列的判定方法(1) 定义法：若an_anJ=d或anad(常数nN)二aj是等差数列.(2) 等差中项：数列ai是等差数列=2aan-iani(n一2)=2a.ia.2(3) 数列；aj是等差数列二an=knb(其中k,b是常数)。(4) 数列是等差数列二&二An2Bn,(其中A、E是常数)。6、

3、等差数列的证明方法定义法：若aan-d或an.i_an=：d(常数nN”)=况？是等差数列.7、等差数列相关技巧：(1) 等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：ai、d、n、an及Sn，其中ai、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2) 设项技巧： 一般可设通项an=a1(n-1)d 奇数个数成等差，可设为，a-2d,a-d,a,ad,a2d(公差为d)； 偶数个数成等差，可设为，a-3d,d,ad,a3d,-(注意；公差为2d)&等差数列的性质：(1) 当公差d=0时，等差数列的通项公式an=a(n-1)d=dny-d是关于n

4、的一次函数，且斜率为公差d;前n和&二naidn2(印-d)n是关于n的二次函数且常数项为2220。(2) 若公差d0,则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d=0，则为常数列。(3) 当mn=pq时，则有ama二ap-aq，特别地，当mn=2p时，则有am+an=2ap。(注：印+a.=a?+可二=玄3十an-=，)当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。(4) aj、血？为等差数列，则也？都为等差数列(5) 若g是等差数列，则&忌-&鸟七.,也成等差数列(6)数列an为等差数列，每隔k(kN*)项取出一项(am,a

5、mk,am2k,am3k,)仍为等差数列n?、bn的前n和分别为A、Bn，则咅二諏bnB2n(7) 等差数列an的前n项和Sm=n，前m项和Sn=m，则前m+n项和Sm-mn，当然也有a*=m,am=n，则am.n=0(9)求Sn的最值法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。法二：(1)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和aa0.即当务>0,d",由月一0可得Sn达到最大值时的n值.阳W0(2)“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。a<0即当印<0,d>0,

6、由弘一0可得Sn达到最小值时的n值.阳启0或求匕：中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值(或最小值)。若Sp=Sq则其对称轴为n=丄72注意：SSn4=an(n一2),对于任何数列都适用，但求通项时记住讨论当n=1的情况。解决等差数列问题时，通常考虑两类方法： 基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程； 巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量。（以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明，不是很难，并能够学会运用）第二节：等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：丑二q

7、q=0n_2，q为公比anA2、通项公式：an=aiqn'，ai为首项，q为公比推广公式:n_man=amq，从而得n-manqam3、等比中项（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：A2=ab或A=.ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列二an2am4、等比数列的前n项和Sn公式：（1）当q=1时，Sn二nai（2）当q=1时，si=aL=aq1-q1-q色乩qn=A-ABn=A'Bn-A'（A,B,A',B'为常数）1-q1-q5、等比数列的判定方法（1）用定

8、义:对任意的n,都有an厂qan或乩二q（q为常数，务=0）二®an为等比数列(2) 等比中项：an2二anian(anian=O)=an为等比数列(3) 通项公式：an二ABnAB=O=®为等比数列(4) 前n项和公式：Sn二AAB&二A'BnA'A,B,A',B'为常数=an为等比数列6、等比数列的证明方法依据定义：若二qq=Oin_2,且nN*或an.勺=qan=an为等比数列anJ7、等比数列相关技巧：(1) 等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：ai、q、n、an及&，其中ai、q称作为基本元素。只要已知

9、这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。(2) 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：nA.an二a1q如奇数个数成等比，可设为，笃,a,a,aq,aq2(公比为q，中间项qq用a表示)；注意隐含条件公比q的正负8等比数列的性质：(1)当q-1时等比数列通项公式anpqn色qn=ABnAB=O是关于n的带有系q数的类指数函数，底数为公比q 前n项和s=aaJq引生qn=A-ABn=A'Bn-A'，系1-q1-q1-q1-q数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q对任何m,nN*,在等比数列an中，有aamqnjm,特别的，当m=1时,便得到等比数

