建筑力学第7章梁的弯曲应力和变形

1、1 第第7 7章梁的弯曲应力和变形章梁的弯曲应力和变形 7.17.1 横截面的几何性质横截面的几何性质 7.27.2 梁横截面上正应力的计算公式梁横截面上正应力的计算公式 7.37.3 梁的正应力强度计算梁的正应力强度计算 7.47.4 梁横面上的切应力与切应力强度条件梁横面上的切应力与切应力强度条件 7.57.5 梁的弯曲变形梁的弯曲变形AySzddAzSyddAAyyAAzzAzSSAySSddddzydA yz静距静距是面积与它到轴的距离之积。是面积与它到轴的距离之积。平面图形的平面图形的静矩静矩是对一定的坐标而言的，是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同一平面图形对不同的坐标轴，其静

2、矩显然不同同的坐标轴，其静矩显然不同。静矩的数值可能为正，可能。静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。它常用单位是为负，也可能等于零。它常用单位是m m3 3或或mmmm3 3。 形心形心 dA zyyzCxCyAyAyAzAzCCAydAyAzdAzACACASyASzzCyCCyCzzASyAS 平面图形对平面图形对z z轴（或轴（或y y轴）的轴）的静矩，等于该静矩，等于该图形面积图形面积A A与其与其形心坐标形心坐标y yC C（或（或z zC C）的乘积。的乘积。 注意：注意： 当当坐标轴坐标轴通过平面图形的通过平面图形的形心形心时，其静矩为时，其静矩为零；反之，若平面图形对某

3、轴的静矩为零，则该轴必通零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。过平面图形的形心。 如果平面图形具有对称轴，如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形对称轴必然是平面图形的形心轴的形心轴，故，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。平面图形对其对称轴的静矩必等于零。 CyCzzASyAS例例7.1 7.1 矩形截面尺寸如图矩形截面尺寸如图7-27-2所示。试求该矩形对所示。试求该矩形对z z1 1轴的静轴的静矩矩S Sz z1 1和对形心轴和对形心轴z z的静矩的静矩S Sz z。z1 b/2b/2h/2h/2zCy2221bhhbhyASCz解解 (1) (1) 计算

4、矩形截面对计算矩形截面对z z1 1轴的静矩轴的静矩 (2) (2) 计算矩形截面对形心轴的静矩计算矩形截面对形心轴的静矩 由于由于z z轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩轴为矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形截面对形截面对z z轴的静矩为轴的静矩为 Sz=0 根据平面图形静矩的定义，组合图形对根据平面图形静矩的定义，组合图形对z z轴（或轴（或y y轴）的静轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即 niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211式中式中 y yCiCi、z zC

5、iCi及及A Ai i分别为各简单图形的形分别为各简单图形的形心坐标和面积心坐标和面积; ; n n为组成组合图形的简单图形的个数为组成组合图形的简单图形的个数。niiniCiiCniiniCiiCAyAyAzAz1111 组合图形组合图形 形心的坐标形心的坐标 计算公式计算公式 例例7.2 7.2 试计算如图试计算如图7-37-3所示的平面图形对所示的平面图形对z z1 1和和y y1 1的的静矩，并求该图形的形心位置。静矩，并求该图形的形心位置。801201010z1y1C1 C2 解解 将平面图形看作由矩形将平面图形看作由矩形和和组成组成 矩形矩形 5mmmm2101Cz60mmmm21

6、201Cy矩形矩形 45mmmm270012Cz5mmmm2102CyA1=10120mm2=1200mm2 A2=7010mm2=700mm2 801201010z1y1C1 C2 C1（5,60） C2（45,5）该平面图形对该平面图形对z z1 1轴和轴和y y1 1轴的静矩分别为轴的静矩分别为 343122111mm107.55mm5700602001niCCCiizyAyAyAS343122111mm103.75mm4570051200niCCCiiyzAzAzAS求得该平面图形的形心坐标为求得该平面图形的形心坐标为 19.74mmmm7001200103.75411niiniCiC

