数理统计的基本概念

1、第六章第六章 数理统计的基本概数理统计的基本概念念第一节第一节 随机样本随机样本第二节第二节 抽样分布抽样分布第一节第一节 随机样本随机样本总体与个体总体与个体在一个统计问题中，将研究对象的全体称为在一个统计问题中，将研究对象的全体称为总体。总体。构成总体的每个元素称为构成总体的每个元素称为个体。个体。由于总体就是一个随机变量由于总体就是一个随机变量X（或向量（或向量X ）或一个概）或一个概率分布，因此研究总体就是要研究率分布，因此研究总体就是要研究X的概率分布或某的概率分布或某些特征量。些特征量。从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽从总体中按一定规则抽出一部分个体的过程称为抽样。所抽

2、得的个体称为样。所抽得的个体称为样本。样本。样本样本 设设X是具有分布函数是具有分布函数F的随机变量，若的随机变量，若X1，X2，Xn是具有同一分布函数是具有同一分布函数F的、相互独立的随的、相互独立的随机变量，则称机变量，则称X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X(或总体或总体F)的样本容量为的样本容量为n的简单随机样本，它们的观察值的简单随机样本，它们的观察值x1，x2，xn称为样本值。称为样本值。对于简单随机样本对于简单随机样本X1，X2，Xn ，其联合概率分，其联合概率分布可以由总体布可以由总体X的分布完全确定。若总体的分布完全确定。若总体X的分布函的分布函数为数为F(x)，则样本，则

3、样本X1，X2，Xn的联合分布函数为的联合分布函数为)(),(121ininxFxxxF 又若又若X具有概率密度具有概率密度f(x)，则，则X1，X2，Xn的联合概率的联合概率密度为密度为)(),(121ininxfxxxf , 2 , 1 ipxXPii则则X1，X2，Xn的联合分布律为的联合分布律为 ), 2 , 1(, 2 , 1,12121njipxXxXxXPjinjiniijn 若若X的分布律为的分布律为 1 , 0)1(1 xppxXPxx例例1 设总体设总体XB(1,p)，X1，X2，Xn为取自总体为取自总体X的样本，求样本的样本，求样本X1，X2，Xn的联合分布（称为的联合分

4、布（称为样本分布）。样本分布）。解解: X的分布律为的分布律为所以样本所以样本X1，X2，Xn的联合分布律为的联合分布律为 nixppppxXxXxXPixnxxxninnniiniiii, 2 , 11 , 0,)1()1(,11112211 定义定义1 设设X1,X2,Xn为来自总体为来自总体X的样本的样本,g(X1,X2,Xn)是是X1,X2,Xn的函数的函数,若若g中中不含任何未知参数不含任何未知参数,则称则称g(X1,X2,Xn)为为统计量统计量.样本平均样本平均 niiXnX11 设设x1, x2,xn是相应于样本是相应于样本X1,X2,Xn的样本值的样本值,则则称称g(x1,x2

5、,xn)是是g(X1,X2,Xn)的的观察值观察值.样本方差样本方差 1111122122 niiniiXnXnXXnS样本标准差样本标准差 niiXXnSS12211样本样本k阶阶(原点原点)矩矩 , 2 , 111 kXnAnikik样本样本k阶中心矩阶中心矩 , 2 , 111 kXXnBnikik它们的观察值分别为它们的观察值分别为 niixnx11 niixxns122;11 niixxnss12211, 2 , 111 kxnanikik, 2 , 1)(11 kxxnbnikik例例2设总体设总体X的期望、方差分别为的期望、方差分别为 X1，X2，Xn为来自总体为来自总体X的样本

6、，其样本均值和的样本，其样本均值和样本方差分别记为样本方差分别记为 。求。求),(),(2XDXE 2,SX。及及)()(),(2SEXDXE, 2 , 1,)(:niXEi 由由于于解解 niiniiXEnXnEXE11)(1)1()( 所所以以相相互互独独立立，且且又又由由于于niXXXniXD, 2 , 1,)(212 nXDnXnDXDniinii2121)(1)1()( 所所以以由于由于 niiniiiniiXnXnXXXXnXXnS1221221221121111所以所以 2122221222)(11)()(11)( niniinnnXnEXEnSE第二节第二节 抽样分布抽样分布

