流体力学_02 流体静力学

1、流体静力学研究流体在静止状态下的受力平衡规律及其在工程中的应用根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律，确定各种承压面上静压强产生的总压力，是流体静力学的主要任务2.1 流体静压强及其特性2.2 流体静压强的分布规律2.3 压强的计算基准和量度单位2.4 液柱测压计2.5 平面上的总压力计算2.6 曲面上的总压力计算2.7 流体平衡微分方程2.8 液体的相对平衡式中 微元面积； 作用在 表面上的总压力大小。AAP微元表面上的流体静压力矢量表达式为负号说明流体静压力的方向是沿受压面的内法线方向。dAdPAPpaAlimApdPd在平衡（静止或相对静止）流体中，当面积A无限缩小到a点时，比值趋近于

2、某一个极限值，此极限位称为a点的流体静压强，以p表示。即：baAcBPn (1) 作用面的内法向方向12xxxxdPp dApdydz12yyyydPp dApdxdz12zzzzdPp dApdxdynnndPp dA16Xdxdydz16Y dxdydz16Z dxdydz0 xF0yF0zF1cos( , )06xxxnnFp dAp dAn xXdxdydz1cos( , )2nxdAn xdAdydz1110226xnpdydzpdydzXdxdydz103xnppXdxxnpp1cos( , )06xxxnnFp dAp dAn xXdxdydzynppznppxyznpppp(

3、, , )pp x y z静水压强是空间点坐标的标量函数 2.2 流体静压强的分布规律液1、2、3、hgpp12 现在，把压强关系式应用于求静止液体内某一点的压强。设液面压强为P0，液体容重为 ，该点在液面下深度为h，则根据上式有： 这就是液体静力学的基本方程式基本方程式。它表示静止液体中，压强随深度按直线变化的规律。静止液体中任一点的压强是由液面压强和该点在液面下的深度与容重的乘积两个部分所组成。从这两个部分可以看出，压强的大小与容器的形状无关。因此，不沦盛液容器的形状怎么复杂，只要知道液面压强P0和该点在液面下的深度h，就可用此式求出该点的压强。结论：结论：1）仅在重力作用下，静止流体中某

4、一点的静水压强随深度按线性规律增加。2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。0PoP5）液面压强 P0 有所增减 ，则内部压强P亦相应地有所增减 。poz21例 已知 = 800kg/m3, p1 =64 kpa, p2=79.68kpa求 z=?解: z1+p1/ g =z2+p2/ g z = z1 z2 =(p2 p1)/ g = (79.68 64.0)103/(9.880

5、0) z = 2m二、分界面和自由面是水平面二、分界面和自由面是水平面1）非均质流体的水平面是等压面2）等压面是等密面例A1P2P1A2已知 A1= 0.2m2, A2= 10.0m2, P1= 100kN 试求 P2= ? 解: P2=pA2=(P1/A1)A2=(10.0/0.2)100=5000(kN)一、静压强的两种计算基准一、静压强的两种计算基准压强计算基准绝对压强 p相对压强 p定义：定义：以完全真空为基准完全真空为基准计算的压强称为绝对压强，记作p。 以当地大气压强当地大气压强 pa为基准为基准计量的压强称为相对压强，记作p。相对压强、绝对压强和当地大气压强的相互关系是：相对压强

6、可正可负，当相对压强为正时，称该压强为正正压压（也叫压力表读数压力表读数或简称表压表压）；当相对压强为负值时，称为负压负压，负压的绝对值又称为真空度(即真空表读数)，记作pv2m国际上规定，1标准大气压强=101325 。工程上采用工程大气压强，1工程大气压强=。241081. 9m 为了区别以上几种压强，现以A点和B点压强为例，将它们的关系表示在图2-14上 压强度量单位的换算关系补充例题补充例题封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图（27）所示，已知玻璃管伸入水面以下h=1.5m时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强 和相对压强 。0p0ep解解 将