10、列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性(3)若mn=st(m,n,s,tN*)，则anaasat。特别的，当mn=2k时,得anam=ak'注:ai3n-a2=a3an_2列an,bn为等比数列，则数列,kan,a/,kanbn色(k为anbn非零常数)均为等比数列。(5) 数列an为等比数列，每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列如果an是各项均为正数的等比数列，则数列logaan是等差数列(6) 若an为等比数列，则数列Sn，S2n-Sn，务-S?.,，成等比数列当0<q:1时,当0<q:1时,(7) 若an为等

11、比数列，则数列aia?务，a.16a?n,a?n1a?n2a3n成等比数列(9)当q1时,可0,贝an为递增数列a：0，贝贝an为递减数列,aO则an为递减数列q：0,则an为递增数列 当q=1时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)； 当q<0时,该数列为摆动数列。(10) 在等比数列an中，当项数为2n(nN*)时，鱼二1,。S偶q若an是公比为q的等比数列，则Sn.m二SnqnSm注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，一定要考虑到公比q=1的特殊情况。解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于a1和q的方程；巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化

12、繁为简,减少运算量。关于等差、等比两个引申：an=kanJL+b模式（其中k,b为常数，n2）；an=panpn模式（其中p为常数，n2）在这里我们以具体的例子给出，使其更容易理解：例1已知数列laj，有an=3an+4（n2），则求该数列的通项公式解题大致思路：先设an-b=3（an-b），则对于an=3an4-an2=3（an-2），那么我们就可以构造数列an2为等比数列，利用等比的相关性质去解决，注意：构造新数列的首项和公比分别是多少？还有你考虑到当n=1的这种情况了吗？例2已知数列bn，有bn=2bnA+2n（n32），求该数列的通项公式解题的大致思路：bn=2bn+2n（nX2）二昴

13、=号严+1二加霁+1，相信你已经知道构造什么数列了吧，这两个模式考试中喜欢考，也比较基础，当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。第三节：数列的求和方法（引用别人的，稍加改进）三、教学过程：一、教学目标：1、熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；算；2、能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进仃求和运3、熟记一些常用的数列的和的公式.一、教学重点：特殊数列求和的方法.（一）主要知识：1、直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：Sn也二门ar®1）d22na,q=1)（2）等比数列的求和公式（2）等比数列的求和公式（切记：公比

14、含参数时一定要讨论）2、公式法:n'k2=12232IIIn2n(1)(2i1）（证明利用立方差公式,(n-n=3n23n1，将n用1,2,3川n替换，错位相消即可整体得出)n-33_3_33二.k123nkJn-33_3_33二.k123nkJ(证明利用4方差，原理同上)1111、n(n2)一2(丁n2)110(10n-1)=9n10n1-9n-10813、错位相减法：比如：an等差，况”等比，求a©a2b2亠亠a.bn的和.4、裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：-n(n+1)nn+11111Sn=(x2$2)(x()nn!=(n1

15、)!n!Sn=(x2$2)(x()nn!=(n1)!n!(2n1)(2n1)22n-12n1分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。合并求和法：如求1002-992，982-97222-12的和。倒序相加法：如求sin21：飞巾22匚sin23川川，sin289"的和。其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等等(二) 主要方法：1、求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2、求和过程中注意分类讨论思想的运用；3、转化思想的运用；(三) 例题分析：例1.求和：Sn=1+11+111+11二1n个12212n2 Sn=(X-)(X-2)(X-n)XXX

16、 求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,前n项和Sn思路分析：通过分组，直接用公式求和。1解：ak=1T1二1101010k(10k-1)k个911Sn(10-1)(102一1厂(10n-1)(101010n)n99+2)(x2n4?2)XXX111=(X2x2n)(-2-4r)2nXXX2n2n-2',c(x-1)(x22n茹厂x，-1X2n(x2_1)2/2n2/2nx2-1(1)当X时，&=x(x-1)x(x“)(2)当x二_1时,Sn=4nak=(2k-1)2k(2k1)(2k-1)(k一1)=kg")(3k_2)=§r2kn(n1)(2n

