波动光学习题（二）

1、二、光的衍射（一）惠更斯菲涅尔原理 同一波面上各点都可以认为是相干波源；它们发出的子波在空间各点相遇时，其强度分布是所有子波相干叠加的结果。基本点：子波干涉LfoaBAPxCsina22k)2 ,1(k减弱减弱212）（k)2 ,1(k加强加强（二）夫朗和费单缝衍射光的衍射是同一光束中无数子波在障碍物后相干叠加的结果。半波带法计算光程差单缝最边沿（上下）两光线的光程差sintanffx条纹位置条纹间距afxxxkk1中央明纹宽度afx22afk)2 ,1(k暗纹暗纹afk212）（)2 ,1(k明纹明纹xbadkfoxP光栅方程光栅方程k)2 ,1 ,0(ksin)(ba主极大明纹主极大明纹b

2、afkx )2 ,1 ,0(k明纹明纹明纹位置明纹位置（三）光栅衍射光栅衍射是每一狭缝衍射的同一方向的子波间相互干涉的结果，因而光栅衍射是单缝衍射与缝间干涉的总效果。与单缝衍射相比，在黑暗的背景上显现窄细明亮的谱线，且缝数越多，谱线越细越亮。kkad)321(， k缺级条件缺级条件I单单0 0-2-2-1-11 12 2I0 04 48 8-4-4-8-8单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线在在 处出现缺级。处出现缺级。 谱线强度受单缝衍射调制（ ，衍射暗纹），有时有缺级现象（ ）缺级kasinkadkkadk（四）光学仪器的分辨本领 两个点光源 、 ，若 像中央最亮

3、处刚好与 像第一暗处重合，则这两点恰能分辨，称瑞利判据。这两点光源在透镜处所张角程为最小分辨角，其倒数称为光学仪器的分辨率。A BAB最小分辨角D22. 10分辨率D0122.110D1S2S2/d0Lx三、光的偏振光波是横波，偏振现象是横波特有的现象。（一）光的五种偏振态自然光线偏振光椭圆偏振光部分偏振光圆偏振光（二）产生偏振光的三种方法1、偏振片2、反射、折射3、双折射 光， 光 Oe自然光自然光线偏振光线偏振光部分偏振光部分偏振光212cosII20cos21I2P1P0I1I2I0i1n2n0i0r120tgnni2/00ri 例例1: 在单缝衍射实验中在单缝衍射实验中,当缝的宽度当缝

4、的宽度a远大于远大于单色光的波长时单色光的波长时,通常观察不到衍射条纹通常观察不到衍射条纹.试由试由单缝衍射暗条纹条件公式说明这是为什么单缝衍射暗条纹条件公式说明这是为什么.答:由单缝衍射暗纹公式: 可知,当 很小的时候, 级次不太高的那些暗纹(角很小)都聚集在狭窄的中央明纹附近( ),以致不能分辨出条纹.而且K很大的暗纹之间的明纹本来就暗到看不见了,不必加以考虑.这样就观察不到衍射条纹.)2 , 1( sinkkaa/afl20 例例2: 用纳光用纳光589.3nm垂直照射到某光栅上垂直照射到某光栅上,测得第三级测得第三级光谱的衍射角为光谱的衍射角为60度度 (1)若换用另一光源测得第二级光

5、谱的衍射角为若换用另一光源测得第二级光谱的衍射角为30度度,求求后一光源的波长后一光源的波长 (2)若以白光若以白光(400-760nm)照射到该光栅上照射到该光栅上,求其第二级求其第二级光谱的张角光谱的张角01111025)4 .2041/7602(sin );4 .2041/4002(sin)/2(sin2sin4 .2041360sin)2( ddnmdd由nmdd3 .5102330sin60sin230sin360sin）1：（221002010解 例例3 :自然光以自然光以60度入射角照射到某两介质交界面度入射角照射到某两介质交界面时时,反射光为完全线偏振光反射光为完全线偏振光,则

6、折射光为则折射光为 (A)完全线偏振光且折射角是完全线偏振光且折射角是30度度 (B)部分偏振光且只是在该光由真空入射到折射率为部分偏振光且只是在该光由真空入射到折射率为 的的介质时介质时,折射角是折射角是30度度 (C)部分偏振光部分偏振光,但须知两种介质的折射率才能确定折射角但须知两种介质的折射率才能确定折射角 (D)部分偏振光且折射角是部分偏振光且折射角是30度度31n2n0i答：答：D 解：设入射光强为解：设入射光强为I0，连续穿过，连续穿过P1 P2后的透射光强为：后的透射光强为：02max20200020max2020604/1cos4/cos30cos4330cos:0cos30