7、AzAzi39.74mmmm7001200107.55411niiniCiCAyAyi2 2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩惯性矩是面积A与它到轴的距离的平方之积。AyAzAzIAyIdd22dA zyyzr极惯性矩极惯性矩是面积对极点的二次矩。yzAIIAId2rr 惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯惯性矩是对坐标轴来说的，同一图形对不同的坐标轴其惯性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩不同。极惯性矩是对点来说的，同一图形对不同点的极惯性矩也各不相同。性矩也各不相同。惯性矩恒为正值惯性矩恒为正值，常用单位为，常用单位为m m4 4或

8、或mmmm4 4。 dA zyyzr惯性积惯性积面积与其到两轴距离之积。AzyAzyId 惯性积是平面图形对惯性积是平面图形对某两个某两个正交正交坐标轴而言，同坐标轴而言，同一图形对不同的正交坐标轴一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。惯性积可，其惯性积不同。惯性积可能为正或负，也可能为零。能为正或负，也可能为零。单位为单位为m m4 4或或mmmm4 4。 如果坐标轴如果坐标轴z z或或y y中中有一根是图形的对称轴，则有一根是图形的对称轴，则该图形对这一对坐标轴的惯该图形对这一对坐标轴的惯性积一定等于零。性积一定等于零。AzyzydAI0 AiIAiIAiIPPyyzz222,AIiAI

9、iAIiPPyyzz, 式中式中i iz z、i iy y、i iP P分别称为平面图形对分别称为平面图形对z z轴、轴、y y轴、和极轴、和极点的点的惯性半径惯性半径，也叫回转半径。单位为，也叫回转半径。单位为m m或或mmmm。或改写成 惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极惯性半径愈大，平面图形对该轴的惯性矩（或对极点的极惯性矩）也愈大。点的极惯性矩）也愈大。 常将图形的常将图形的惯性矩惯性矩表示为图形面积表示为图形面积A A与某一长度平与某一长度平方的乘积，方的乘积，即 例例7.3 7.3 矩形截面的尺寸如图矩形截面的尺寸如图7-67-6所示。试计算矩形截面对所示。试计算矩形截面

10、对其形心轴其形心轴z z、y y的惯性矩、惯性半径及惯性积。的惯性矩、惯性半径及惯性积。 解解 (1) (1) 计算矩形截面对计算矩形截面对z z轴轴和和y y轴的惯性矩轴的惯性矩 取平行于取平行于z z轴的微面积轴的微面积d dA A， d dA A到到z z轴的距离为轴的距离为y y，则，则 d dA A= =b bd dy y 截面对截面对z z轴的惯性矩为轴的惯性矩为 AzdAyI2截面对截面对y y轴的惯性矩为轴的惯性矩为 AydAzI2b h/2zCydy dz 223212hhbhbdyy223212bbhbhdzz(2) (2) 计算矩形截面对计算矩形截面对z z轴、轴、y y

11、轴的惯性半径轴的惯性半径 截面对截面对z z轴和轴和y y轴的惯性半径分别为轴的惯性半径分别为 12123hbhbhAIizz12123bbhhbAIiyyb h/2zCy(3) (3) 计算矩形截面对计算矩形截面对y y、z z轴的惯性积轴的惯性积 因为因为z z、y y轴为矩形截面的两根对称轴，故轴为矩形截面的两根对称轴，故 AzyyzdAI0 0 AySzAaaSIAaayyAayAyIzzAAAz22222112 d)2( d)(dAaIIzz211dA z1y1y1z1rbaCz y 以形心为原点，建立与原以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴。坐标轴平行的坐标轴。CCybyxax

12、AbIIAaIIyyzz2211abAIIzyyz11图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的图形对任一轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。惯性矩，再加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。 由于由于a a2 2（或（或b b2 2）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形）恒为正值，故在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩最小。心轴的惯性矩最小。 例例7.5 计算如图计算如图7-9所示的矩形截面对所示的矩形截面对z1轴和轴和y1轴的惯性矩。轴的惯性矩。z1 b/2 b/2 h/2 h/2 z C y 3212232321b

