线性代数第五章

1、线性代数第五章相似矩阵及二次型第五章二次型理论是一个独立的内容与前面四章的联系不是太大，但求特征向量需要涉及求齐次线性方程组的解，因此也可以看成是方程组理论、矩阵理论、向量组理论的一个应用。第五章相似矩阵及二次型1 向量的内积、长度及正交性向量的内积、长度及正交性一、向量的内积一、向量的内积二、向量的长度二、向量的长度三、向量间的夹角三、向量间的夹角四、正交向量组及其性质四、正交向量组及其性质五、规范正交基与施密特正交化过程五、规范正交基与施密特正交化过程六、正交阵六、正交阵一、向量的内积定义：定义：设有设有n n 维向量维向量令令 x x, , y y = = x x1 1 y y1 1 +

2、 + x x2 2 y y2 2 + + + + x xn n y yn n ，则称，则称 x x, , y y 为向量为向量 x x 和和 y y 的的内积内积说明：说明： 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数 内积可用矩阵乘法表示：当内积可用矩阵乘法表示：当x x 和和 y y 都是都是列向量列向量时，时， x x, , y y = = x x1 1 y y1 1 + + x x2 2 y y2 2 + + + + x xn n y yn n = = x xT T y y NoImage1122, ,nnxyxyxyxy 内积具有下列

3、性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，为实数）：l对称性： x, y = y, xl线性性： x, y = x, y x + y, z = x, z + y, z l当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0l施瓦兹（Schwarz）不等式x, y2 x, x y, yNoImagel对称性： x, y = y, x 证：1 12 21 122 , , n nnnx yx yx yx yy xy xy xy x l线性性： x, y = x, y x + y, z = x, z + y, z 证：NoImageNoImage, ()() ,

4、 TTTx yxyxyx yx y, ()()()() , , TTTTTxy zxyzxyzx zy zx zy z9l当 x = 0（零向量） 时， x, x = 0；当 x 0（零向量） 时， x, x 0 x, x = x12 + x22 + + xn2 0l施瓦兹（Schwarz）不等式 x, y2 x, x y, y证：对 R x+y, x+y0 即x, x+2x, y+2 y, y 0 于是：(2x, y)2-4x, xy, y0 x, y2 x, x y, y回顾：线段的长度NoImagex1x2x1x2x3P(x1, x2)OPO在二维空间中，若令在二维空间中，若令 x =

5、(x1, x2)T，则，则NoImage在三维空间中，若令在三维空间中，若令 x = (x1, x2, x3)T，则，则2212| , OPxxx x222123| , OPxxxx xNoImage二、向量的长度定义：令称 | x |为 n 维向量 x 的长度（或范数）当 | x | = 1时，称 x 为单位向量向量的长度具有下列性质： 非负性：当 x = 0（零向量） 时， | x | = 0； 当 x0（零向量） 时， | x | 0 齐次性： | x | = | | | x | NoImageNoImage2, , , xxxxx xx x 22212| , 0nx xxxxx2|,

6、, | , |xxxx xx xx 三角不等式： | x + y | | x | + | y | 证: | x + y|2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y) ( | x | + | y |)2=(x,x)+2(| x | y |)+(y,y) 由施瓦兹不等式|(x,y)| | x | y | | x + y | | x | + | y |xyx + yyx由施瓦兹（由施瓦兹（SchwarzSchwarz）不等式）不等式 x x, , y y 2 2 x x, , x x y y, , y y = = | x | | y | 当当 x x 0 0 且且 y y 0 0 时

7、，时，定义：定义：当当 x x 0 0 且且 y y 0 0 时，时，称为称为 n n 维向量维向量 x x 和和 y y 的的夹角夹角当当 x x, , y y = 0 = 0，称向量，称向量 x x 和和 y y 正交正交显然：显然：若若 x x = 0 = 0，则，则 x x 与任何向量都正交与任何向量都正交NoImageNoImagexyNoImage , arccos| |x yxy , 1| |x yxy 三、三、向量向量间的夹角间的夹角四、正交向量组及其性质四、正交向量组及其性质定义：定义：两两正交的非零向量组成的向量组称为两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组正交向量组定