7、cosIIIIIIII时为最大透射光强 例例4 : 两偏振片两偏振片P1，P2叠在一起，一束单色线叠在一起，一束单色线偏振光垂直入射到偏振光垂直入射到P1上，其光矢量振动方向上，其光矢量振动方向与与P1的偏振化方向之间的夹角固定为的偏振化方向之间的夹角固定为30度。度。当连续穿过当连续穿过P1，P2后的出射光强为最大出射光后的出射光强为最大出射光强的强的1/4时，时， P1，P2的偏振化方向夹角的偏振化方向夹角是多是多少？少？030P1P1例5.一束自然光自空气射向一块平板玻璃(如图)，设入射角等于布儒斯特角i0，则在界面 2 的反射光 B （A）是自然光（B）是线偏振光且光矢量的振动方向垂直

8、于入射面；（C）是线偏振光且光矢量的振动方向平行于入射面；（D）是部分偏振光。i01213.13.反射光与折射光的偏振反射光与折射光的偏振 / / 三、玻璃堆三、玻璃堆0r21000)tg(90tgnnir1例6.一束自然光入射一块平板玻璃上(如图)，已知其上表面的反射光线1为完全偏振光，设玻璃板两侧都是空气，试证明其下表面的反射光线2也是完全偏振光。解：因为入射角满足布儒斯特定律且i013.13.反射光与折射光的偏振反射光与折射光的偏振 / / 三、玻璃堆三、玻璃堆0rnnctgiir00000)tg(90tg1200tgnni 9000ir所以：下表面的入射角也满足布儒斯特定律，因而反射光

9、线2也是完全偏振光例、 透光介质、如图安排，两个交界面相互平行一束自然光由中入射试证明：若i为起偏角，则、下界面上的反射光为线偏振光 解：证：设介质证：设介质、的折射率分别为的折射率分别为n n1 1、n n2 2，、交界面交界面( (图中的上界面图中的上界面) )处折射角为处折射角为r r， 它也等于它也等于、下界面处的入下界面处的入射角最后的折射角为射角最后的折射角为 由折射定律由折射定律 ii2/2/irir这表明在下界面处也满足布儒斯特定律，所以在下界面处的反射光也是线偏振光 i n1 sini = n2 sinr = n1 sin i i ,n1,n2 i,n1 irri例例9：一束

10、自然光以布儒斯特角入射到平板玻璃上，就：一束自然光以布儒斯特角入射到平板玻璃上，就偏振状态来说则反射光为偏振状态来说则反射光为 ，反射光，反射光 矢量矢量 的振动方向的振动方向 ，折射光，折射光为为 。 E例例8：He-Ne激光器发出激光器发出=632.8nm=632.8nm的平行光束，的平行光束，垂直照射到一单缝上，在距单缝垂直照射到一单缝上，在距单缝3m3m远的屏上观察远的屏上观察夫琅和费衍射图样，测得两个第二级暗纹间距是夫琅和费衍射图样，测得两个第二级暗纹间距是10cm10cm，则单缝的宽度，则单缝的宽度a=_a=_。例例7：一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的：一束白光垂直照射在一光栅

11、上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是(A)紫光紫光. (B)绿光绿光. (C)黄光黄光. (D)红光红光答: (D)mmacmafkx2106 . 7102答：完全（线）偏振光；垂直于入射面；部分偏振光答: (D)；例例11：汽车两前灯相距：汽车两前灯相距L，与观察者相距为，与观察者相距为S=10km，夜间人眼瞳孔直径为夜间人眼瞳孔直径为d=5.0mm。人眼敏感波长为。人眼敏感波长为=550nm=550nm，若只考虑人眼的园孔衍射，则人眼可分辩出，若只考虑人眼的园孔衍射，则人眼可分辩出汽车两前灯的最小间距汽车两前灯的最小间距L=L= 。 例例

