第29讲 等效应力及等效应变

1、金属塑性变形理论第29讲张贵杰张贵杰Tel-Mail： 河北联合大学金属材料及加工工程系河北联合大学金属材料及加工工程系2022-3-182第十二章 变形力学方程主要内容主要内容Main Content 力平衡微分方程力平衡微分方程 屈服条件屈服条件 应力应变关系方程应力应变关系方程 等效应力、等效应变等效应力、等效应变 平面变形和轴对称变形平面变形和轴对称变形 2022-3-18312.4 等效应力、等效应变等效应力、等效应变 把把s ss看成经过某一变形程看成经过某一变形程度下的单向应力状态的屈度下的单向应力状态的屈服极限服极限,则可称则可称s ss为为变形抗变形

2、抗力力。ABCDe es s 如图所示，拉伸变形到如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到点，然后卸载到D点，点，如果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开如果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载时所对应的应力附近（即点始卸载时所对应的应力附近（即点C处）发生屈处）发生屈服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极限，统称为形过程中的继续屈服极限，统称为金属变形抗金属变形抗力力。

3、2022-3-18412.4.1 等效应力等效应力s ss是单向拉伸是单向拉伸的情况下得到的情况下得到的，那么对于的，那么对于复杂应力状态，复杂应力状态， s ss与什么对应？与什么对应？ 1s2s3s2022-3-185 由由Mises屈服条件屈服条件2221323222162kssssssss可以改写为可以改写为ssssssss213232221212022-3-186 若令若令sess21323222121ssssssse则金属屈服时有则金属屈服时有则为则为等效应力等效应力，等效于单向拉伸时的应力状态。，等效于单向拉伸时的应力状态。s se2011-12-8-22022-3-187 对于

4、单向拉伸对于单向拉伸sss1时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态sss1时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态同样同样，复杂应力状态时，复杂应力状态时，sess时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态sess时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态2022-3-188 在一般应力状态下，等效应力为在一般应力状态下，等效应力为 2222222621 3zxyzxyxzzyyxeIsssssss当材料屈服时有当材料屈服时有 kse3ss其中其中s ss，为单向应力状态下获得的屈服极限，为单向应力状态下获得的屈服极限 2022-3-18912.4.2 等效应变等效应变 在简单应力状态下，我们可

5、以得到一条应在简单应力状态下，我们可以得到一条应力力应变关系曲线，若知道了变形程度，应变关系曲线，若知道了变形程度，则其所对应的应力，从该曲线上也可以得则其所对应的应力，从该曲线上也可以得到。到。 那么可以说，对同一金属在同样的变形温那么可以说，对同一金属在同样的变形温度度变形速度条件下，等效应力取决于变变形速度条件下，等效应力取决于变形程度。如果这样的话，一般应力状态是形程度。如果这样的话，一般应力状态是否存在这一应力否存在这一应力应变关系曲线？应变关系曲线？ 2022-3-1810 金属的加工硬化程度取决于金属内的变形金属的加工硬化程度取决于金属内的变形潜能，一般应力状态和简单应力状态在加

6、潜能，一般应力状态和简单应力状态在加工硬化程度上等效，意味着两者的变形潜工硬化程度上等效，意味着两者的变形潜能相同。变形潜能取决于塑性变形功耗。能相同。变形潜能取决于塑性变形功耗。 可以认为，如果一般应力状态和简单应力可以认为，如果一般应力状态和简单应力状态的塑性变形功耗相等，则两者在加工状态的塑性变形功耗相等，则两者在加工硬化程度上等效。硬化程度上等效。 2022-3-1811 取主轴时，对于微小的塑性应变增量，单取主轴时，对于微小的塑性应变增量，单位体积内的塑性变形功为位体积内的塑性变形功为 332211esesesddddAp按矢量积有按矢量积有 esescosdddAp 由增量理论，塑

7、性应变增量主轴与偏差应力主轴重合由增量理论，塑性应变增量主轴与偏差应力主轴重合 esddAp5-26-32022-3-1812 由由Mises由屈服条件的几何解释，屈服轨迹由屈服条件的几何解释，屈服轨迹半径半径 2322212sssPN21323222131ssssss矢量矢量 的模的模 sePNssssssss32312132322212022-3-1813 而矢量而矢量 的模的模 232221eeeeddddedeepddAes令令则找到则找到 23222132eeeedddde21323222192eeeeeeddddddesddApess322022-3-1814 此式表示的应变增量此