8、理：定理：若若 n 维向量维向量a1, a2, , ar 是一组两两正交的非零向量，是一组两两正交的非零向量，则则 a1, a2, , ar 线性无关线性无关证明：证明：设设 k1a1 + k2a2 + + kr ar = 0（零向量）（零向量），那么，那么 0 = a1, 0 = a1, k1a1 + k2a2 + + kr ar = k1 a1, a1 + k2 a1, a2 + + kr a1, ar = k1 a1, a1 + 0 + + 0 = k1 |a1|2从而从而 k1 = 0同理可证，同理可证，k2 = k3 = = kr =0综上所述，综上所述， a1, a2, , ar

9、线性无关线性无关例：例：已知已知3 维向量空间维向量空间R3中两个向量中两个向量 正交，试求一个非零向量正交，试求一个非零向量a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交分析：分析：显然显然a1a2 解：解：设设a3 = (x1, x2, x3)T ，若，若a1a3 ， a2a3 ，则，则 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0 a2, a3 = a2T a3 = x1 2 x2 + x3 = 0NoImageNoImage12111 , 211aa 12311101210 xAxxx NoImageNoImage得得从而有基础解系从而有基础解系 ，令，令

10、 则则a3即为所求即为所求NoImageNoImageNoImage12311101210 xAxxx 111111111101121030010010rrr 1320 xxx 101 3101a 五、规范正交基与施密特正交化过程五、规范正交基与施密特正交化过程定义：定义： n 维向量维向量e1, e2, , er是向量空间是向量空间 中的向量，中的向量，满足满足 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）；中的一个基（最大无关组）； e1, e2, , er 两两正交；两两正交； e1, e2, , er 都是单位向量，都是单位向量，则称则称 e1, e2,

11、 , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基例：例：是是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基 e1, e2, e3是是R4 中由中由e1, e2, e3生成的生成的向量空间的一个规范正交基。向量空间的一个规范正交基。NoImageNoImagenVR 123410000100,00100001eeee 也是也是 R4 的一个规范正交基的一个规范正交基NoImageNoImage是是 R4 的一个基，但不是规范正交基的一个基，但不是规范正交基1234001212001212,121200001212eeee 123411110111,00110001eeee 设设 e1, e2, ,

12、 er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，则，则V 中任意一中任意一个向量可唯一表示为个向量可唯一表示为 x = 1e1 + 2e2 + + rer于是于是特别地，若特别地，若 e1, e2, , er 是是V 的一个的一个规范正交基规范正交基，则，则问题：问题： 向量空间向量空间 V 中的一个基中的一个基 a1, a2, , ar 向量空间向量空间 V 中的一个规范正交基中的一个规范正交基 e1, e2, , erNoImageNoImage2 , , 1,2, ,|iiiiiix ex eire ee , 1,2,iix eir 下面是求规范正交基的方法第一步：正交化

13、第一步：正交化施密特（施密特（SchimidtSchimidt）正交化过程）正交化过程设设 a a1 1, a, a2 2, , a, , ar r 是向量空间是向量空间 V V 中的一个基，那么令中的一个基，那么令b b1 1=a=a1 1b b2 2=a=a2 2+ + 2121b b1 1由于由于b b1 1、b b2 2正交，正交，所以所以b b1 1, b, b2 2=0=0b b1 1,a ,a2 2+ 2121b b1 1,b ,b1 1=0=0a1b1a2a3c2b2c3c31c32b3基基正交基正交基规范正交基规范正交基 b b2 2=a=a2 2- b- b1 1, a,

14、a2 2/ b/ b1 1, b, b1 1 b b1 1再令再令 b b3 3=a=a3 3+ + 3131b b1 1+ + 3232b b2 2由于由于b b3 3与与b b1 1、b b2 2正交正交所以所以 b b1 1,a ,a3 3+ 3131b b1 1,b ,b1 1=0=0 b b2 2,a ,a3 3+ 3232b b2 2,b ,b2 2=0 =0 最后，令最后，令b br r=a=ar r+ + r1r1b b1 1+ + r2r2b b2+2+ rr-1rr-1b br-1r-1 可得：可得：于是于是 b b1 1, , b b2 2, , , , b br r 两

