数列求和—错位裂项

1、广西灵山中学广西灵山中学 苏焕贵苏焕贵中央电视台的中央电视台的开心辞典开心辞典栏目，有一次栏目，有一次的最后一题是：的最后一题是：“给出一组数给出一组数1，3，6，10，15，则第，则第7个数是什么？个数是什么？”你认为第你认为第7个数个数是是 .那么，这组数之间的规律是那么，这组数之间的规律是。 28an=n(n+1)2a2-a1=2a3-a2=3a4-a3=4an-an-1=nan=1+2+3+n求数列的前求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：项和，通常要掌握以下解法：1、直接法直接法2、公式法公式法3、倒序相加法倒序相加法4、错位相减法错位相减法5、分组分组求和求和法法6、裂项相消法裂项

2、相消法1.分组求和法：分组求和法：若数列 的通项可转化为 的形式，且数列 ，分别是等差或等比数列，则可求出前n项和 nannnabc nb nc nanS练习：练习：求：求：1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23的的前前n项和项和.2、求：、求：1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23的的前前n项和项和.=1-21-2n=2n-1Sn= 1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23) + +=(2-1)+(22 -1)+(23-1)+(24-1)+(2n-1)=(2+22+23+2n)-n错位相减法错位相减法解解：记记sn=a+2a2+3a3+(n-1)an-1+nan

3、则asn= a2+2a3+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1（1-a)sn=(a+a2+a3+an)-nan+1 则 sn=1+2+n=2) 1( nn 则sn=anaaaann1)1 ()1 (12注意：注意：q=1时的时的sn。例例1、求和求和 a+2a2+3a3+nan*(,0)nNa 21nn nnnS2181341221112121) 1(161381241121nnnnnS1111(1)111 11122()1224 822212nnnnnnSn nnnnnnnS2212)2211 (211 数数 列列 求求 和和错位相减法错位相减法解：解：2323131 2 2 23

4、 2221 22 2(1) 22nnnnnSnSnn 错 位 相 减 法（）：22 ) 1n (S22 ) n1 (2n21)21 ( 22n2222S1nn1n1nn1nn32n 2nndn2.错位相减法错位相减法：设数列 是公差为d的等差数列（d不等于零），数列 是公比为q的等比数列(q不等于1），数列 满足： ,则可求 的前n项和nSna nb ncnannncba 例例2.求下列数列前求下列数列前n项的和项的和Sn：，11431321211nn111) 1(1nnnn解：)111()4131()3121()211 (nnSn1111nnn11()1nn（裂项相消法）（裂项相消法） 数数

5、 列列 求求 和和nnsa求已知,. 121nn13221111, 13. 2nnnaaaaaana求已知：nnsa求已知,21nn11111-nnnn1211212112121nnnn 2111121211nnnnnnn五、公式法求和：五、公式法求和：所给数列的通项是关于所给数列的通项是关于n n的多的多项式，此时求和可采用公式项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：法求和，常用的公式有：121211nnnknk121612122212nnnnknk223331314121nnnknk 一般数列求和方法总结一般数列求和方法总结:1、直接由等差、等比数列的求和公式求、直接由等差、等比数列的求和公式求