13、hbhhbhAhIIzz 解解 z z、y y轴是矩形截面轴是矩形截面的形心轴，它们分别与的形心轴，它们分别与z z1 1轴和轴和y y1 1轴平行，则由平行移轴公式轴平行，则由平行移轴公式得，矩形截面对得，矩形截面对z z1 1轴和轴和y y1 1轴的轴的惯性矩分别为惯性矩分别为 3212232321hbbhbhbAbIIyy组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简组合图形对任一轴的惯性矩，等于组成组合图形的各简单图形对同一轴惯性矩之和。即单图形对同一轴惯性矩之和。即iynyyyyiznzzzzIIIIIIIIII2121 计算组合图形的惯性矩步骤计算组合图形的惯性矩步骤 1.1.确

14、定组合图形的形心位置，确定组合图形的形心位置， 2.2.查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩，查表求得各简单图形对自身形心轴的惯性矩， 3.3.利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形利用平行移轴公式，就可计算出组合图形对其形心轴的惯性矩心轴的惯性矩。 580120500250zC 例例7.7 7.7 试计算图示试计算图示T T形截面对形心轴形截面对形心轴z z、y y的惯性矩。的惯性矩。a1 a2ycz1 C1 z2C2zoOA1A223211(500 120)60 10,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250 580)145 10,2902Ammmmymmmm

15、333360 10640 145 1029039260 10145 10iiA yycmmmmA解解 求截面形心位置求截面形心位置 由于截面有一根对称轴由于截面有一根对称轴y y，故形心必在此轴上，即故形心必在此轴上，即zc=0 选坐标系选坐标系yozyoz，以确定截，以确定截面形心的位置面形心的位置y yC C。将截面图形分。将截面图形分为两个矩形。为两个矩形。500580120yc250z1 C1 zCz2C2z OA1A2矩形矩形 矩形矩形 23211(500 120)60 10,(58060)640Ammmmymmmm23222580(250 580)145 10,2902Ammmmy

16、mmmm12ZzzIII33441 122500 120250 580,1212ZZImmImmZIyI计算计算及及 整个截面图形对整个截面图形对z z轴、轴、y y轴的惯性矩应分别等于两个矩轴的惯性矩应分别等于两个矩形对形对z z轴、轴、y y 轴的惯性矩之和。轴的惯性矩之和。即即 两个矩形对自身形心轴两个矩形对自身形心轴的惯性矩分别为的惯性矩分别为33441 122500 120250 580,1212ZZImmImm500580120yc250z1 C1 zCz2C2z OA1A232248411 111500 120248500 12037.6 1012ZZIIa Ammmm32248

17、422222250 580102250 58055.6 1012ZZIIa Ammmm8848412(37.6 1055.6 10 )93.2 10zZZIIImmmm应用平行移轴公式得应用平行移轴公式得 所以所以500 580 120 a1 a2 yc 250 z1 C1 z C z2 C2 z O A1 A2 32248411 111500 120248500 12037.6 1012ZZIIa Ammmm32248411 111500 120248500 12037.6 1012ZZIIa Ammmm y轴正好经过矩形截面轴正好经过矩形截面A1和和A2的形心，所以的形心，所以484332

18、1mm1020.1mm1225058012500120yyyIII500 580 120 yc 250 z1 C1 z C z2 C2 z O A1 A2 对平面图形而言，对通过对平面图形而言，对通过O O点的任意两根点的任意两根正交正交坐标轴坐标轴z z、y y的惯性积的惯性积I Iyzyz，如，如I Iyzyz0 0，则这对坐标轴称为通过，则这对坐标轴称为通过O O点的点的主主惯性轴惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性为主惯性矩矩，简称主惯矩。，简称主惯矩。 如果如果O O点在截面形心，如同样满足上述条件，这时通过点在截面形心，如同样满足上