15、两正交，并且与两两正交，并且与a a1 1, , a a2 2, , , , a ar r 等价，等价，即即 b b1 1, , b b2 2, , , , b br r 是向量空间是向量空间 V V 中的一个中的一个正交基正交基特别地，特别地，b b1 1, , , , b bk k 与与a a1 1, , , , a ak k 等价（等价（1 1 k k r r）121112212111,rrrrrrrrrb ab abab bb bbabbbbb 第二步：单位化第二步：单位化设设 b1, b2, , br 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个正交基正交基，那么令，那么令因为因为 从

16、而从而 e1, e2, , er 是向量空间是向量空间 V 中的一个中的一个规范正交基规范正交基NoImageNoImageNoImage112212111, , |rrrebebebbbb21111111221111|111,1|be ebbb bbbbb111|,1ee e例：例：设设 ，试用施密特正交化，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化过程把这组向量规范正交化解：解：第一步正交化，取第一步正交化，取NoImageNoImage1231142, 3, 1110aaa 111222111132333121122111,45321,631114111,151212 0,330111ba

17、b ababb bb ab ababbb bb b 解：解：第二步单位化，令第二步单位化，令NoImageNoImage1112223331112|611111|311110|21ebbebbebb 例：例：已知已知 ，试求非零向量，试求非零向量a2, a3 ，使，使a1, a2, a3 两两正交两两正交. .解：解：若若a1a2 ， a1a3 ，则，则 a1, a2 = a1T a2 = x1 + x2 + x3 = 0 a1, a3 = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0即即a2, a3 应满足方程应满足方程 x1 + x2 + x3 = 0 基础解系为基础解系为把基础解系

18、正交化即为所求把基础解系正交化即为所求NoImageNoImage（以保证（以保证 a2a3 成立）成立）1111a 12100, 111 231110, 2211aa 六、正交阵六、正交阵定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵 A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵 于是于是从而可得从而可得方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向量，都是单位向量，且两两正交即且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基 NoImage1, ( ,

19、1,2, )0,Tijijija aa ai jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnaa aa aa aaa aa aa aA Aa aaaa aa aa a因为因为ATA = E 与与AAT = E 等价，所以等价，所以NoImageNoImage1, , ( ,1,2, )0,Tijijijb bb bi jnij 1111212212221212100010,001TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnbb bb bb bbb bb bb bAAb bbbb bb bb bn方阵方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵

20、的充分必要条件是 A 的的列向量列向量都是单位向都是单位向量，且两两正交即量，且两两正交即 A 的的列向量组列向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基n同样，方阵同样，方阵A 为正交阵的充分必要条件是为正交阵的充分必要条件是 A 的的行向量行向量都是都是单位向量，且两两正交单位向量，且两两正交 即即 A 的的行向量组行向量组构成构成Rn 的规范正交基的规范正交基. .NoImage例：例：验证矩阵验证矩阵 是正交阵是正交阵证：因为证：因为P的列向量是的列向量是R4 的一个规范正交基的一个规范正交基 所以，所以，P是正交阵。是正交阵。NoImage1212001212000012120012

21、12P 1234001212001212,121200001212eeee NoImage正交矩阵具有下列性质：正交矩阵具有下列性质： 若若 A 是正交阵，则是正交阵，则 A1 也是正交阵，且也是正交阵，且|A| = 1 或或1 证：证： A 是正交阵。是正交阵。 ATA=E (AT) 1 A1=E (A1) T A1=E 故故 A1 也是正交阵也是正交阵 若若 A 和和B是正交阵，则是正交阵，则 A B 也是正交阵也是正交阵 证：证：(AB)TAB=BTATAB=BTB=E定义：定义：若若 P 是正交阵，则线性变换是正交阵，则线性变换 y = Px 称为称为正交变换正交变换经过正交变换，线段

22、的长度保持不变（从而三角形的形状保经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保持不变），这就是正交变换的优良特性持不变），这就是正交变换的优良特性|() ()|TTTTTyy yPxPxx P Pxx xx表示一个从变量表示一个从变量 到变量到变量 线性变换，线性变换，其中其中 为常数为常数. . n 个变量个变量 与与 m 个变量个变量 之间的之间的关系式关系式NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage12,myyy11111221221122221122,.nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xaxyaxaxax ija12

