基于马尔科夫过程的电力系统可靠性预测

1、双控（双控（1 1）班）班 2111503049 2111503049 温峰温峰关于可靠性关于可靠性绪论 可靠性是一门新兴学科可靠性是一门新兴学科,它包括可靠性数学、可靠性物理它包括可靠性数学、可靠性物理(失失效物理效物理)及可靠性工程。及可靠性工程。 系统的可靠性系统的可靠性,一般是指系统的功能在时间上具有稳定性的程一般是指系统的功能在时间上具有稳定性的程度或性质度或性质,具体的可用可靠度来衡量具体的可用可靠度来衡量;而可靠度是指系统在规定的而可靠度是指系统在规定的时间内时间内,并在一定的条件下并在一定的条件下,维持规定功能的概率。维持规定功能的概率。 可修系统在使用过程中可修系统在使用过程

2、中, 一般是从正常工作状态转移到一般是从正常工作状态转移到失效状态失效状态 ,然后经过维修回复到正常状态然后经过维修回复到正常状态 ,如此往复循环下如此往复循环下去去, 这这 2 种状态相互转移的过程种状态相互转移的过程,可以用概率方法来描述。可以用概率方法来描述。正常正常失效失效目录马尔可夫过程1串联可维修系统2马尔科夫模型的建立3可靠性模型的建立45模型对比第1章马尔可夫过程马尔可夫过程 马尔科夫过程是一种基于概率统计的特殊随机过程马尔科夫过程是一种基于概率统计的特殊随机过程, ,它能很好地它能很好地描述可修复系统在投入使用后处于某种状态的概率描述可修复系统在投入使用后处于某种状态的概率

3、, ,分析系统可靠分析系统可靠性性 。作为可靠性工程中非常重要的理论工具。作为可靠性工程中非常重要的理论工具 , ,马尔科夫过程现已广马尔科夫过程现已广泛应用于金融、地产泛应用于金融、地产 、网络、网络 、电力电子等多个领域、电力电子等多个领域, , 其中在电力系其中在电力系统中统中 , ,主要用于输电线路、配电系统及继电保护装置的可靠性研究。主要用于输电线路、配电系统及继电保护装置的可靠性研究。马尔可夫过程 设设 X( t) 表示系统状态的随机变量表示系统状态的随机变量, 或者说系统状态是或者说系统状态是 t 的随机函数的随机函数, 随机变量随机变量 X( t) 可能取值的全体范围称为状态可

4、能取值的全体范围称为状态空间空间 ,当状态有限时当状态有限时,常用常用 S = 0 , 1 , . . . , N 表示表示 。 系统状态系统状态 X( t) 对任意时间集合对任意时间集合 t 1 t2 . . . tn 和和 n 个个未知数未知数 x1 , x2 , . . . , xn ( n N) 有下列关系有下列关系 PX(t)=x|X(tPX(t)=x|X(tn n)=x)=xn n =PX(t)=x=PX(t)=x =PX(t)=x|X(t =PX(t)=x|X(t1 1)=x)=x1 1,X(t,X(t2 2)=x)=x2 2,X(tX(tn n)=x)=xn n 式中式中 x1

5、 , x2 , . . . , xn S 这种随机过程这种随机过程 X( t) 为连续时间为连续时间 、有限状态空间的马尔可夫、有限状态空间的马尔可夫过程。过程。 在可修系统中在可修系统中, 系统状态的转移概率只与现时刻所处的系统状态的转移概率只与现时刻所处的状态有关状态有关, 而与以前或有限次以前所处的状态无关而与以前或有限次以前所处的状态无关,这符合这符合马尔可夫过程的条件。马尔可夫过程的条件。马尔可夫过程如果如果 X( t) 在起始时刻在起始时刻 t0 处于状态处于状态 i ,在在 t 0 +t 时刻转移至状时刻转移至状态态 j 的转移概率与的转移概率与 t0 无关无关 ,即即 其中其中

6、 这种仅与终止时刻和起始时间之差有关的状态转移过程是齐这种仅与终止时刻和起始时间之差有关的状态转移过程是齐次马尔可夫过程。次马尔可夫过程。 在可修系统中在可修系统中, 如果失效率如果失效率 和修复率和修复率 都是常数都是常数,我们就我们就假设系统寿命和修复都是指数分布假设系统寿命和修复都是指数分布, 其状态转移过程是齐次马其状态转移过程是齐次马尔可夫过程尔可夫过程 。马尔可夫过程现用一个极小的时间间隔现用一个极小的时间间隔 t ，并假定在，并假定在 t 时间内状态转时间内状态转移概率为移概率为aij为常数，表示系统从为常数，表示系统从i状态转移到状态转移到j状态的速率状态的速率; o(t) 为