8、式表示的应变增量 就是主轴时的就是主轴时的等效应变增量等效应变增量ede21323222192eeeeeeeddddddde比例加载时，即比例加载时，即 eeddddeeeeeeee3322112322212132322213292eeeeeeeeeeeee为等效应变为等效应变 2022-3-181521323222192eeeeeeeddddddde等式两边分别除以变形时间等式两边分别除以变形时间dt，则得到，则得到21323222192eeeeeeee2011-12-9-32022-3-181612.4.3 等效应变与等效应力的关等效应变与等效应力的关系系 由由LevyMises流动法则，

9、流动法则， ijijddse21323222192eeeeeeeddddddde代入代入213232221292ssssssedde213232221292ssssssd2022-3-1817 得到得到eeddse32eeddse23或或此式即为等效应变增量此式即为等效应变增量与等效应力的关系与等效应力的关系 则则LevyMises流动法则可以写成流动法则可以写成 ijeeijddssee232022-3-1818 这样，由于引入等效应变增量这样，由于引入等效应变增量 与等效应与等效应力力 ，则本构方程中的比例系数，则本构方程中的比例系数 便可以便可以确定，从而也就可以求出应变增量的具体确定，

10、从而也就可以求出应变增量的具体数值。数值。 edeesd2022-3-181912.4.4 曲线曲线变形抗力曲变形抗力曲线线 不论是一般应力状态还是简单应力状态作不论是一般应力状态还是简单应力状态作出的出的 曲线，就是曲线，就是 曲线，此曲线也曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或加工硬化曲线，或真应叫变形抗力曲线或加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以下四种简单应力状态力曲线。目前常用以下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗力曲线。的试验来做金属变形抗力曲线。 eeseeesesese2012-5-15-22022-3-1820 单向拉伸单向拉伸 200132321eeesssddd；、sesss1

11、011lnllddeeeee2022-3-1821 单向压缩单向压缩 200321213eeesssddd；、sesss3013lnhhddeeeee可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力；可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力；等效应变等于绝对值最大主应变。等效应变等于绝对值最大主应变。 2022-3-1822 平面变形压缩平面变形压缩 02002313213eeessssddd、；、sesss323013ln3232hhddeeeeeKkss2155. 1323sss其中其中为平面变形抗力为平面变形抗力2022-3-1823 薄壁管扭转薄壁管扭转 00231213eeesssddd、；

12、、kse331sss113232eeeeddee2022-3-182412.5 平面变形和轴对称变形平面变形和轴对称变形 塑性力学问题共有九个未知数，即六个应力分量塑性力学问题共有九个未知数，即六个应力分量和三个位移分量。与此对应，则有三个力平衡方和三个位移分量。与此对应，则有三个力平衡方程和六个应力应变关系方程。虽然可解，但在解程和六个应力应变关系方程。虽然可解，但在解析上要求出能满足这些方程和给定边界条件的严析上要求出能满足这些方程和给定边界条件的严密解是十分困难的。然而，如果应力边界条件给密解是十分困难的。然而，如果应力边界条件给定，对于平面变形问题，静力学可以求出应力分定，对于平面变形

13、问题，静力学可以求出应力分布，而成为静定问题。对于轴对称问题，引入适布，而成为静定问题。对于轴对称问题，引入适当假设，也可以静定化。塑性加工问题许多是平当假设，也可以静定化。塑性加工问题许多是平面变形问题和轴对称问题，也有许多可以分区简面变形问题和轴对称问题，也有许多可以分区简化为平面变形问题来处理。化为平面变形问题来处理。 2012-5-14-32022-3-182512.5.1 平面变形平面变形 应力特点应力特点 pyxmzzyzxsssssss21210312，yxfij,s0zeyxzsss210zs0ze平面应变状态：平面应变状态：而而 平面应力状态：平面应力状态：而而1s)(213

14、12sss3s2022-3-1826 应变特点应变特点 0zyzxzdddeeeyxddee31ee02e3e2022-3-1827 几何方程几何方程 xdudxx)(eydudyy)(exduydudyxxy)()(21e2022-3-1828 力平衡微分方程力平衡微分方程 0yxyxxs0yxyxys2022-3-1829 屈服条件屈服条件 本构方程本构方程 222222155. 13244Kkssxyyxsssseseseddddxyxyyyxx2022-3-183012.5.2 轴对称变形轴对称变形 应力特点应力特点 应变特点应变特点 zrfij,s0 z rssr变形均匀时有变形均匀时有0 zree2022-3-1831 几何方程几何方程 rd