23、,nxxx12,myyy12,nxxx2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一、特征值、特征向量的定义一、特征值、特征向量的定义二、特征值的性质二、特征值的性质向量x经线性变换 y=Ax后，一般其方向均要发生变化；但有的向量很特别，它经过变换y=Ax后，方向不变，这样的向量是在该变换下的所谓的“不变量”。现在我们就对这个问题进行研究。一、一、特征值、特征向量的定义特征值、特征向量的定义定义：定义：设设 A A 是是 n n 阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数 和和 n n 维维非零非零向量向量 x x 满足满足A Ax x = = x x，那么这样的数那么这样的数 称为矩阵称为矩阵 A A

24、 的的特征值特征值，非零向，非零向量量 x x 称为称为 A A 对应于特征值对应于特征值 的的特征向量特征向量 A Ax x = = x x = = E E x x 非零向量非零向量 x x 满足满足 ( (A A E E) ) x = x = 0 0（零向量）（零向量）齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解系数行列式系数行列式 | | A A E E | | = 0= 0特征方程特征方程特征多项式特征多项式 特征方程 | AE | = 0 特征多项式| AE |NoImage111212122212| 0nnnnnnaaaaaaAEaaa 二、二、特征值的性质特征值的性质 根据多项式

25、理论：在复数范围内根据多项式理论：在复数范围内 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个特征值（重根按重数计算）个特征值（重根按重数计算） 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征值为的特征值为 1, 2, , n，则，则根据韦达定理根据韦达定理 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann 1 2 n = |A|例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量(P.118)解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 1 = 2， 2 = 4 当当 1 = 2 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系

26、NoImageNoImageNoImageNoImageNoImagek p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量3113A 2231|(3)186(4)(2)13AE 1231012302xx 12110110 xx 111p 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：A 的特征多项式为的特征多项式为所以所以 A 的特征值为的特征值为 1 = 2， 2 = 4 当当 2 = 4 时，时， 对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足 ，即，即解得基础解系解得基础解系 NoImageNoImageNoImageNoImageNoImagek p2（k 0）就是对应

27、的特征向量就是对应的特征向量3113A 2231|(3)186(4)(2)13AE 1231014304xx 12110110 xx 211p 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解：解：所以所以 A 的特征值为的特征值为 1 = 1， 2 = 3 = 2 NoImageNoImage211020413A 2221121020(2)43413(2)(2)(1)(2)AE 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 1 = 1 时，因为时，因为解方程组解方程组 (A + E) x = 0解得基础解系解得基础解系 NoImageNoIm

28、ageNoImagek p1（k 0）就是对应的特征向量就是对应的特征向量211020413A 1111101030 010414000rAEAE 1101p 例：例：求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量解（续）：解（续）：当当 2 = 3 = 2 时，因为时，因为解方程组解方程组 (A2E) x = 0解得基础解系解得基础解系 k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）不同时为零）就是对应的特征向量就是对应的特征向量NoImageNoImageNoImage211020413A 4114112000 000411000rAE 23100 , 141pp 例：例：

29、设设 是方阵是方阵 A 的特征值，证明的特征值，证明(1) 2 是是 A2 的特征值；的特征值；(2) 当当 A 可逆时，可逆时，1/ 是是 A1 的特征值的特征值证：设证：设p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 的特征向量，则的特征向量，则 A2p=A(Ap)=A( p)= (Ap)= ( p)= 2 2p Ap= p A1(Ap)= A1( p) = (A1 p) A1 p = (1/ p结论：结论：若非零向量若非零向量 p 是是 A 对应于特征值对应于特征值 的特征向量，则的特征向量，则p 2 是是 A2 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p p k 是是 Ak

30、 的特征值，对应的特征向量也是的特征值，对应的特征向量也是 p p当当 A 可逆时，可逆时，1/ 是是 A1 的特征值，对应的特征向量仍然的特征值，对应的特征向量仍然是是 p 若若 是是 A A 的一个特征值，则齐次线性方程组的一个特征值，则齐次线性方程组 ( (A A E E) ) x = x = 0 0的基础解系就是对应于特征值为的基础解系就是对应于特征值为 的的全体特征向量的最大无关组全体特征向量的最大无关组 若若 是是 A A 的一个特征值，则的一个特征值，则 ( ( ) = ) = a a0 0 + + a a1 1 + + + + a am m m m是矩阵多项式是矩阵多项式 (

