线性代数：行列式习题课

1、1第一章第一章 行列式行列式习题课习题课2例例1621153306021215222443 rrrrrr17103700141131223 rrrr2164729441732152 计算行列式计算行列式12230533060211411022421 rrrr12235331411 .37 3例例2计算行列式计算行列式354524566479131266879546563354521021211631231311111151544223rrrrrrrr 13230120100052012020111111514131222 rrrrrrrr1323120100521202 40122120100

2、5200013431 rrrr1323120100521202 012120005 .5 5练习练习计算行列式计算行列式1631751133821311410 4938001013102721342 111131072132 .385 1498131072132 10013236212423 6例例3计算行列式计算行列式531731751753753153116317161751675316 222044406220753116 22244462216 111111311256 400220311256 531131711751753116 .2048 7例例4计算行列式计算行列式641161

3、4112719131181412111111范德蒙行列式范德蒙行列式)121)(41)(61)(43)(32)(21( .11521 8求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 解解,00103010021321nnDn 设设 n 阶行列式阶行列式例例5第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成nAAA11211 n001030100211111 9n001030100211111 ncnccc13121321 njnj00003000020111112 . )11( !2 njjn10例例6设设 n 阶矩阵阶矩阵 01

4、11110111110111110111110A, , 将第将第2 2行开始所有行行开始所有行全部加到第全部加到第1 1行上去行上去, ,则则 A . . 解解(97(97一一3)3)110111110111110111110111110 A0111110111110111110111111 nnnnn1000001000001000001011111)1( n. )1()1(1 nn12例例7nnnnnnnD222333222111 1111331221111! nnnnnn 1)(!jinjixxn)1()13)(12( ! nn.!1!2! )2(! )1( ! nnn)2()24)(2

5、3( n)1( nn范德蒙行列式范德蒙行列式13例例8方程组方程组 abcabzacybcxcbaczbyaxcbazyx3222在在cba,满满足足什什么么条条件件时时有有唯唯一一解解? 并并求求这这个个解解。 解解abacbccbaD111 bcabbcacbcacaba 001bcacab 11)(, )()(bcacab 140 D即即cba,互互不不相相等等时时方方程程组组有有唯唯一一解解。 abcabzacybcxcbaczbyaxcbazyx3222abacabccbcbacbaD3112221 abacabccbaa211 ,aD ,2bDD ,3cDD ,1aDDx ,2bD

6、Dy .3cDDz 同理有同理有所以解为所以解为abacbccbaa111 , )()(bcacabD 15END16第一章第一章 测试题测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD则则若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式则行则行的三个根的三个根是方程是方程设设17 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四阶行列式四阶行列式行列式行列式 . 318 443424144, . 5AAAAcdbaa

7、cbdadbcdcbaD则则设四阶行列式设四阶行列式的的符符号号为为在在五五阶阶行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系数是的系数是中中在函数在函数321112 . 7xxxxxxxf 19 abcdbadccdabdcba四阶行列式四阶行列式 . 8, . 9时时且且则当则当为实数为实数若若 baba010100 abba20二、计算下列行列式二、计算下列行列式( (每小题每小题9 9分，共分，共1818分分) )0112210321011322211313211 . 15 D. .10121121iiiiiiiinnnn 次次对对换换后后变变为为排排列列可可经经排排列列

8、21xzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齐次方程组齐次方程组取何值取何值问问, 0200321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、解答题三、解答题(9(9分分)22四、证明四、证明( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) ) ; 0321321321321 . 12222222222222222 ddddccccbbbbaaaa23 cos211cos21111cos211cos2 . 2 nD ;sin1sin n24用用数数学学归归纳纳法法证证明明 .3nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxD321223222122322213211111 2,121 nxxxxxjinijn25五、五、(9(9分分) ) 设设 行列式行列式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 26 .21 .10 ; 0 , 0 . 9 ; . 8 ; 2 . 7 ;. 6 ; 0 .