12、10：在：在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为单缝夫琅和费衍射实验中，波长为单单色平行光束垂直照射到宽度为色平行光束垂直照射到宽度为a=2a=2的单缝上，的单缝上，对应于衍射角为对应于衍射角为3030度方向，单缝处的波面可分成度方向，单缝处的波面可分成的半波带数目为的半波带数目为_。=1.342230sin0kkadSLdSL22. 122. 1例例12：（：（1）在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入）在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，射的光有两种波长，1 1=400nm=400nm，2 2=760nm.=760nm.已知单已知单缝宽度缝宽度 , ,透镜焦距透镜焦距f=50cmf=50

13、cm。求两种光第。求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。一级衍射明纹中心之间的距离。（2 2）若用）若用光栅常数光栅常数 的光栅替换单缝，的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离。间的距离。cma2100 . 1cmd3100 .1解：由单缝衍射的明纹公式cmafxxxafxafxfxkakak27. 0/23 /23 , /23 /sin232) 12(sin232) 12(sin , 11122211222111，）取（2）由光栅方程：cmdfxxxfxkdkdk8 . 1/ sinsin ;sin , 1122221

14、11取 解：设两入射自然光光强分别为解：设两入射自然光光强分别为I1， I2，连续穿过两连续穿过两偏振片后的透射光强为：偏振片后的透射光强为：32coscoscos21cos21122221222121IIII 例例13 : 两偏振片叠在一起，在它们的偏振化方两偏振片叠在一起，在它们的偏振化方向成向成 时，观测一束单色自然光，时，观测一束单色自然光， 又在又在 时观测另一束单色自然光。若两时观测另一束单色自然光。若两次观测所测得的透射光强度相等，求两次入射次观测所测得的透射光强度相等，求两次入射自然光的强度之比。自然光的强度之比。01300245 解：透过第一个偏振片后的光强为：解：透过第一个

15、偏振片后的光强为：32/560cos)8/5(:8530cos21212100202002001IIIIIII光强透过第二个偏振片后的）（）（ 例例(14) : 强度为强度为I0的一束光，垂直入射到两个的一束光，垂直入射到两个叠在一起的偏振片上，这两个偏振片偏振化叠在一起的偏振片上，这两个偏振片偏振化方向之间的夹角为方向之间的夹角为60度，若这束入射光是强度，若这束入射光是强度相等的线偏振光和自然光混合而成的，且度相等的线偏振光和自然光混合而成的，且线偏振光的光矢量振动方向与此二偏振片的线偏振光的光矢量振动方向与此二偏振片的偏振化方向皆成偏振化方向皆成30度角，求透过每个偏振片度角，求透过每个

16、偏振片后的光束强度。后的光束强度。030P1P1P2P2例（例（15）：如果）：如果单缝夫琅和费衍射的第一级暗纹单缝夫琅和费衍射的第一级暗纹发生在衍射角为发生在衍射角为3030度方向上，所用单色光波长为度方向上，所用单色光波长为500nm500nm，则单缝宽度为（，则单缝宽度为（ ）。）。答：C;C 10D)2.5 10)1.0 10)1.0 10A)2.57 -6-5-5mmCmBm（ 例例(16):一束自然光以布儒斯特角入射到一玻璃表一束自然光以布儒斯特角入射到一玻璃表面上，反射光为面上，反射光为 (A)在入射面内振动的完全线偏振光在入射面内振动的完全线偏振光 (B)平行于入射面的振动占优

17、势的部分偏振光平行于入射面的振动占优势的部分偏振光 (C)垂直于入射面振动的完全线偏振光垂直于入射面振动的完全线偏振光 (D)垂直于入射面的振动占优势的部分偏振光垂直于入射面的振动占优势的部分偏振光例（例（17）：用一束具有两种波长的平行光垂直入射在）：用一束具有两种波长的平行光垂直入射在光栅上，光栅上，1 1=600nm=600nm，2 2=400nm=400nm，发现距中央明纹，发现距中央明纹5cm5cm处处1 1光的第光的第k k级主极大和级主极大和2 2光的第（光的第（k+1)k+1)级主极大相级主极大相重合，透镜的焦距重合，透镜的焦距f=50cmf=50cm，试问：，试问：（1 1）

18、上述的）上述的k=?k=?（2 2）光栅常数）光栅常数d=?d=?cmxfkdfxtgkkkkdkd312122121102 . 1sin)2(2)1( )1(sin sin )1(解： 解：解：121121 12121 121minmaxminmaxnnIIIIbaabaaba 例例(18) : 强度为强度为Ia的自然光和强度为的自然光和强度为Ib的线偏的线偏振光混合而成一束入射光，垂直入射到一偏振光混合而成一束入射光，垂直入射到一偏振片上，当以入射光方向为转轴旋转偏振片振片上，当以入射光方向为转轴旋转偏振片时，出射光将出现最大值和最小值，其比值时，出射光将出现最大值和最小值，其比值为为n。