17、1)63n(n1)22222Sn“1-a2e-2n=Sn“1-a2e-2n=(1222川川n2)_3(12卷卷n)=52221n(n-1)(5n-2)6总结：运用等比数列前n项和公式时，要注意公比q=1或q=1讨论。2、错位相减法求和例2.已知数列1,3a,5a2,，(2n_1)an(a=0)，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1,3,5，2n-1与等比数列a0,a,a2，an，对应项积，可用错位相减法求和。解：Sn=13a5a2(2n-1)a11aSn二a3a25a3川川，(2n-1)an21一2:(1a)Sn=12a2a22a3川川2an一(2n-1)ana=1时,(1-a)Sn

18、=12a(1a)(1-a)2-(2n-1)n(1-a)2当a=1时,Sn二n2g1a-(2n1)an(2n-1)an1(2n)23、裂项相消法求和例3.求和Sn2例3.求和Sn24L.1335(2n-1)(2n1)思路分析：分式求和可用裂项相消法求和解ak(2k)2(2k)2-1+1十(2k-1)(2k1)(2k-1)(2k1)(2k_1)(2k1)2'2k-12k1)Sna2an=n丄(1一丄)(丄一丄)(1-)n丄(1-2n(n923352n12n122n12n1n(n1)n(n1)练习：求sn二1g2.吕aaaa答案:(aJ2a(a“)(a-1)24、倒序相加法求和思路分析：由c

19、m=Cnn可用倒序相加法求和。例4求证：C：+3C：+5C：+(2n+1)C：=(n+1)2n证：令SC0-3cn-5Cn-(2n1)C；(1)则Sn=(2n+1)C；+(2n_1)匚+5C：+3C：+C0(2)丁cn°=C：.(1)(2)有:2Sn=(2n2)C0(2n2)C：(2n2)C：(2n2)C：&=(n1)C0V：C：-C：=(n1)2n等式成立5、其它求和方法还可用归纳猜想法，奇偶法等方法求和。例5已知数列£n】an=-2n-(-1)n,求Sn。思路分析：an=-2n-2(-1)n，通过分组，对n分奇偶讨论求和。2m解：an二一2n2(-1)n，若n=

20、2m,则Sn二S2m=2(1232m)2、(-1)kSn-2(123川汕2m)一-(2m1)2m-n(n1)若n=2m-1,则Sn=S2m二二S2ma2m二-(2m1)2m-22m-(-1)2m=-(2m1)2m2(2m-1)=-4m22m-2二-(n1)2(n1)-2二-n2-n-2'-n(n+1)(n为正偶数)二Sn=丿o-n-2(n为正奇数)预备：已知f(x)二a1Xa2X2anXn,且a1,a2,a3/an成等差数列，n为正偶数,21又f(1)=n2,f(-1)=n，试比较f(-)与3的大小。2解:厂x/八2f(1)=ai十a2十a3+八十an=uf(_1)=一印+a2_a3+

21、_an二+an=-佝+an)n2-d2d=21n23nf(x)=x3x5x(2n-1)x1f（2）.21匕3(2)%)-(2n1)(£)n2可求得1）=3-（1严-（2n-1）（1）n,222（四）巩固练习：1.求下列数列的前n项和Sn:55,555,5555,，5（10n-1），;9<3(1)5,1(2)-13(3)an.n、n113,24,35川I,n(n2),|丨;(4)a,2a2,3a3,|l(,nan,川；(5)sin21sin22sin23“川sin289.U个5解:(1)Sn=555555川55川5(999999川99"95(10-1)(102-1)(103一1)川(10-1)9=510102103川10n-n二50。-1)-5n.9819/c、1111(2)(-n(n+2)2n11-Snn2