重积分作业选解

1、上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业1选解选解1画出积分区域，并计算下列二重积分： （3）22()dDxyx，D由yx，2yx及2y 所围； 解 1：积分区域如图阴影部分所示， 22()dDxyx22202d()dyyyxyxx 232019313()d2486yyy. 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业1选解选解1画出积分区域，并计算下列二重积分： （3）22()dDxyx，D由yx，2yx及2y 所围； 解 2：积分区域如图阴影部分所示， 原式1222222201d()dd()dxxxxxyxyxxyxy 312322011048()d(32)d333xxxxxxx 136.

2、 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业1选解选解1画出积分区域，并计算下列二重积分： （4）dxyDe，D由yx，3xy及2y 所围. 解：积分区域如图阴影部分所示， dxyDe321ddxyyyyex221()dyy eey4122ee. 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业1选解选解2画出积分区域，并交换积分次序： （2）22212d( , )dx xxxf x yy； 解：积分区域如图阴影部分所示， 22212d( , )dx xxxf x yy211102d( , )dyyyf x yx. 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业1选解选解2画出积分区域，并交换积分次序：

3、 （4）220d( , )dyyyf x yx. 解：积分区域如图阴影部分所示， 220d( , )dyyyf x yx 2420222d( , )dd( , )dxxxxf x yyxf x yy. 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业1选解选解3计算2230dd1xyIxyy. 解：积分区域如图阴影部分所示，交换积分次序得 2300dd1yyIyxy 2230d1yyy 23024133y. 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业1选解选解4计算112111224ddddyyyyxxyIyexyex. 解：积分区域如图阴影部分所示，交换积分次序得 2112ddyxxxIxey11

4、2()dxx eex 12122xxexxee3182ee. 上页下页铃结束返回首页22()dDVxy 112200d()dxxxyy 123014(2)d33xxxx 16. 5求由平面1xy，曲面22zxy及三坐标面所围立体的体积. 解：所围立体为曲顶柱体，底区域为 : 01, 01Dxyx ， 顶面为22zxy，立体的体积为 重积分作业重积分作业1选解选解上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业2选解选解1化下列积分为极坐标形式的二次积分： （2）120d( , )dyyyf x yx. 解：积分区域如图阴影部分所示. 2yxtan sec，2yx12(sincos )， 原积分12(

5、sincos )40tansecd( cos ,sin )df . 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业2选解选解2利用极坐标计算下列二重积分： （2）arctandDyx，D由圆周221xy，224xy及直线0y ，yx所围成的在第一象限内的闭区域； 解：当0 x 时，arctanyx，所以 arctandDyx/4201dd/42033d264 . 上页下页铃结束返回首页（4）22()dDxy，D由22(0)yaxxa，0y 所围. 提示：20cosdnnI 满足递推公式21nnnIIn. 解：22yaxx的极坐标方程为2 cosa， 22()dDxy 2 cos3200dda 44

6、204cosda 443 1344 2 24aa. 重积分作业重积分作业2选解选解2利用极坐标计算下列二重积分： 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业3选解选解1化积分( , , )dIf x y zv为三次积分，其中分别是： （1）由222zxy及2232zxy所围； 解：在xOy面上的投影区域为:D221xy，可表示为： 22222211,11,232xxyxxyzxy . 222222113 2112dd( , , )dxxyxxyIxyf x y zz. 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业3选解选解1化积分( , , )dIf x y zv为三次积分，其中分别是： （2）

7、由2yx，0z 及4zy所围. 解：在xOy面上的投影区域D的边界曲线为2yx和4y ， 投影区域D可表示为：222,4xxy ， 可表示为：222,4, 04xxyzy . 224420dd( , , )dyxIxyf x y zz. OxzyD4y 2yx4zy上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业3选解选解3求由曲面22zx与222zxy所围立体的体积. 解：所围立体在xOy面上的投影区域为22:1D xy， 可表示为：22222, ( , )xyzxx yD. 的体积为 22222dd ddxxyDVvxyz 22(222)d dDxyxy 21200d(22)d . D上页下页铃

8、结束返回首页原式24200ddsindzxxzxxyzy 242002d(2 21)sind3zzxzx 34202(2 21)sind9zzz 42 21(1cos)1816. 重积分作业重积分作业3选解选解4计算三重积分4sindxyzv，其中由yx，2yx，2z及zx所围. 解：可表示为：0, 0,22zxzxyx. 上页下页铃结束返回首页2220ddd dzzzDevezxy 2202dzzez 4(1)e. 重积分作业重积分作业4选解选解1计算三重积分2dzev，其中是由222xyz与2z 所围区域. 解：因2dzez不可积出，所以用截面法计算. 表示为： 02, ( , )zzx

9、yD，其中22:2zDxyz. 上页下页铃结束返回首页22dxz xyv 2/212200ddcos dzz /213500cos d()d 112. 重积分作业重积分作业4选解选解2 计算三重积分22dxz xyv， 其中是由22zxy与2222xyz所围立体区域在第一卦限部分. 解：积分区域用柱面坐标表示为： 20, 01,22z. yz2222xyz22zxyxO上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业4选解选解4求由曲面226zxy与22zxy所围立体的体积. 解：曲面226zxy与22zxy的交线在xOy面上的投影曲线为224xy，由此可知用柱面坐标表示为： 2:02 , 02,6

10、z. 立体的体积为 上页下页铃结束返回首页2224000dddsindVvrr 2224000dsinddrr 22 22(1)23 4( 21)3. 重积分作业重积分作业4选解选解5求由曲面222zxy与22zxy所围立体的体积. 解：所围立体区域为 :02 , 0, 024r. 立体的体积为 yz222zxy22zxyxO上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业5选解选解1计算曲面面积 （2）上半球面224zxy在圆柱面222xyx内部的部分； 解：所考虑曲面部分在xOy上的投影区域为22:2D xyx， 曲面面积为 221()() d dxyDAzzxy 222d d4Dxyxy 2c

11、os220022dd4 208(1 sin )d48 . 上页下页铃结束返回首页221()() d dDzzAxyxy 22144d dDxyxy 22200d14d (17 171)6. 重积分作业重积分作业5选解选解1计算曲面面积 （3）旋转抛物面226zxy在圆锥面22zxy内部的部分. 解： 两曲面的交线在xOy面上的投影曲线为224xy， 所考虑曲面部分在xOy面上的投影区域为22:4D xy，曲面面积为 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业5选解选解2 设一薄板所占的区域为2222:1,0 xyDyab ， 且密度均匀，求此薄板的质心. 解：由对称性知0 x . 区域D的面积2abA， 1d dDyyxyA2202ddbaaxaaxyyab 223()daabaxxa43b. 薄板的质心为4(0,)3b. 上页下页铃结束返回首页重积分作业重积分作业5选解选解3设是由曲面2222zxy和平面4z 所围成的有界闭区域. 一物体占有区域，且密度均匀，求此物体的质心. 解：由对称性知0 xy. dVv22200d(42)d4， 1dzz vV22240021ddd4zz 2240018d(82)d43. 物体的质心为8(0,0, )3. 上页