19、试求出。试求出Ia/Ib与与n关系（关系（10分）。分）。例（例（19）：惠更斯）：惠更斯菲涅耳原理的基本内容是：波阵菲涅耳原理的基本内容是：波阵面上各面元发出的子波在观察点面上各面元发出的子波在观察点P的的 ，决决定了定了P P点的合振动及光强。点的合振动及光强。答：干涉（或相干叠加）kmDdLLdLd09.922.1D2.21D2.210刚能分辨时角汽车两前灯对人眼的张人眼最小分辨角例（例（20）：设汽车前灯光波长按）：设汽车前灯光波长按=550nm计算，两前灯计算，两前灯距离距离d=1.22m，夜间人眼瞳孔直径为，夜间人眼瞳孔直径为D=5mm。试根据。试根据瑞利判据计算人眼刚能分辩上述两

20、只车灯时，人与汽车瑞利判据计算人眼刚能分辩上述两只车灯时，人与汽车的距离的距离L。 解：通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，光振动方向与刚解：通过每一偏振片后的光皆为线偏振光，光振动方向与刚通过的偏振片的偏振化方向平行。通过的偏振片的偏振化方向平行。 8145cos ,4145cos ,211002230021201IIIII）（ 例例(21) :将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个将三个偏振片叠放在一起，第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成45度和度和90度角。度角。 （1）强度为）强度为I0的自然光垂直入射到这一堆偏振片上，的自然光垂直

21、入射到这一堆偏振片上，试求经每一偏振片后的光强和偏振状态。试求经每一偏振片后的光强和偏振状态。 （2）如果说将第二个偏振片抽走，情况又如何？）如果说将第二个偏振片抽走，情况又如何？0I 2II2301）（045P1P1P2P2cm9 .13:答例：设天空中两颗星对于一望远镜的张角为例：设天空中两颗星对于一望远镜的张角为4.8410-6rad，它们都发出波长为，它们都发出波长为550nm的光，的光，为了分辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少要等为了分辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少要等于于= cmD22. 1例（例（22）：若星光的波长按）：若星光的波长按=550nm计算，孔径计算，孔径为为D=

22、127cm的大型望远镜所能分辨的两颗星的最的大型望远镜所能分辨的两颗星的最小角距离。小角距离。（从地上一点看两星的视线间夹角）（从地上一点看两星的视线间夹角）是是D2.2105.310-7rad例：用纳光例：用纳光=589.3nm=589.3nm做光源进行单缝夫琅和费做光源进行单缝夫琅和费实验，实验，单缝的宽度单缝的宽度a=0.50mm,a=0.50mm,在缝后放一焦距为在缝后放一焦距为700mm700mm 的会聚透镜，的会聚透镜，试求位于透镜焦平面处的屏试求位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹宽度。幕上中央明条纹宽度。mmf46. 5a2x例（例（23）：单缝的宽度）：单缝的宽度a=0.10m

23、m,a=0.10mm,在缝后放一焦在缝后放一焦距为距为50cm50cm 的会聚透镜，用平行绿光的会聚透镜，用平行绿光=546nm=546nm垂垂直照射到单缝上，试求位于透镜焦平面处的屏幕直照射到单缝上，试求位于透镜焦平面处的屏幕上中央明条纹宽度。上中央明条纹宽度。mmafx65.12 例例(24): 波长波长=6000的单色光垂直入射到光栅上，已知的单色光垂直入射到光栅上，已知第二级主级大出现在第二级主级大出现在=300处，第三级缺级。求：处，第三级缺级。求： 1）、光栅常数）、光栅常数a+b 2）、光栅每个缝的宽度）、光栅每个缝的宽度a 3）、光屏上可以看到的明条纹数目。）、光屏上可以看到的