19、述条件，这时通过形心的主惯性轴称为形心的主惯性轴称为形心主惯性轴形心主惯性轴，简称形心主轴；图形，简称形心主轴；图形对形心主轴的惯性矩称为对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，形心主惯性矩，简称形心主惯矩简称形心主惯矩。 4 4 形心主惯性轴形心主惯性轴 形心主惯性形心主惯性 对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按如下方法确定：如下方法确定： 1 1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴，而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。 2 2）如果图形有

20、两根对称轴，则该两轴就是形心主轴）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴。 3 3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。 z y z y . .纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无切应力的弯曲）。剪力剪力“Fs”切应力切应力“t t ”；弯矩弯矩“M”正应力正应力“s s ”2.2.横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有

21、切应力的弯曲）。一、一、 纯弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念7 7-1 -1 梁横截面的正应力和正应力强度条件梁横截面的正应力和正应力强度条件二二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。1 1、观察实验：、观察实验：abcdabcdMM2 2、变形规律：、变形规律：(2)、横向线、横向线：仍为直线，：仍为直线，只是相对转动了一个角度只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。且仍与纵向线正交。(1)、纵向线、纵向线：由直线变为：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维曲线，且靠近上部的纤维缩短，

22、靠近下部的纤维伸缩短，靠近下部的纤维伸长。长。3 3、假设：、假设：（1 1）弯曲平面假设：）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平平面面，且仍，且仍垂直垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。动了一个角度。凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中中性层性层 。中间层与横截面中间层与横截面的交线的交线中性轴中性轴（2 2）纵向）纵向纤维假

23、设（纤维假设（）：）：梁是由许多纵向纤维组成的，梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向且各纵向纤维之间纤维之间无挤压无挤压。 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同等高度的一层纤维的变形完全相同。1 2 1 2 o1A o2B 1 2 1 2 o1A o2B 1 1 2 2 M M dx梁中取出的长为梁中取出的长为dxdx的微段的微段变形后其两端相对转了变形后其两端相对转了d d 角角A1 B1 O2 O1d r4 4、纵向线应变的变化规律、纵向线应变的变化规律 （纵向线段的变化规律）（纵向线段

24、的变化规律）)1( yrrrrdddy)(ryABABBA111111OOOOBA横截面上各点的纵向线应变横截面上各点的纵向线应变与它到中性轴的距离成正比与它到中性轴的距离成正比 A1 B1 O2 O1d r r1 2 1 2 o1A o2B 梁弯曲时横截面上正应力分布图：梁弯曲时横截面上正应力分布图：MZymaxmax中性轴的位置？梁变形后中性层的曲率 1 r中性层中性层在弹性范围内，sE（二）物理（二）物理关系：关系：(2) . rsEyE横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化横截面上各点的正应力沿截面高度按线性规律变化x y z O dAs坐标系的选取坐标系的选取： y y轴：截面

25、的纵向对称轴。轴：截面的纵向对称轴。 z z轴：中性轴。轴：中性轴。 x x轴：沿纵向线。轴：沿纵向线。 ANdAF0s0dAzAyMsAzMMdAysFx0My=0Mz=M (y z)M 3. 3. 静力学关系方面静力学关系方面MANdAF0s0dAzAyMsAzMMdAys0SZAEydAErr故：Sz = 0 即中性轴即中性轴 z 必过横截面的形心必过横截面的形心。 rsy代入胡克定律：代入胡克定律：0rE及：及： 0yzAIEdAyZErr故：Iyz0， y轴为对称轴，z轴又过形心，则轴则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。为横截面的形心主惯性轴。MEdAEIyZArr2（中性层曲率公式）