7、式（ ）用于容器内水面上任一点和玻璃管底部， 有apghp0 当地大气压强 在没有特别说明情况下，一般以1个工程大气压强计。故ghppa02N/m833855 . 181. 9100098100ap由式（226）求得ghpppae002N/m147155 . 18 . 91000h0pap液体静力学的基本方程式基本方程式 测量流体的压强是工程上极其普遍的要求，如锅炉、压缩机、水泵、风机、鼓风机等均装有压力计及真空计。常用的有弹簧金属式、电测式和液柱式三种。 一、测压管：测压管是一根直管或U形管，一端连接在需要测定的器壁孔口上，另一端斤开口，直接和大气相通，如图所示。由于相对压强的作用，水在管中

8、上升或下降，与大气相接触的液面相对压强为零。这就可根据管中水面到所测点的高度直接读出水柱高度。 液柱式仪表测量精度高，量程小，适用于低压实验场所。下面介绍几种常用的液柱式测压计：0papAh 图 测压管测压;ghPe 如下图可测水中大于大气压的相对压强gahgppmaBBmapgahgp 如果需要测定气体压强，可以采用u形管盛水，如右图所示。2、压差计 定义：定义： 测量两点压强差的仪器叫做压差计，常用U形管制成，根据压差的大小和各种不同容重的液体，仍然应用等压面规律进行压差进行计算。 下图为a为测定A，B两处液体压强差的空气压差计，图b为测定压差较大时的情况，此时我们采用水银压差计。ba对于

9、图a有：ypahypBmA)()(ahppmBAmBBmAAhZphZp21)(12)(ZZhppABmABA对于图b有：ghpp21 管道上部为倒U 形管式水柱差计，忽略空气密度，则计算公式为：gHpp21 比较上面两式，在仪器管一定的前提下，汞差压计量程大，而水柱差压计的准确度高。 如下图所示。水管下部为U形管式汞差压计，它的计算公式为：差压计hHh2p1p3、微压计 测量较小压强或压强差的仪器叫做微压计。如图221所示就是其中一种。定义：定义：例 水银 密度为 2 , 酒精密度为1 ,如果水银面的高度读数为 z1 , z2 , z3 , z4 求: 压差 (PA-PB)=?解:界面2的压

10、强 PA- 2 g(z2-z1)界面3的压强 PA- 2 g(z2-z1)+ 1 g(z2-z3)界面4的压强 PA- 2 g(z2-z1)+ 1 g(z2-z3)- 2 g(z4-z3)=PB界面1的压强 PAPA-PB= 2 g(z2-z1+z4-z3) - 1 g(z2-z3)4312BA12作业：2-3，2-12，2-25大写大写 小写小写 英文注音英文注音 中文读音中文读音 大写大写 小写小写 英文注音英文注音 中文读音中文读音 delta 德尔塔 zeta 截塔 epsilon 伊普西龙 pi 派 omega 欧米伽 rho 肉 eta 艾塔 sigma 西格马 西塔 tau 套

11、lambda 兰布达 psi 普西 mu 缪 phi 佛爱 nu 纽 chi 西 一、解析法 1. 静止液体总压力的大小作用在微小面积上的水静压力为：作用在受压平面上的水静压力为：2. 静止液体总压力的作用点 第一步：绘制水静压强分布图第一步：绘制水静压强分布图第三步：确定静止液体总压力的作用点第三步：确定静止液体总压力的作用点 13eh121223bbaebb梯形压强分布 三角形压强分布第二步：计算水静压力第二步：计算水静压力 例题 一铅直矩形闸门，如图2-28，顶边水平，所在水深h1=1m，闸门高h=2m，宽b=1.5m，试用解析法及图解法求水静压力P的大小及作用点。 补补 充充 例例 题