7、为 t 的高阶无穷小量，表示的高阶无穷小量，表示t 期间内两次以上转移期间内两次以上转移的概率的概率。jiijiitotatP)(1)(马尔可夫过程令令 由全概率公式可得：由全概率公式可得：)()(totatPjiiji0t进入j状态离开j状态)(tPj马尔可夫过程写成矩阵形式为写成矩阵形式为这样这样 ,在给定起始状态概率的条件下在给定起始状态概率的条件下,从式从式( 3) 可以解出可以解出P0( t), P1( t), , PN( t)。在实际问题中在实际问题中, 可以判定哪些是工作状态可以判定哪些是工作状态,哪些是失效状态哪些是失效状态 。假定其中假定其中 Pi( t) ( i =0 ,

8、1 , 2 , , k) 是系统工作状态的概率是系统工作状态的概率, 而而 Pi( t) ( i =k +1 , ,N) 是系统失效状态的概率是系统失效状态的概率,可得系统的瞬时可得系统的瞬时可用度为可用度为)()()(10tPtPtPN马尔可夫过程在工程问题中在工程问题中, 人们特别感兴趣的是稳态解人们特别感兴趣的是稳态解, 也就是在也就是在时时 的稳态解。令的稳态解。令 ( j =0 , 1 , , N)；在稳态；在稳态下下 。同时约束条件为同时约束条件为 解上述线性方程组解上述线性方程组, 则可得稳态解则可得稳态解 Pj ,于是系统的稳态可于是系统的稳态可用度为用度为 0tPj0)(tP

9、j第2章串联可维修系统串联可维修系统 多部件串联的可修系统是常见的控制系统多部件串联的可修系统是常见的控制系统 ,它有它有 2 种情况种情况 ,一是一是多个相同部件组成的串联系统多个相同部件组成的串联系统, 二是多个不同部件组成的串联系统。二是多个不同部件组成的串联系统。由于前一系统是后一系统的特殊形式由于前一系统是后一系统的特殊形式 ,因此只讨论多个不同部件组因此只讨论多个不同部件组成的串联系统。成的串联系统。串联可维修系统多部件串联的可修系统是常见的控制系统。多部件串联的可修系统是常见的控制系统。假定每个部件的失效率和维修率分别为假定每个部件的失效率和维修率分别为 i , i( i =1

10、, 2 , , n) 都是常数，且各部件故障后修复如新都是常数，且各部件故障后修复如新 假定各部件状态相互独立假定各部件状态相互独立, 且不会有两个或多个部件同时失且不会有两个或多个部件同时失效效则系统状态空间为则系统状态空间为串联可维修系统系统从系统从 t到到 t + t 时刻的转移概率为时刻的转移概率为)()()(10tPtPtPN串联可维修系统在实际工程应用中在实际工程应用中, 一般只需求出稳态解即可。一般只需求出稳态解即可。令令 则，则，系统稳态可用度为系统稳态可用度为t第3章马尔科夫模型的建立马尔科夫模型的建立 变压器是一个可修复系统变压器是一个可修复系统 。系统发生故障后。系统发生

11、故障后,一般要寻找故障部一般要寻找故障部位位, 对其进行修理或更换对其进行修理或更换,直到恢复到正常工作状态直到恢复到正常工作状态 ,该工作过程即为该工作过程即为修复过程。变压器的老化过程是一个随机过程修复过程。变压器的老化过程是一个随机过程, 一般是从正常工作一般是从正常工作状态转移到故障状态状态转移到故障状态 , 然后经过修复回到正常状态然后经过修复回到正常状态 ,如此往复循环下如此往复循环下去去 。这种由一种状态转移到另一种状态的。这种由一种状态转移到另一种状态的“状态转移状态转移”完全是随机完全是随机的的 。在马尔科夫过程中。在马尔科夫过程中 ,考察的系统根据一定的概率分布在各个状考察

12、的系统根据一定的概率分布在各个状态间转移态间转移,未来某个时间的状态是不确定的未来某个时间的状态是不确定的,这与变压器的老化过程这与变压器的老化过程很相似很相似 , 故马尔科夫过程适用于变压器可靠性分析中故马尔科夫过程适用于变压器可靠性分析中 。马尔科夫模型的建立 为了尽量使评估模为了尽量使评估模型全面、真实地反映型全面、真实地反映变压器的使用状态变压器的使用状态 ,将将变压器的非运行状态变压器的非运行状态进行分类进行分类, 作为独立的作为独立的状态变量予以考虑。状态变量予以考虑。变压器自投入系统运变压器自投入系统运行后行后,就作为统计对象就作为统计对象进入使用状态进入使用状态,使用状使用状态