26、（中性层曲率公式） 故： zEIMr1其中其中 1 1是梁轴线变形后的曲率。称是梁轴线变形后的曲率。称EIEIZ Z为梁的抗弯刚度。为梁的抗弯刚度。zIMysZEIMr1得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：rsy代入代入：表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。成反比。zIMys计算时公式中代入计算时公式中代入M M和和y y的绝的绝对值。对值。的正负可由弯矩的正负的正负可由弯矩的正负和所求点的

27、位置来判断和所求点的位置来判断. . -+zMzM+-zIMys适用条件是：适用条件是： (1) (1) 梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。 (2) (2) 正应力不超过材料的比例极限。正应力不超过材料的比例极限。 (3) (3) 梁产生纯弯曲。梁产生纯弯曲。 例例7.8 7.8 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载q q作用，试完成：作用，试完成：(1) (1) 求距左求距左端为端为m m的的C C截面上截面上a a、b b、c c三点的正应力。三点的正应力。(2) (2) 求梁的最大求梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何处。正应力值，并说明最大正应力发生

28、在何处。(3) (3) 作出作出C C截面截面上正应力沿截面高度的分布图。上正应力沿截面高度的分布图。 200 q=3.5kN/mAB3m1m解解 （1 1）求指定截面上指定点的应力）求指定截面上指定点的应力先求出支座反力先求出支座反力, ,由对称性由对称性C C截面积的弯矩截面积的弯矩 矩形截面对中性轴z的惯性矩82qlMC=(5.2513.510.5)kNm =3.5kNm47433mm108mm)12200120(12bhIz12050abc200 q=3.5kN/mABc3m1m 计算计算C C截面上截面上a a、b b、c c三三点的正应力点的正应力：)(MPa38. 4MPa)10

29、8100105 . 3(76拉应力zacaIyMs)(MPa19. 2MPa)10850105 . 3(76拉应力zbcbIyMs)(MPa38. 4MPa)108100105 . 3(76压应力zcccIyMs12050abc200 (2) (2) 求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。 梁的最大正应力发生在最大弯矩梁的最大正应力发生在最大弯矩M Mmaxmax所在的上、下边缘处。所在的上、下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘

30、处。其最大正应力的缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。其最大正应力的值为值为MPa93. 4MPa1081001094. 376maxmaxmaxzIyMsmkN94. 3mkN)835 . 3(822maxqlM(3)(3)作作C C截面上正应力沿截面高度的分布图。截面上正应力沿截面高度的分布图。MPa38. 4MPa38. 4一般情况下，最大正应力发生于一般情况下，最大正应力发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。maxszIyMmaxmaxmaxszzWyImaxzWMmaxmaxs式中式中W WZ Z仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中仅与截

31、面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的性轴的抗弯截面模量抗弯截面模量。单位：。单位：m m3 3或或mmmm3 3 。令：7.3.1 7.3.1 梁的最大正应力梁的最大正应力 习惯上把产生最大应力的截面称为习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面危险截面，产生最，产生最大应力的点称为大应力的点称为危险点危险点。Ms s若截面是高为若截面是高为h h ，宽为，宽为b b的的矩形，则的的矩形，则6212223bhhbhhIWzz123bhIz 若截面是直径为若截面是直径为d的圆形，则的圆形，则32264234ddddIWzz644dIz 若截面是外径为若截面是外径为D D、内径为、内径为d d的

32、空心圆形，则的空心圆形，则 D d D d a 44164aDIz43441322642aDDdDDIWzz 对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“附录附录”型钢表中查出型钢表中查出。 zybhyzd 中性轴中性轴 z 为横截面的对称轴时为横截面的对称轴时yzzybhctmaxmaxsszIMys梁横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的地方梁横截面上的最大正应力发生在距中性轴最远的地方 纯弯曲时梁横截面上纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式正应力的计算公式同一横截面上同一横截面上t tmaxmax c cmaxmax ，这时整个梁的，这时整个梁的