12、题 如下图所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左边水深 ，右边水深 ，闸门与水面成 倾斜角。假设闸门的宽度 ，试求作用在闸门上的总压力及其作用点。mH5 . 41mH5 . 22045mb11H2H1l0l31l32lP1P2P2l 解解作用在闸门上的总压力系左右两边液体总压力之差，即21FFF 因此。sin ,2;sin ,22222211111HblbAHHHblbAHHcc所以sin2sin222212211gbHgbHAghAghFcc9703043316140346707. 025 . 219800707. 025 . 41980022由于矩形平面压力中心坐标LbLLLbLAyJyyc

13、ccD32)2(1223根据合力矩定理，对通过O点垂直于图面的轴取矩，得sin3sin333221122110HFHFlPlFFI所以m54. 2707. 09703035 . 2433165 . 4140346sin322110PHFHFl这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。2-33. 某 处 设 置 安 全 闸 门 如 图 所 示， 闸 门 宽 b= 0.6m， 高 h1= 1m， 铰 接 装 置 于 距 离 底 h2= 0.4m， 闸 门 可 绕 A 点 转 动， 求 闸 门 自 动 打 开 的 水 深 h 为 多 少 米。解：当 时， 闸 门 自 动 开 启 将 代 入

14、 上 述 不 等 式 得 hhhD2612121)2(121)2(11311 hhbhhhbhhhAhJhhcCcDhD4 . 0612121 hhh1 . 06121h m34 hhhhC12作业：2-27，2-29，2-32一、总压力计算一、总压力计算二、液体总压力的作用点二、液体总压力的作用点四、潜体、浮体图 2 23水水2m4m解解分左右两部分计算 左部：水平分力NAghFxcx78400) 14(29800111垂直分力11gVFzN615004421198002 例例 题题如图223。有一圆形滚门，长1m（垂直园面方向），直径 为4m，两侧有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在

15、门上的总压力的大小及作用线的位置。D合力NFFFzx9964061500784002221211745061500784000111arctgFFarctgzx右部：水平分力NAghFxcx19600) 12(19800222垂直分力NFgVFzz3075021122合力NFFFzx3647030750196002222222作用线通过中心与铅垂线成角度 。1作用线通过中心与垂线成角度 。274036470307500222arctgFFarctgzx总水平分力：NFx588001960078400总垂直分力： NFz922503075061500合力 10940092250588002222

16、zxFFF058800arctanarctan32 3092250 xzFF2-39 画画 出出 图图 中中 圆圆 柱柱 曲曲 面面 上上 的的 压压 力力 体，体， 并并 标标 明明 方方 向。向。作业：2-37，2-40（1）表面力六面体中心点M(x，y，z)的压强为p根据泰勒级数展开式21( )()()()()()2ooooof xf xfxxxfxxx点的压强为 1(, , )2Mxdx y z()2p dxpx1(, , )2Mxdx y z点的压强为 ()2p dxpx()2ABp dxdPpdydzx()2CDp dxdPpdydzxdxdydzXdxdydzY dxdydzZ

17、dxdydz()()022p dxp dxpdydzpdydzXdxdydzxx10pXx10pXx10pYy10pZz1()pppXdx YdyZdzdxdydzxyz()dpXdxYdyZdzdpdW( , , )WW x y zdWXdxYdyZdzWWWdWdxdydzxyzWXxWYyWZz性质：性质：CW 质量力势函数等于常数的面叫作等势面，所以等压面也是等势面。 2、等压面与单位质量力矢量垂直。0 sdf式中 是等压面上任意线段。因而等压面与单位质量力矢量垂直。sd将式写成矢量形式： 1、等压面也是等式面；0dWdp 定义：定义： 除了重力场的流体平衡问题外，工程上常见的有如下两