31、(A A) = ) = a a0 0 + + a a1 1 A A + + + + a am m A A m m 的特的特征值征值例：例：设设3 阶方阵阶方阵 A 的特征值为的特征值为1, 1, 2，求，求A* +3A2E 的特征值的特征值(P.120)解：解： A* +3A2E = |A| A1 +3A2E = 2A1 +3A2E = j j (A) 其中其中|A| = 1(1) 2 = 2 设设 是是 A 的一个特征值，的一个特征值， p 是对应的特征向量令是对应的特征向量令则则故所求特征值为故所求特征值为(1)=-1, (-1)=-3, (2)=3NoImageNoImage2( )32

32、j j 11( )( 232)2()3()2223232( )A pAAE pApApppppppj j j j 定理：定理：设设 1, 2, , m 是方阵是方阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2, , pm 依依次是与之对应的特征向量，如果次是与之对应的特征向量，如果 1, 2, , m 各不相同，则各不相同，则p1, p2, , pm 线性无关线性无关例：例：设设 1 和和 2 是方阵是方阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为向量依次为 p1 和和 p2， 证明证明 p1 + p2不是不是 A 的特征向量的特征向量(P.121)3 相似矩阵相

33、似矩阵一、相似矩阵的定义一、相似矩阵的定义二、对角阵二、对角阵三、矩阵的对角化三、矩阵的对角化一、相似矩阵的定义一、相似矩阵的定义定义：定义：设设 A A, , B B 都是都是 n n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 P P 满足满足P P 1 1APAP = = B B ，则称，则称 B B 为矩阵为矩阵 A A 的的相似矩阵相似矩阵，或称矩阵，或称矩阵A A 和和 B B 相似记为相似记为A A B B。对对 A A 进行运算进行运算 P P 1 1AP AP 称为称为对对 A A 进行进行相似变换相似变换称可逆矩阵称可逆矩阵 P P 为把为把 A A 变成变成 B B 的的相

34、似变换矩阵相似变换矩阵矩阵的相似关系具有以下性质：矩阵的相似关系具有以下性质：(1)(1)自返性：自返性：A A A A；(2)(2)对称性：若对称性：若A A B B，则，则B B A A；(3)(3)传递性：若传递性：若A A B B，B B C C，则，则A A C C。定理：定理：若若 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 和和 B B 相似，则相似，则 A A 和和 B B 的特征多项式的特征多项式相同相同, ,从而从而 A A 和和 B B 的特征值也相同的特征值也相同证明：证明：根据题意，存在可逆矩阵根据题意，存在可逆矩阵 P P ，使得，使得 P P 1 1APAP = = B B 于

35、是于是 | B E | = | P 1AP P 1( E) P | = | P 1(A E ) P |= | P 1| |A E | |P | = |A E | 推论：推论：若若 n n 阶矩阵阶矩阵 A A 和和 B B 相似，则相似，则 A A 的多项式的多项式 j j (A) 和和 B 的多项式的多项式 j j (B) 相似相似证明：证明：设存在可逆矩阵设存在可逆矩阵 P P ，使得，使得 P P 1 1APAP = = B B ，则，则P P 1 1A Ak kP P = = B Bk k . .设j (x) = cmxm + cm1xm1 + + c1x + c0，那么 P 1 j

36、(A) P = P 1 cmAm + cm1Am1 + + c1A + c0 E) P = cm P 1 Am P + cm1P 1 A m1 P + + c1 P 1 A P + c0 P 1 EP = cmBm + cm1Bm1 + + c1B + c0 E= j (B) .定理：定理：若若A A可逆，可逆，A A B B，则，则B B可逆，且可逆，且A A-1 -1 B B-1 -1. .证：证： A A可逆，可逆，|A|A| 0 0 又又 A A B B， |B|=|B|=| P P 11AP |=AP |=|A|A| 0 0，故，故B B可逆可逆 B B-1 -1=(=(P P 11

