方差__随机变量的数字特征

1、2 方差方差引言引言l随机变量的数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权随机变量的数学期望体现了随机变量所有可能取值的加权平均平均离散型：离散型：连续型：连续型： 若级数若级数 绝对收敛绝对收敛，则，则1kkkx p 1()kkkE Xx p 若积分若积分 绝对收敛绝对收敛，则，则( )xf x dx ()( )E Xxf x dx 32 2 方差方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？ 一、方差的定义一、方差的定义 方差的算术平方根方差的

2、算术平方根 称为标准差或均方差，称为标准差或均方差，记为记为(X).)(XD 设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若E(X-E(X)2存在，存在，则定义则定义X的方差为的方差为D(X)=EX-E(X)2 (1) 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .若若X的取值集中，则方差的取值集中，则方差若若X的取值分散，则方差的取值分散，则方差若方差若方差D(X)=0，则，则X 以概率以概率1取常数值取常数值 .注注5对于离散型随机变量X，() 1,2,kkP Xxpk其分布律为：21()()kkkD XxE Xp( ),f x其概率密度为

3、2 ()()D XEXE X事实上，2()()( )D XxE Xf x dx22()() ()D XE XE X222() ()E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X对于连续型连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式： 例1：设随机变量X具有数学期望()E X*()0()1E XD XXX证明：，称为 的标准化变量2*()0XD XX方差，记7 例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解：(0)1(1)()P XpP XpD X 。，求()E X0 (1) 1pp p2()E X220(1) 1ppp

4、()D X所以 22() ()E XE X2pp(1)pp 例3： 解： () 0,1,2, 0!keXP Xkkk的分布律为：()E X由上节例5已算得2 ()E X而(1)()E X XE X(1)E X XX222(2)!kkek0(1)!kkek kk22e e( )()XD X 。设，求 9 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：1 0( ) 0(),()0 0 xexf xE XD Xx。，求()( )E Xxf x dx解：01xxedx00|xxxeedx 22()( )E Xx f x dx201xxedx2200|22xxx exedx22()() ()D XE X

5、E X于是 2222三、方差的性质三、方差的性质 1. 设设C是常数是常数,则则D(C)=0; 2. 若若C是常数是常数,则则D(CX)=C2 D(X); 3. 若若X1与与X2 独立，则独立，则 D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);niiniiXDXD11)(推广：若推广：若X1,X2,Xn相互相互独立独立,则则niiiniiiXDCXCD121)(P125 例例6-例例811 例6：( , )(),()Xb n pE XD X。设，求1 1,2,0 kAkXknAk在第 次试验发生在第 次试验不发生Xkpk011-ppXnAp。解：随机变量 是 重伯努利试验中事件 发生的次数，设P

6、(A)= 引入随机变量：12,0 1nXXX于是相互独立，服从同一分布： 例7：2( ,)(),()XNE XD X 。设，求012121222222220111122(,) 1,2, ,(,)nnnnnniiinCC XC XC XN CXNinCCCCCCCC若且它们相互则它们的线性组合独立是不全：为0的常数 (1,3)(2,4),23XNYNX YZXY如:，且相互独立，则n独立的 个正态变量的线性组合仍服从正态分布：例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。2(22.40,0.03 ),XN2(22.50,0.0

7、4 ),YN 2()()D XPXE X 切比雪夫不等式定理定理（切比雪夫不等式）（切比雪夫不等式）：设随机变量设随机变量 X 具有期望和方差，具有期望和方差，E(X) = ， D(X) = 2则对于任意正数则对于任意正数 ，都有，都有3、定理证明： （只证 X是连续型）22222)()(1DXdxxfx 。2 方差第四章 随机变量的数字特征)Chebyshev(不等式定理：（切比晓夫不等式）设随机变量X有数学期望 , 对任意 0, 不等式 成立，或2,DXEX方差22/|XP22/1|XP返回主目录|22)(|xdxxfx|)(|xdxxfXP这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情况下，

8、事件|X的概率的一种估计方法。2 方差第四章 随机变量的数字特征返回主目录例例 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率 .解解：设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300，D(X)=70022 方差第四章 随机变量的数字特征不等式证明：利用Chebyshev，则若10EXXPDX证明：0EXXPEXXP0EXXP01EXXP110nnEXXPEXXP而11nnE

