复变函数第二章第三节

1、定义定义2.8(单叶函数单叶函数）设函数设函数f(z)在区域在区域D内有定义内有定义,且对且对D内任意内任意不同不同的的两点两点z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),则称函数则称函数 f(z)在在D内是内是单叶单叶的的.并且称区域并且称区域D为为f(z)的单叶性区域的单叶性区域.显然显然,区域区域D到区域到区域G的的单叶满变换单叶满变换w=f(z)就是就是D 到到G的的一一变换一一变换.f(z)=z2不是不是C上的单叶函数上的单叶函数. f(z)=z3是是C上的单叶函数上的单叶函数第三节 初等多值函数定义定义2.9 若若z=wn,则称则称w为为z的的n次根式函数，记为：次根式函数，记为：的

2、特点。的特点。例，简单介绍多值函数例，简单介绍多值函数下面以二次根式函数为下面以二次根式函数为nwz , 根式函数根式函数 为幂函数为幂函数z=wn 的反函数的反函数.nwz (1) 根式函数的多值性根式函数的多值性.000nzw 20|kinnnkkzwzz e 0,1,1kn arg zz 的的主主辐辐角角,),20(2/iArgzierzwrez 设设1. 根式函数根式函数的的具具体体数数值值无无法法确确定定。来来说说，其其幅幅角角点点对对于于复复平平面面上上某某一一固固定定Argzz.22/ )2(2/ iiererwzCz连连续续变变为为将将由由，从从而而变变，但但其其幅幅角角却却变

3、变为为值值虽虽然然不不的的位位置置，环环绕绕原原点点一一周周回回到到原原来来沿沿某某一一条条闭闭合合曲曲线线若若根根式式的的值值也也保保持持不不变变。的的幅幅角角不不变变，因因而而二二次次置置，环环绕绕一一周周回回到到原原来来的的位位闭闭合合曲曲线线沿沿某某一一条条不不包包含含原原点点的的但但若若zCz1 (2) 分出根式函数的单值解析分支分出根式函数的单值解析分支. 20kinnnnkkkizwzrere 2arg2= 0,1,1kkzkknnn 12010nniiwrewre 22 22niwre 2 (1)11nnnniwre 2kknkiwre 从原点从原点O起到点起到点任意引一条射线

4、将任意引一条射线将z平面割破，该平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边构成以此割线为边界的区域，记为界的区域，记为G)上，上， argz2 ，从而可将其转化，从而可将其转化为单值函数来研究。为单值函数来研究。就是其一个支点，这时绕就是其一个支点，这时绕 转一周也可看作绕点转一周也可看作绕点函数值发生了变化，则称函数值发生了变化，则称 为为f(z)的的支点支点，如，如 ，若变点，若变点z沿沿 转一周，回到出发点时，转一周，回到出发点时， wk在其定义域上解析在其定义域上解析,且且 1nknkkzwznz 1, 1 , 0 nk,)()(2)arg(

5、nkzinknkezrzw nwz 分成如下的分成如下的n个单值函数：个单值函数： (3) 的支点及支割线的支点及支割线定义定义1设设w=f(z)为多值函数，为多值函数， 为一定点，作小圆周为一定点，作小圆周a:CzarCa,0nwz z:Czr转一周，故点转一周，故点 也是其一个支点也是其一个支点.nwz 常用方法常用方法： 从原点起沿着从原点起沿着负实轴负实轴将将z平面割破平面割破,即可将根即可将根式函数式函数:如如 可以以负实轴为支割线可以以负实轴为支割线.nwznwz0zx定义定义2 设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分设想把平面割开，借以分出多值函数的单值分支的割线，称为多值函数

6、的支的割线，称为多值函数的支割线支割线.注注 a) 支割线可以有两岸支割线可以有两岸.b) 单值解析分支可连续延拓到岸上单值解析分支可连续延拓到岸上.c) 支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变支割线改变各单值分支的定义域，值域也随之改变.d) 对对 ，当以负实轴为支割线时，当，当以负实轴为支割线时，当 时取正值的那个分支称为时取正值的那个分支称为主值支主值支.上岸下岸.Ln ,)( )0( zwzfwzzew 记记为为称称为为对对数数函函数数的的函函数数满满足足方方程程二、对数函数二、对数函数1. 定义定义2.计算公式计算公式： .2 , )( , Arg的整数倍的整数倍并且每两值相差