37、AP )AP )-1 -1= P= P 11A A-1 -1P P 二、对角阵定理：设 n 阶矩阵 L = diag(1, 2, , n )是对角阵，则1, 2, , n 就是 L 的 n 个特征值证明：故 1, 2, , n 就是 L 的 n 个特征值NoImage1212()()()nnE L L 若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(1, 2, , n ) 相似，则P P 11LP = AP = A P P 11L 2P = P P = P 11 L P P P P 11 L P = AP = A2 2 ，P P 11Lm mP = AP = Am m从而通过计算j (

38、L) 可方便地计算j (A).1211()()( )()()nAPPPPj jj jj jj j j jLL哈密尔顿-凯莱定理：若j () = | AE |，那么 j (A) = 0（零矩阵）三、矩阵的对角化三、矩阵的对角化下面讨论对下面讨论对n n 阶矩阵阶矩阵 A A ，如何寻求可逆矩阵，如何寻求可逆矩阵P P，使得，使得P P 11AP =AP = L L 为对角阵。这称为把矩阵为对角阵。这称为把矩阵A A对角化。对角化。若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵P P，使得，使得 P P 11AP =AP = L L 那么那么 AP = AP = P PL L 设设P=(pP=(p1 1,p ,p2

39、 2,p,pn n) )于是于是 (Ap (Ap1 1, Ap, Ap2 2, Ap, Apn n)=()=( 1p p1 1, , 2p p2 2, np pn n) ) ApApi i= = i ip pi i, (i=1,2,n), (i=1,2,n)121212(,)(,)nnnA pppppp 可见：可见： i i (i=1,2,n) (i=1,2,n)是是A A的特征值，而的特征值，而P P的列向量的列向量p pi i就就是是A A的对应于特征值的对应于特征值 i i的特征向量。同时，由于的特征向量。同时，由于P P可逆，可逆，所以，所以， p p1 1,p ,p2 2,p,pn

40、n线性无关。线性无关。于是可得于是可得定理：定理：n 阶矩阵阶矩阵 A 和对角阵相似当且仅当和对角阵相似当且仅当A 有有 n 个线性个线性无关的特征向量。无关的特征向量。由于不同的特征值对应的特征向量线性无关，所以可得由于不同的特征值对应的特征向量线性无关，所以可得推论：推论：如果如果 A 有有 n 个不同的特征值，则个不同的特征值，则 A 和对角阵相和对角阵相似似注意：注意：当特征方程的某个特征值有重根时，对应的线性当特征方程的某个特征值有重根时，对应的线性无关的特征向量的个数未必与特征值的重数相同，从无关的特征向量的个数未必与特征值的重数相同，从而，而，A也就未必可以对角化。也就未必可以对

41、角化。例：设例：设 问问x x为何值时，矩阵为何值时，矩阵A A能对角化？能对角化？解：解： |A- |A- E|= =(1-E|= =(1- ) =-() =-( -1)-1)2 2( ( +1)+1) 故特征值为：故特征值为： 1 1=-1 =-1 2 2= = 3 3=1=1为使为使A A能对角化，必须能对角化，必须(A-E)x=0(A-E)x=0有两个线性无关的解有两个线性无关的解也就是也就是 R(A-E)=1R(A-E)=1而而 A-E= A-E=故故x+1=0 x+1=0 即即x=-1x=-1时矩阵时矩阵A A能对角化。能对角化。4 对称矩阵的对角化对称矩阵的对角化一、实对称阵的特

42、点一、实对称阵的特点二、实对称阵二、实对称阵A A对角化的步骤对角化的步骤一、实对称阵的特点一、实对称阵的特点定理：定理：实对称阵的特征值为实数。实对称阵的特征值为实数。证：证：设设x x为为A A的对应特征值的对应特征值 的的特征向量，考虑特征向量，考虑 一方面一方面 = = = = 另一方面另一方面 = = = = = = = =0 =0 0 0 故故 即即 为实数。为实数。 定理：定理：设设 1 和和 2 是是实实对称阵对称阵 A 的特征值，的特征值， p1, p2 是对应的是对应的特征向量，如果特征向量，如果 1 2 ，则，则 p1, p2 正交正交（P.124定理定理6）证明：证明：