33、t tmaxmax 或或 c cmaxmax一定发生在一定发生在| |M Mmaxmax| | 截面处截面处。中性轴中性轴 z 不是横截面的对称轴时不是横截面的对称轴时zIMymaxttmaxszIMycmaxcmaxsOzyytmaxycmaxmaxmaxctsszIMysM 纯弯曲时梁横截面上纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式：正应力的计算公式：同一横截面上同一横截面上t tmaxmax c cmaxmax ，这时整个梁的，这时整个梁的t tmaxmax 或或 c cmaxmax不一定发生在不一定发生在| |M Mmaxmax| | 截面处，截面处，需对最大正弯矩和最大需对最大正弯矩和最大

34、负弯矩处的负弯矩处的 t tmaxmax和和 c cmaxmax分别计算。分别计算。三、纯弯曲理论的推广三、纯弯曲理论的推广横力弯曲时横力弯曲时1 1、由于切应力的存在，梁、由于切应力的存在，梁的横截面发生翘曲；的横截面发生翘曲；2 2、横向力还使各纵向线之、横向力还使各纵向线之间发生挤压。间发生挤压。 平面假设和纵向线之平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都间无挤压的假设实际上都不再成立。不再成立。1m2mBAzIMys 纯弯曲时梁横截面上纯弯曲时梁横截面上正应力的计算公式正应力的计算公式实验和弹性理论的研究结果表明：实验和弹性理论的研究结果表明： 对于对于细长梁细长梁（跨高比（跨高比 l

35、 / h 5 ），剪力的影响可以忽），剪力的影响可以忽略，略，纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确果仍足够精确。zIyxM)(szWxM)(maxsFl4lF弯曲正应力公式弯曲正应力公式ZIMys可推广应用于横力弯曲和小曲率梁（曲率半径大于5倍梁截面高度h的曲杆) 5h例：例：求图示悬臂梁的最大拉、压应力。已知：mkNqml/6,110槽钢槽钢q解：解：1 1）画弯矩图）画弯矩图kNmqlM35 . 0|2max2 2）查型钢表：）查型钢表：cmycmIcmbz52. 1,6 .25,8 . 414cmy28. 352. 18

36、 . 423 3）求最大拉、压应力应力：）求最大拉、压应力应力：1maxyIMzts6106 .2552. 13000MPa1782maxyIMzcs6106 .2528. 33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxssbz1yy2ycmaxtmaxbz1yy2yM s ss s zWMmaxmaxcmaxctmaxtssss 对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢）由对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢）由于于 ，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的正应力不超过材料的弯曲许用应力。其正应力强度条件为：正应力不超过材料的弯曲许用

37、应力。其正应力强度条件为：ctsss 对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料（如铸铁），由于对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料（如铸铁），由于 ，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材料的弯曲许用拉应力，同时，梁横截面上的最大压应力不超料的弯曲许用拉应力，同时，梁横截面上的最大压应力不超过材料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：过材料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：ctss四、梁的弯曲正应力强度条件四、梁的弯曲正应力强度条件 szWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等

38、的铸铁等脆性材料制成的梁tmaxmaxmaxtsstzyIMcmaxmaxmaxcssczyIMOzyytmaxycmaxzhM ssmax3. 3. 强度条件应用强度条件应用 强度校核强度校核: : maxmaxsszWM 设计截面设计截面: : zzWMWMmaxmaxmaxsss 确定许用荷载确定许用荷载 : : maxmaxmaxMWWMzzsss 例例12.9 图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形bh=140mm210mm，梁的跨度，梁的跨度l=4m，荷载，荷载FP=6kN，q=2kN/m，材料的弯曲许用应力，材料的弯曲许用应力 =11MPa，

39、试校核该梁的，试校核该梁的正应力强度。正应力强度。FAyFByhbz解：（解：（1）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。求支座反力求支座反力,由对称性由对称性FBy= FAy= 7kNq ABl=4mFP 10kNm (2) 计算截面的几何参数。计算截面的几何参数。 再作梁的弯矩图，如图示。再作梁的弯矩图，如图示。36322mm1003. 1mm)6210140(6bhWzhbz 从图可知：跨中截面上弯矩从图可知：跨中截面上弯矩最大，其值为最大，其值为Mmax=10kNm 。FAyFByq ABl=4mFP (3) 校核梁的正应力强度。校核梁的正应力强度。 MPa