18、种：一、容器作匀加速直线运动一、容器作匀加速直线运动 yzo运动方向水平基面amag2 匀加速直线运动a 如下图，盛有液体的容器沿着与水平基面成 角的斜面向下以匀加速度 作直线运动。 若盛液体的容器或机件对地面上的固定坐标系有相对运动，但液体质点彼此之间却没有相对运动，这种运动状态称为相对平衡。1 对于图1，我们有： 单位质量的重力在各轴向的分力为： 由于质点受牵连而随容器作等加速直线运动，则作用在质点上的牵连惯性力为： 因此，单位质量力在各轴向的分力为：所以，流体平衡微分方程式可写为： 设在坐标原点处xz0，p=pa；，代入上式得Cpa。以此再代入原式，则得液面下任一点处的压强为：其相对压强

19、为： 为什么这种运动也可以用水静力学方程求压强呢?我们对比两者的平衡微分方程式来说明； 对于图2，根据动静法，成相对平衡流体质点上的质量力有与加速度方向相反的虚构惯性力；重力。由图可得单位质量分力为gafaffzyxsincos0（235）将（235）式代入等压面微分方程式可得即tansincosagadydz0)sin(cosdzgadya（236）积分上式得1、等压面方程czgaya)sin(cos（237） 因 都是常数，故 是一定值。 ag.,mf 等压面（包括自由表面）是与水平基面成倾角 的一族 平行平面，这族平面应与单位质量力 相垂直。说明：说明：静压强分布规律将（235）式代入（

20、215）式中即得dzgadyadpsincos作不定积分得Cgazaypsincos根据边界条件0, 0, 0ppzygazayppsincos0（238） 当 或 时，即可得出容器水平或垂直匀加速直线运动。如图（213）所示。02运动方向水平基面水平基面ag运动方向图 213 容 器 匀 加 速 直 线 运 动 的 两 种 特 例zyagzy二、二、 容器作等角速回转运动容器作等角速回转运动 yr2zooxxyryr2gR图214容器作等角速回转运动 与容器作匀加速直线运动分析相同。单位质量分力为： 如图214所示，盛有液体的容器绕铅直轴z作回转运动，待运动稳定后，液体形成如图所示的自由表面

21、，质点之间不再有相对运动。gfyrfxrfzyx2222sincos（239）1、等压面方程 022gdzydyxdx作不定积分得cgzyx222222即cgzr222（240） 说明：说明： 等压面是一族绕 z 轴的旋转抛物面。将式（239）代入等压面微分方程中，得 由上述方程，我们可以确定自由面方程，也可以根据自由面求任一点的压强，其方法也是求出该点在浓面下的深度h，然后，用水静力学方程计算。即: 为什么绕铅直轴作等角速旋转运动的液体，也可用水静力学方程求压强呢？我们仍然把两者的平衡微分方程进行对比说明。2、静压强分布规律将式（239）代入式（215）中得gdzydyxdxdp22作不定积

22、分，则czgyxp222222czgr222（241）式中积分常数可以根据如下三种情况来确定。 （1）密封容器，液面上的压强为 。（如图215）0p边界条件 代回（241），得0, 0, 0ppzrzgrgpp2220（242）（2）容器盛满液体，顶盖中心接触大气。（如图216）边界条件 代回（241）得appzr, 0, 0zgrgppa222（243）（3）容器盛满液体，顶盖边缘接触大气。（如图217）边界条件 代回（241）得 appzRr, 0,zrRggppa2222（244）图215 密封容器Rrz 图216顶盖中心开口容器apRz 图216顶盖边缘开口容器apzoR0p2022-3-17例例 试试 绘绘 出出 封封 闭闭 容容 器器 侧侧 壁壁 AB 上上 的的 相相 对对 压压 强强 分分 布，布， 并并 注注 明明 大大 小小 （ 设设 液液 面面 相相 对对 压压 强强 ）。）。p00ABhp0ABhp0ABhp0gg 加 速 上 升 自 由 落 体pp + gh00gpp + gh002gp0p0hgzzgppdzgdpdzgdpggzpZbzzpp 2)(222)(1)