43、 A p1= 1 p1， A p2= 2 2 p2 ， 1 2 考虑考虑 p1T A p2 则一方面则一方面 p1T A p2 = p1T 2 p2 = 2 p1T p2 另一方面另一方面 p1T A p2 = p1T AT p2 = (Ap1 ) T p2 = ( 1 p1 )T p2 = 1 p1T p2 2 p1T p2 = 1 p1T p2 ( 1 2) p1T p2 = 0因为因为 1 2 ，则，则 p1T p2 = 0，即，即 p1, p2 正交正交定理：定理：设设 A 为为 n 阶对称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中

44、其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯个特征值为对角元的对角阵（不唯一）一）. .（P.124定理定理7）证明：证明：略略推论：推论：设设 A 为为 n 阶对称阵，阶对称阵， 是是 A 的特征方程的的特征方程的 k 重根，重根，则则矩阵矩阵 A A E E 的秩等于的秩等于 n kn k，恰有恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值个线性无关的特征向量与特征值 对应对应二、实对称阵二、实对称阵 A 对角化的步骤对角化的步骤1. 求出求出 A 的所有各不相同的特征值的所有各不相同的特征值 1, 2, , s ，它们的重，它们的重数依次为数依次为k1, k2, , ks

45、 （k1 + k2 + + ks = n）2. 对每个对每个 ki 重特征值重特征值 i ，求方程组，求方程组 | A i E | = 0 的基础解的基础解系，得系，得 ki 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量把这把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki 个两两正交的单位特征向量个两两正交的单位特征向量因为因为k1 + k2 + + ks = n ，总共可得，总共可得 n 个两两正交的单位个两两正交的单位特征向量特征向量3. 这这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有，便有P 1AP

46、= L L L L 中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应中对角元的排列次序应于中列向量的排列次序相对应. .例：例：设设 ，求，求正交阵正交阵 P，使，使P1AP = L L对角阵对角阵. .解：解：因为因为 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 1 = 2， 2 = 3 = 1 NoImageNoImage011101110A 211|11(1) (2)11AE 当当 1 = 2 时，时， 解方程组解方程组 (A + 2E) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 当当 2 = 3 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (AE) x

47、= 0 ，得，得 令令 ，则，则 . 问题：这样的解法对吗？问题：这样的解法对吗？NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage2111012121 011112000rAE 1111 111111111 000111000rAE 23111, 001 123111(,)110101P 1000000211PAP L L p当当 1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 2 = 3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 . .显然，必有显然，必有 1 2 ， 1 3 ，但，但 2 3 未必成立未必成立于是把于是把 2, 3

48、正交化：正交化：此时此时 1h h2 ， 1h h3 ，h h2h h3 NoImageNoImageNoImage1111 23111, 001 32223322211,11, 1,202 h hhhhhhhh hh h 单位化：单位化：p当当 1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当 2 = 3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 . .NoImageNoImageNoImageNoImage1111 231111, 1202h hh h 111131p 2311111, 12602pp p当当 1 = 2时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为 ；p当当

49、 2 = 3 = 1 时，对应的特征向量为时，对应的特征向量为于是于是 p1, p2, p3 构成正交阵构成正交阵从而从而 NoImageNoImageNoImageNoImage111131p 2311111, 12602pp 123111326111(,)32612036Pppp 1000000211PAP L L 例：例：设设 ，求，求 An . .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法NoImageNoImageNoImageNoImage2112A 22222212154131311212452 1313A 3332335421141313131451213142 1313AA A 11

50、111211313131311212213131313nnnnnnnnnnAAA 例：例：设设 ，求，求 An . .分析：分析：p数学归纳法数学归纳法p因为因为 A 是对称阵，所以是对称阵，所以 A 可以对角化可以对角化求得求得 A 的特征值的特征值 1 = 1， 2 = 3下面求满足下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵的可逆矩阵 P NoImageNoImageNoImageNoImage2112A 221|(2)1(1)(3)12AE 1003 L L 1003nn L L 下面求满足下面求满足 P 1AP = 的可逆矩阵的可逆矩阵 P 当当 1 = 1 时，时， 解方程组解方程组 (