7、niiX122 设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体N(0，1)的样本，则统的样本，则统计量计量服从自由度为服从自由度为n的的 分布，记为分布，记为2 )(22n 其他其他0 0 221)(2212yeynyfynn 分布的概率分布密度为分布的概率分布密度为)(2n 1、 分布分布2 )(yfyO1 n5 n15 n)( )(),()1(2122221222122221221nnnn 则则相相互互独独立立与与且且如如果果 分布具有以下性质分布具有以下性质: )(2n nDnEn2)(,)(),()2(2222 则则有有如如果果.)()()()(),(),10(22)(22222分分位位点点

8、分分布布的的上上为为的的点点称称满满足足条条件件设设对对于于给给定定的的正正数数 nndyyfnPnn 标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的标准正态分布的分位点也类似定义，标准正态分布的上上 分位点记为分位点记为 ,它满足它满足u uZP其中其中ZN(0,1)。 对不同的对不同的 分布的上分布的上 分位点的值已制成分位点的值已制成表格，可以查用。表格，可以查用。)(,2nn )(yfyO )(2n2、t 分布分布 设设XN(0,1),Y ,且且X与与Y相互独立，相互独立，则随机变量则随机变量nYXt 服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布,记为记为tt(n)。)(2n t(n)分布

9、的概率密度函数为分布的概率密度函数为 tntnnnthn )1()2()21()(212 t(n)分布的概率密度函数分布的概率密度函数 关于关于t=0单峰对称单峰对称)(th)(thtO)(正正态态 n1 n10 n当当n很大时很大时t(n)分布接近于标准正态分布，利用分布接近于标准正态分布，利用函数函数的性质可以证明的性质可以证明e2221)(limttfnn当当n较小时，较小时，t(n)分布与分布与N(0,1)分布之间有较大差异。分布之间有较大差异。 t(n)分布的上分布的上 分位数记为分位数记为 ，即即 满足满足)(nt )(nt )()()(nthnttP)(, 10(ntt t分布的

10、上分布的上 分位数可由附表查得。分位数可由附表查得。当当n45时，有时，有 unt )(tO)(nt )(th 设设 且且U与与V相互独立，相互独立，则随机变量则随机变量)(),(2212nVnU 21/nVnUF 服从自由度为服从自由度为(n1，n2)的的F分布，记为分布，记为FF(n1，n2) 其其他他 00 )1()()2()2()22()(2211221212121211yynnynnnnnnnnynnn 3、F分布分布 F(n1,n2)分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(y yO25,1021 nn5,1021 nn若若FF(n1,n2)，则，则),(112nnFF),(,

11、10( )(),(21),(2121nnFFynnFFPnnF 的上的上 分位点记为分位点记为 ，即它满足，即它满足),(21nnF),(21nnF )(y yO ),(21nnF 若若FF(n1,n2),则则 ),(112nnFF),(111),(11),(1211211211nnFFPnnFFPnnFFP ),(11211nnFFP于于是是),(),(112211nnFnnF 所所以以),(1),(12211nnFnnF 即即),(1),(12211nnFnnF F分布的上分布的上 分位点有如下的性质：分位点有如下的性质： 相相互互独独立立与与则则有有方方差差分分别别为为样样本本均均值值与

12、与样样本本的的样样本本为为来来自自总总体体设设22222221)2()1()1()1(,),(, SXnSnSXNXXXn 4、正态总体的样本均值与样本方差的分布、正态总体的样本均值与样本方差的分布1定定理理)1(/,),(, 2221 ntnSXSXNXXXn 则则有有方方差差分分别别为为样样本本均均值值与与样样本本的的样样本本为为来来自自总总体体设设2定定理理)1()1()1(/,)1(/)1()1(),1 , 0(/1:2222222 ntnSnnXnSXtSnnXnSnNnSX 分分布布的的定定义义知知由由相相互互独独立立与与且且的的结结论论知知由由定定理理证证.,2)1()1( )2

13、(11)( ,)(11)(11,11,),(),(, 22122221122121211222212121112122212121111221WWWniiniininiiinnSSnnSnSnSnntnnSYXYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXXW 而而其其中中则则有有和和记记为为两两样样本本的的样样本本方方差差分分别别和和记记为为别别设设两两样样本本的的样样本本均均值值分分且且两两样样本本相相互互独独立立样样本本的的和和总总体体具具有有相相同同方方差差的的两两正正态态分分别别是是来来自自与与设设 3定定理理),( )1(1:221221nnNYX 及及正正态态分分布布的的性性质质知知的的结结论论由由定定理理证证明明)1 , 0(11)