9、XXP概率的次可列可加性不等式，得由概率的非负性及Chebyshev例16返回主目录2 方差第四章 随机变量的数字特征2110nDXnEXXP001nEXXP所以， 21n00001nEXXP所以，00 EXXP所以，因此，1 EXXP例16（续）我们有：由此例及方差的性质，为常数CCXP1的充分必要条件为0DX返回主目录21表表1 1 几种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或分布率或 密度函数密度函数 分布分布01分布分布 p p(1-p)二项分布二项分布b(n,p) npnp(1-p)泊松分布泊松分布 均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布正态分布正态

10、分布1()(1)0,1kkP Xkppk1()(1)0,1,.,kkknP XkC ppkn( ) ()!0,1,.,kP Xkekk1 (),( )0,baaxbf x其它a+b22(b-a)12( )EP,0( )0,xexf x其它1212( ,)N 22()21( )2xf xex 2E(X + Y) = E(X) + E(Y)E(CX) = C E(X)E(C) = C切比雪夫不等式切比雪夫不等式D(X) = 0当且仅当当且仅当P(X = C) = 1,其中其中C = E(X) 附注：附注：D(X) = EXE(X)2 = E(X2) E(X)2 D(X + C) = D(X) 设设

11、 X，Y 相互独立，则相互独立，则E(XY) = E(X) E(Y)D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2 EXE(X)YE(Y)特别地，若特别地，若 X，Y 相互独立，相互独立，则则D(X + Y) = D(X) + D(Y)D(CX) = C 2 D(X)D(C) = 0线线性性性性质质方差方差数学期望数学期望数学期望数学期望方差方差线线性性性性质质E(C) = CD(C) = 0E(CX) = C E(X)D(CX) = C 2 D(X)E(X + Y) = E(X) + E(Y)D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2 EXE(X)YE(Y)特别地，若特别地，

12、若 X，Y 相互独立，相互独立，则则D(X + Y) = D(X) + D(Y)设设 X，Y 相互独立，则相互独立，则E(XY) = E(X) E(Y)附注：附注：D(X) = EXE(X)2 = E(X2) E(X)2 D(X + C) = D(X) D(X) = 0当且仅当当且仅当P(X = C) = 1,其中其中C = E(X) 切比雪夫不等式切比雪夫不等式3（后面不讲）.几种重要随机变量的数学期望及方差EX=p，pqppEXEXDX222)(。nkqpCkXPknkkn, 1 ,0,。方法1：nkknknkknkknqpknknkqpCkEX00)!( ! nkknkqpknknnp1

13、)1(11)!1(1()!1()!1(第四章 随机变量的数字特征pppXk1102. 二项分布1.两点分布返回主目录nkknknkknkknqpknknkqpCkEX02022)!( !npqpnppnnppnpnEXEXDX)1 ()(222222210111)1(1111niiniinnkknkknqpCnpqpCnpEXnpqpnpn1)(nkknkqpknknkp11)!()!1(!nkknknkknkqpknknpqpknknkp1111)!()!1(!)!()!1(!)1(npqpknknpnnnkknk2)2(222)!2(2()!2()!2() 1(npnppnnpqppnnn

14、22222)()1(3 几种期望与方差第四章 随机变量的数字特征且nXX,1独立，令nXXX1，则 X 的可能取值为 0,1,n，iX服从（0-1）分布，nipXPqXPii, 2 , 1,1,0方法2：nkqpCkXPknkkn, 0,npEXEXnii1， ,1npqDXDXnii3泊松分布设 X 服从参数为泊松分布， 其分布律为ekkXPk!，k=0,1,.eekeekkEXkkkk110)!1(!3 几种期望与方差第四章 随机变量的数字特征返回主目录 其它, 0),/(1)(bxaabxf。21)(badxabxdxxxfEXba111022)!1()!1() 1()!1(!kkkkkkkkekekkekkekkEX 2222)!2(eekekk2222)(EXEXDX3 几种期望与方差第四章 随机变量的数字特征4.均匀分布返回主目录5正态分布 ),(2NX)( ,)(212122)(222txdtetdxexEXtx12)()2(1)(22222abbadxabxEXEXDXba dtedttett222222)( ,21)()(222)(22txdxexXEDXx 2