51、AE) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 当当 2 = 3 时，时， 解方程组解方程组 (A3E) x = 0 ，得基础解系，得基础解系 问题：是否需要单位化？问题：是否需要单位化？于是于是 Ap1 = p1， A p2= 3 p2，即，即 若若 ，则，则 NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage11111100rAE 111p 111131100rAE 211p 121210(,)(,)03A pppp 1211(,)11Ppp 11003PAP 11112 11P 于是于是 ，即，即NoImageNoImageNo

52、Image11()11101112 1103111110111313112 1103112 1313nnnnnnnnnAP PPPLLLL 11003PAP L L 1AP P L L5 二次型及其标准形二次型及其标准形一、二次型、二次型标准形的定义一、二次型、二次型标准形的定义二、二次型化为标准形的一种方法二、二次型化为标准形的一种方法一、二次型、二次型标准形的定义一、二次型、二次型标准形的定义定义：定义：含有含有 n n 个变量个变量 x x1 1, x, x2 2, , x, , xn n 的二次齐次函数的二次齐次函数称为称为二次型二次型令令 aij = aji，则，则 2 aij xi

53、 xj = aij xi xj + aji xi xj ，于，于是是NoImage22212111222121213131,1(,)222nnnnnnnnf xxxa xa xa xa x xa x xaxx22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x NoImageNoImageNoImageNoImageNoImageNoImage

54、NoImage对称阵对称阵212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax NoImageNoImage对称阵对称阵 A 的

55、秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩. .对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵111211212222121212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 定义：定义：只含平方项的二次型只含平方项的二次型即：即：f = k1 y12 + k2 y22 + + kn yn2 称为二次型的称为二次型的标准形标准形（或法式）（或法式）.如果标准形的系数如果标准形的系数 k1 , k2 , , kn 只在只在1, 0, 1三个数三个数中取值中取值,即即 f = y12 + + yp2 yp+

56、12 yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围实数范围.二、二次型化为标准形的一种方法二、二次型化为标准形的一种方法对于二次型，我们主要讨论寻找可逆的线性变换对于二次型，我们主要讨论寻找可逆的线性变换使二次型成为使二次型成为标准形标准形（或法式）（或法式）或成为或成为规范形规范形定义：定义：设设 A, B 都是都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足满足CTAC = B ，则称矩阵，则称矩阵A 和和 B 合同合同（P.129定义定义9）显然，显然，(1) BT =

57、 (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B即若矩阵即若矩阵A 和和 B 合同合同时，时，A 为对称阵，则为对称阵，则 B 也为对称阵也为对称阵 (2) R(B) = R(A) NoImage简记为简记为 x = C y ，于是于是 f = xTAx = (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y11111221221122221122,.nnnnnnmnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 即经过合同变换后，二次型即经过合同变换后，二次型 f 的矩阵由的矩阵由 A 变为与变为与 A 合同的矩合同的矩阵阵CTAC，且二次型的秩不变，且二次

58、型的秩不变若二次型若二次型 f 经过可逆变换经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即变为标准形，即NoImage问题：问题：对于对称阵对于对称阵 A，如何寻找可逆矩阵，如何寻找可逆矩阵 C，使，使 CTAC 为对为对角阵角阵,（把对称阵合同对角化）（把对称阵合同对角化）2221122112212()()()(,)TTTTnnnnnfx AxCyA CyyC AC yk yk yk ykykyyyyky 定义：定义：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A 满足满足 ATA = E，即即 A1 = AT，则称矩阵则称矩阵A 为为正交矩阵正交矩阵，简称，简称正交阵正交阵定理：定理：设设 A 为为 n 阶对

59、称阵，则必有阶对称阵，则必有正交阵正交阵 P，使得，使得P 1AP = PTAP = L L，其中其中 L L 是以是以 A 的的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. .（P.124定理定理7）定理：定理：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在正交变换正交变换 x = P y ，使，使 f 化为化为标准形标准形 f (P y) = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2 其中其中 1 , 2 , , n 是是 f 的矩阵的矩阵 A 的特征值的特征值推论：推论：任给二次型任给二次型 f (x) = xTAx （其中（其中A = AT） ，总存在，总存在可逆变换可逆变换 x = C z ，使，使 f (Cz) 为为规范形规范形证明：证明：f (P y) = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2若若R(A) = r，不妨设，不妨设