24、明条纹数目。2 ; 1 ;054/90sin)3()(8003/33/)2(24004230sin)1(00条条纹为所以屏上可以看到的明第三级缺级对应最小可能的解，dkkdanmdakkadnmdd：12nn例（例（25）：自然光以布儒斯特角）：自然光以布儒斯特角i0从第一种介质从第一种介质（折射率为（折射率为n1）入射到第二种介质（折射率为）入射到第二种介质（折射率为n2）内，则内，则tgi0= .例（例（26）简答：为什么在日常生活中容易觉察声波的）简答：为什么在日常生活中容易觉察声波的衍射现象而不太容易觉察到光波的衍射现象？衍射现象而不太容易觉察到光波的衍射现象？主要是因为声波（空气中）

25、波长数量级为0.1m到10m的范围，而可见光波长数量级为1m，日常生活中遇到的孔或屏的线度接近或小于声波波长，又远大于光波波长，所以声波的衍射现象很明显，而光波的衍射现象不容易觉察到。声波的衍射现象很明显，而光波的衍射现象不容易觉察到。例(27).有三个偏振片堆叠在一起，第一块与第三块的偏振片化方向相互垂直，垂直入射自然光的光强为 I0，此自然光通过这一系统后，出射光的光强为I0/16，求第二个偏振片与第一个偏振片的偏振化方向之间的夹角。12. 12. 光的偏振光的偏振 / / 例题例题2 2解：设第二个偏振片与第一个偏振片偏振化方向之间的夹角为，透过第一个后的光强：,2/01II透过第二个后

26、的光强：212cosII P3P2P122sincos220I82sin20I2cos22II12. 12. 光的偏振光的偏振 / / 例题例题2 2tP3P2P12透过第三个后的光强：160I212sin2所以=sin-1( )/2=22.5018-4-8、波长为 的单色光垂直入射到宽度为 的单缝上，透镜焦距 ，衍射图样观察屏在透镜的焦平面处，求nm600mma1 . 0mf0 . 1（1）中央明纹宽度 0 x（2）第二级暗纹中心离透镜焦点的距离解：（1）（2）cmx2 . 12LfBAaocmafx2 . 12018-5-7、以波长为 的平行单色光斜入射在光栅常数为 ，缝宽为 的光栅上入射

27、角为 ，列出能看到的全部谱线的级次。A5000m10. 2m70. 0030ki解：斜入射时，光栅方程变为kiddsinsin,.2, 1, 0kmax10030sin90sinkdd对应于0090,30i2max1k对应于0090,30imax20030sin)90sin(kddki6max2k370. 010. 2ad级谱线缺级。3, 6 综上，能看到以下各级谱线：条。共7, 2 , 1 , 0 , 1, 2, 4, 5630sin90sinmax2max200kkdd或直接18-5-8、波长为 的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级主极大衍射角为 ，且第三级缺级，求：A6000030（1

28、）光栅常数（2）透光缝可能的最小宽度。（3）在选定了上述光栅常数和透光缝最小宽度后，在屏幕上可能呈现的全部主极大级次。解：（1）（2）（3）230sin0dmd4 . 2kad31 kmda8 . 031490sin0maxdk能观察到的级次为2 , 1 , 0 , 1, 2 18-5-9、以波长为 的白光垂直入射在光栅上，衍射光谱中，第二级和第三级光谱发生部分重叠，则第二级光谱被重叠的波长范围是多少？nmnm7604002k2k3k3kO解：2sind紫3sindnm600故，第二级光谱被重合的波长为nmnm760600光-19、一衍射光栅，每厘米有 条透光缝，每条透光缝宽为 ，在光栅后放一

29、焦距 f=1m 的凸透镜， 现以 的单色平行光垂直照射光栅，求（1）透光缝 的单缝衍射中央明纹的宽度（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？200cma3102nm600a解：（1）（2）cmcmmAafx6102160002230kdsinadksinamf0 . 11k1kcmd322105102101adkcma3102取值为k个。共52, 1, 0k注意：第一级单缝衍射暗纹不引起缺级；第二级单缝衍射暗纹引起第五级主极大缺级18-4-9、在单缝衍射实验中，光源发出只含两种波长 和 的光，垂直入射于单缝上。若 的第一级衍射极小与 的第二级衍射极小重合，问： （1）这两种波长之间的关系。1212（2）在衍射图样中，是否还有其他衍射极小重合，求定量关系解： （1）（2）1sina22sina122111sinka22sinka211221kk122kk 的暗纹均重合。（1）缝宽 增大或减小。18-4-10、单缝夫琅和费衍射装置作如下调整，中央明纹中心位置和宽度有什么变化？设入射光为理想单色平行光a（2）缝沿与入射光正交方向上下稍微平移。（3）波长 增