40、71. 9MPa1003. 1101066maxmaxzWMs该梁满足正应力强度要求。该梁满足正应力强度要求。 MPa11maxssy2 y1 C 例例12.10 T形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用应力分别为应力分别为t=45MPa，c=175MPa，截面对中性轴的惯，截面对中性轴的惯性矩性矩Iz=5.7310-6m4，下边缘到中性轴的距离，下边缘到中性轴的距离y1=72mm，上，上边缘到中性轴的距离边缘到中性轴的距离y2=38mm。试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。 4FP1=40kN 0.3m0.3m0.3mFP2=15kN ABCD 解：

41、解：(1) 求梁在图示荷载作求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。用下的最大弯矩。 kN40kN15ByAyFF)(kNm5 . 4max下拉、上压MMC（上拉、下压）kNm3maxMMB4.5kNm3kNmFP2=15kN DFP1=40kN 0.3m0.3mABC0.3mB截面和C截面应力分布规律图y2 y1 C kNm5 . 4maxMMCkNm3maxMMB C C截面截面maxtsmaxcs B B截面截面maxcsmaxtsczBcIyMssMPa7 .37101073. 57210312661max tzBIyMssMPa9 .19101073. 53810312662maxt tzc

42、tIyMssa5 .56101073. 572105 . 412661maxczccIyMssMPa8 .29101073. 538105 . 412662maxB截面满足正应力强度条件。截面满足正应力强度条件。 C截面截面B截面截面 C截面不满足正应力强度条件。截面不满足正应力强度条件。所以该梁的正应力强度不所以该梁的正应力强度不满足要求。满足要求。解解：1 1、求约束反力、求约束反力x0.5m0.5m0.5mABCD2FF例例：矩形截面梁：矩形截面梁 b= 60 mm、h=120mm，s s =160MPa, 求求：Fmax 5F/2F/2M max = 0.5F3 3、强度计算、强度计算

43、ZWMmaxmaxshb2、画、画M图，求图，求MmaxF25. 0F5 . 0,s s2615 . 0bhF)(1 .46maxkNFM解解：1)求约束反力求约束反力.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上压压kNmMC （上上拉拉、下下压压）kNmMB4 例例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的s st = 30 M Pa， s sc = 60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C点，点，y1= 52 mm， y2= 88 mm，Iz =763 cm4 ，试校核此梁的强度。，试校核此梁的强度。y 2y 1C Cz1m1m

44、1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）画弯矩图）画弯矩图 定危险截面定危险截面AyFByFxkNF91kNF423 3）求应力）求应力B截面截面（上拉下压）（上拉下压）MC截面截面（下拉上压）（下拉上压）为什么？zCCtIyM2maxsC截面截面（下拉上压）（下拉上压）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN ttss2 .28maxccss2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxsMPa04.174 ) 强度校核强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mx

45、MB截面截面（上拉下压）（上拉下压）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtsMPaIyMzBBc2 .461076310884462maxs最大拉、压应力不在同一截面上最大拉、压应力不在同一截面上A1A2y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论结论对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面两个截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN例例 跨长跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力的铸铁梁受力如图，已知铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力，许用压应力 sc =90 MPa。试根据截面最。试根据截面最为合理的要求，确定为合理的要求，确定T字形梁横截面的尺寸字形梁横截面的尺寸d ，并校核梁，并校核梁的强度的强度 。解：解：ct21ssyy根据截面最为合理的要求根据截面最为合理的要求319030mm701 yy1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280dttmaxmaxtmaxsszIyMccmaxmaxcmaxsszIyMctcmaxtmaxssyyFl/4mm24d得得462323mm102 .