13、分为可用状态和不态分为可用状态和不可用状态可用状态, 其状态分类其状态分类如图如图:马尔科夫模型的建立 设变压器处于正常设变压器处于正常运行状态的概率为运行状态的概率为 p0 , 处于各不可用状态的处于各不可用状态的概率为概率为 pk(k =1,2,10),且该状态且该状态下的故障率和修复率下的故障率和修复率分别为分别为k 和和k (k=1,2,10)。根据变。根据变压器全态模型压器全态模型, 运用马运用马尔科夫过程原理尔科夫过程原理 ,可得可得到状态转移图到状态转移图马尔科夫模型的建立求解以下方程组求解以下方程组由此计算出变压器可能所处的各个状态概率。由此计算出变压器可能所处的各个状态概率。

14、第4章可靠性模型的建立可靠性模型的建立可靠性模型的建立 变压器在状态变压器在状态 i 的频率的频率 f i 是指变压器在平稳是指变压器在平稳状态下状态下,每单每单位时间里停留在状态位时间里停留在状态 i( 或进入或进入 、或离开、或离开) 的期望次数的期望次数 。频。频率的概念是与描述变压器的长期行为相联系的。率的概念是与描述变压器的长期行为相联系的。 在平稳状态下在平稳状态下, 从其它状态进入状态从其它状态进入状态i 的频率之和等于的频率之和等于离开状态离开状态 i 到其它状态的频率之和到其它状态的频率之和,这就是频率平衡的概念。这就是频率平衡的概念。根据定义根据定义 ,处在状态处在状态 i

15、 的频率应等于所有转移频率之和，即的频率应等于所有转移频率之和，即平均持续时间平均持续时间 是指变压器停留在状态是指变压器停留在状态 i 的平均持续时间。的平均持续时间。处在状态处在状态 i 的持续时间的持续时间：it可靠性模型的建立 在变压器全态模型中在变压器全态模型中, 变压器是一个整体的系统变压器是一个整体的系统,其中的其中的每个状态相当于每个状态相当于 1 个组成部件个组成部件,每每 1 种故障状态的发生都将种故障状态的发生都将导致变压器无法正常运行导致变压器无法正常运行, 处于不可用的状态处于不可用的状态( 设设 n 为总故为总故障状态数障状态数)。因此可以用串连等值的方法对整个变压

16、器系统。因此可以用串连等值的方法对整个变压器系统进行分析进行分析 。 现用一个等效元件来替换现用一个等效元件来替换这一串联系统这一串联系统 , 故障率和维修故障率和维修率分别为率分别为 s 和和 s ,并设并设 ri =1/i 。那么系统的可用率。那么系统的可用率 As , 不可用率不可用率 U s 和故障频率和故障频率 s 由串联等值的原理可以得由串联等值的原理可以得到到可靠性模型的建立若变压器的平均无故障时间和平均修复时间分别为若变压器的平均无故障时间和平均修复时间分别为 和和 ,则则fstrst第5章模型的对比模型的对比模型的对比根据中国电力企业联合会在电力可靠性指标发布会中的资根据中国

17、电力企业联合会在电力可靠性指标发布会中的资料料 1999 2002年全国年全国 220 kV 变压器停运的相关数据，可变压器停运的相关数据，可以获得。以获得。 次次/（台。年）（台。年） 故障部位故障部位 故障率故障率 修复率修复率绕组0.44321.8699铁心0.03723.2153套管1.822439.5604冷却系统0.692491.8032分接头装置0.335140.8451绝缘介质0.36387.3362其他1.55336.6300预防性试验0.2866285.2678大修0.081919.7557小修0.5733118.3391ii模型的对比解得变压器各个状态的平稳状态的概率解得

18、变压器各个状态的平稳状态的概率 变压器所发生的变压器所发生的非计划停运的故障部非计划停运的故障部位主要集中在绕组故位主要集中在绕组故障上障上, 状态概率为状态概率为 0 . 02 %。绕组故障是造。绕组故障是造成非计划停运的主要成非计划停运的主要原因原因, 其发生的概率其发生的概率非常高非常高 。所以在实际。所以在实际运行策略中运行策略中,就应该加就应该加强对绕组的监测强对绕组的监测, 经经常检查其运行情况常检查其运行情况,尽尽量降低其故障概率。量降低其故障概率。模型的对比根据相关电力规程，大修周期一般为根据相关电力规程，大修周期一般为5 10 a ,小修为小修为 1 a ,预防性试验大致在预防性试验大致在 1 3 a。此处做近似处理。此处做近似处理 ,取大修周期取大修周期为为7 a ,小修小修 1 a, 预防性试验预防性试验 2 a( 即即 3 种状态的故障率比例为种状态的故障率比例为 1/7 : 1 : 1/2)，但是大修和小修的状态概率相差不大，但是大修和小修的状态概率相差不大 。因为。因为虽