7、并且每两值相差也是多值函数也是多值函数所以对数函数所以对数函数为多值函数为多值函数由于由于izfwz ivuwrezi , 令令 iivuwreezezw Ln)(2,Zkkvreu ArgzZkkvru )(2),(ln 实实对对数数)( )2(lnLnZkkirzw )( )2(arg|ln|lnLnZkkziziArgzzz 即即,arg Arg ArglnLn zzzizz取主值取主值中中如果将如果将 . Ln ln Ln 的主值的主值称为称为，记为记为为一单值函数，为一单值函数，那末那末zzz.arglnlnzizz . Ln , , 的的一一个个分分支支称称为为上上式式确确定定一一

8、个个单单值值函函数数对对于于每每一一个个固固定定的的zk说明说明：w=Lnz是指数函数是指数函数ew=z的反函数，的反函数，Lnz一般不能写成一般不能写成lnz,Ln zez 其余各值为其余各值为), 2, 1(2lnLn kikzz例例1 . )1(Ln , 2Ln 以以及及与与它它们们相相应应的的主主值值求求 解解,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对数函

9、而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数是实变数对数函数的拓广.例例2. 031 iez解方程解方程解解,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k3. 对数函数的性质对数函数的性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处处处可可导导和和其其它它各各分分支支处处处处连连续续主主值值支支的的复复平平面面内内包包括括原原点点在在除除去去负负实实轴轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz （是下岸相应点的函数值）求（是下岸相应点的函数值）求 的值的值. 以以 为支点

10、，连接为支点，连接 的的任一任一（广义）简单曲线可作为其支割线（广义）简单曲线可作为其支割线.4. 分出分出w=Lnz的单值解析分支的单值解析分支从原点起沿着负实轴将从原点起沿着负实轴将z平面平面割破割破，就可将，就可将对数函数对数函数w=Lnz分成如下分成如下无穷多个无穷多个单值解析分支：单值解析分支：的支点和支割线的支点和支割线zwLn . 5 ),2(argln)Ln( kzirzwkk , 2, 1, 0 k wk在在定义域定义域上解析上解析,且且 1Lnkkwzz 例例1 设设 定义在沿负实轴割破的平面上，且定义在沿负实轴割破的平面上，且wLnz0zz 与0与wLnz( 1)3wi(

11、 )w i()ln(arg2)kkwLnzzizk(arg)z解：解：求值：求值： )2) 1(arg(| 1|ln3kii1kiiiiiiw25)22()2)(arg(|ln)(三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数ba1. 乘幂乘幂: , , , Lnabbeaba定义为定义为乘幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 . Lnabbea 即即. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的一般情况下，一般情况下，因而因而是多值的是多值的注：由于注：由于bakaiaa zbbezwLn 2. 一般幂函数一般幂函数 , )1(为整数时为整数时当当b Lna

12、bbea )2arg(ln kaiabeikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具具有有单单一一的的值值ba)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp .)1( , 1 , 0 , 时时相相应应的的值值即即取取个个值值具具有有 qkqab ,0) ,( )2(时时为互质的整数为互质的整数与与当当 qqpqpb , )3(是无穷多值的。是无穷多值的。函数函数为无理数或复数时为无理数或复数时当当bzwb 3. 幂函数的解析性幂函数的解析性原点和负实轴的复平面内是解析的原点和负实轴的复平面

13、内是解析的,.)(1 bbbzz的的各各个个分分支支在在除除去去它它是是一一个个多多值值函函数数，它它为为整整数数外外除除去去, b ),1(/ nnmb既既约约分分数数，为为有有理理数数当当 数数是是无无穷穷多多值值的的。的的无无穷穷阶阶支支点点，此此时时函函点点和和无无穷穷远远点点是是为为无无理理数数或或复复数数时时，原原当当bzwb , 111分分解解成成解解析析分分支支。内内可可以以把把在在得得到到一一个个区区域域割割线线一一条条简简单单连连续续曲曲线线作作为为原原点点和和无无穷穷远远点点的的不不是是整整数数时时，任任取取连连接接当当bzwDDKb .2Argz,1ln)2ln)|ln

14、|ln/11111111出出发发的的值值，即即回回到到了了它它从从相相应应地地连连续续变变动动到到则则从从，而而连连续续变变动动到到从从周周时时连连续续变变动动出出发发按按逆逆时时针针或或顺顺时时针针从从当当一一点点（zeeeezwnnzzznmniznmiznmznmnm 11/阶代数支点。阶代数支点。也称也称阶支点，阶支点，的的点是点是这时，称原点和无穷远这时，称原点和无穷远n-n-zwnm 例例1 1 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike

15、 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii azzeawLn 4. 一般指数函数一般指数函数它是无穷多个独立的、在它是无穷多个独立的、在z平面上单值解析的函数。平面上单值解析的函数。.Ln, zeweea 指数函数指数函数的单值的的单值的取主值时，便得到通常取主值时，便得到通常当当)1Ln(Arcsin2ziziz 1. 反三角函数的定义反三角函数的定义.cosArc , ,cos zwzwwz 记作记作的反余弦函数的反余弦函数为为称称设设,2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得, 1 2 zzeiw方

16、程的根为方程的根为两端取对数得两端取对数得).1Ln(cosArc2 zziz 同样可以定义反正弦函数和反正切函数同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤重复以上步骤, 可以得到它们的表达式可以得到它们的表达式:),1Ln(22 zzi .11Ln2Arctaniziziz 都是多值函数。都是多值函数。和和是多值函数，所以是多值函数，所以是二值函数，对数函数是二值函数，对数函数由于以上各式中由于以上各式中zArczArczcossin12 四、反三角函数和反双曲函数四、反三角函数和反双曲函数2. 反双曲函数的定义反双曲函数的定义),1Ln( Arsinh2 zzz反双曲正弦反双曲正弦

17、),1Ln(osh Ar2 zzzc反双曲余弦反双曲余弦.11Ln21 Artanhzzz 反双曲正切反双曲正切例例1 1解解).32tan( Arci 求函数值求函数值 )32tan( Arci)32(1)32(1Ln2iiiii 53Ln2ii kii231arctan52ln2.31arctan212152ln4 ki . , 2 , 1 , 0 k其中其中(4) 若若 能整除能整除 中若干个之和，则中若干个之和，则 中对应的几个就可以联结成割线，即变中对应的几个就可以联结成割线，即变点点 z 沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，沿只包含它们在其内部的简单闭曲线转一整周后，函数值

18、不变函数值不变.五、具有有限个支点的情形五、具有有限个支点的情形设有任意设有任意N次多项式：次多项式：mmazazazAzP )()()()(2121 maaa,21分别为分别为P(z)的一切相异零点，对应重数为的一切相异零点，对应重数为m ,21且有且有,21Nm 则函数则函数nzPw)( 的支点有以下结论：的支点有以下结论：(1) 的可能支点为的可能支点为 和和 ；maaa,21(2) 当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时， 是是 的支点；的支点；niianzPw)( nzPw)( (3) 当且仅当当且仅当 不能整除不能整除 时，时， 是是 的支点；的支点；nNnzPw)( nm ,

19、21maaa,21例例1 1 作出一个含作出一个含 i 的区域的区域,使得函数使得函数, )2)(1(zzzw在此区域内可分解成单值解析分支在此区域内可分解成单值解析分支, ,求一个分支在求一个分支在i点点解可能的支点为可能的支点为2 |1,2 | 3;0,1,2,.故为支点易知函数易知函数, )2)(1(zzzw因因0,1,2与与无穷无穷，具体分析见下图具体分析见下图ArgArg(1) Arg(2)1/22| (1)(2)|eizzzwz zz012012012012结论：结论：0 0、1 1、2 2与无穷都是支点。与无穷都是支点。的值的值, ,使其满足使其满足.6) 1(iw支点确定后，我

20、们作支点确定后，我们作区域，将函数分解成单值解析分支。区域，将函数分解成单值解析分支。首先，在复平面内作一条连接首先，在复平面内作一条连接0,1,20,1,2及及无穷远点无穷远点的任意无的任意无界简单连续曲线作为割线界简单连续曲线作为割线, ,在所得区域内在所得区域内, ,可以把可以把w分解分解成连续分支。例如成连续分支。例如, ,可取可取 作为割线作为割线, ,得到区域得到区域D。), 0 其次其次, ,也可以取线段也可以取线段0,10,1及从及从2 2出发且不与出发且不与0,10,1相交的相交的射线为割线射线为割线, ,在所得区域内在所得区域内, ,可以把可以把w分解成连续分支。分解成连续分支。例如，可取例如，可取0,10,1及及 作为割线作为割线, ,得到区域得到区域 。), 2 1D支：支：可以分解成两个解析分可以分解成两个解析分内，内，或或于是在于是在取取在在wDDzzzz1,)2arg(,)1arg(,arg, 1 )1 , 0(| )2)(1(|2)2arg()1arg(arg22/1 kezzzwkzzzi 内有内有或或于是