物理奥赛培训课件(力学)

1、一一. . 质点运动学质点运动学二二. . 牛顿运动定律牛顿运动定律三三. . 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律四四. . 动能定理动能定理 机械能守恒定律机械能守恒定律五五. . 质心运动定律质心运动定律六六. . 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律七七. . 刚体的平衡刚体的平衡八八. . 万有引力与天体运动万有引力与天体运动九九. . 简谐振动简谐振动1 1质点运动的一般描述质点运动的一般描述1.1 1.1 运动方程与轨道方程运动方程与轨道方程轨道方程轨道方程运动方程运动方程( )( , )0( )txx tf x yyy t 消去( )( )( )rr tx

2、t iy t jrP(x,y)xOyxy( )( )xx tyy t1.2 1.2 速度速度 反映质点运动的快慢和方向的物理量反映质点运动的快慢和方向的物理量rvtdtrdtrvtlim0dtdyvdtdxvyx 瞬时速度沿轨道切线方向瞬时速度沿轨道切线方向 1.3 1.3 加速度加速度 反映速度（大小和方向）反映速度（大小和方向）变化快慢的物理量变化快慢的物理量 加速度与速度的方向一般不同。加速度与速度的方向一般不同。vat220limdtrddtvdtvatxOzyvA vvBABrArBvAvB(a)(b)2222dtyddtdvadtxddtdvayyxx gyv0Ox2. 2. 抛体

3、运动抛体运动 速度：速度：00cossinxyvvvvgt运动方程：运动方程：020cos1sin2xvtyvtgt轨道方程：轨道方程：2220tan2cosgyxxv推论推论1 1）飞行时间：）飞行时间： 02sinvTg 2 2）上升高度：）上升高度： 220maxsin2vHyg 3 3）射程：射程： 20sin2vsg gyv0Ox思考思考 甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上，乙在地上甲、乙两小孩在做游戏，甲在树上，乙在地上用枪描准甲，乙一开枪，甲就从树上跳下（初速度为用枪描准甲，乙一开枪，甲就从树上跳下（初速度为零） 。问：甲是否被击中？若被击中，求出被击中的零） 。问：甲是否被击中？若

4、被击中，求出被击中的时间和地点。时间和地点。 甲乙0vsh3.1 3.1 圆周运动的加速度圆周运动的加速度00naaa n22tannnaaaaaRPxOP0s 0n0avaan3. 3. 圆周运动圆周运动2ndvadtvaR3.2 3.2 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角位置：角位置： = (t)角速度角速度: : dtdttlim0角加速度角加速度: : dtdttlim03.3 3.3 角量和线量的关系角量和线量的关系 Rv 2naRaRRPxO P0s0rrr0vvvaaa0 xySOPSOxyrrr04.4.相对运动相对运动4.1 4.1 运动描述与参照系：运动描述与参照系：

5、对物体运动的描述与参照系对物体运动的描述与参照系有关有关位移、速度、加速度的测量与参照系有关。位移、速度、加速度的测量与参照系有关。 4.2 4.2 不同参照系间位移、速度和加速度的变换不同参照系间位移、速度和加速度的变换 22tannnaaaaa2:ndvadtva切向加速度法向加速度00naaa na ana1.1.一般曲线运动一般曲线运动1.1 1.1 一般曲线运动中的加速度一般曲线运动中的加速度1.2 1.2 曲率半径的物理求法曲率半径的物理求法椭圆的曲率半径：椭圆的曲率半径：AByxOab22221xyab轨道方程：轨道方程：cossinxatybt对应运动方程：对应运动方程：A点：

6、点：22nnvvaa2,max,max,ynxvvbaaa22Anvbaa2Bab同理：同理：抛物线的曲率半径：抛物线的曲率半径：yxOyvvxvnaaa2yAx轨道方程：轨道方程：0212xv tyat对应运动方程：对应运动方程：22 2 3/2222222 3/23/200400()(14)(1)2nva tvva xA xaavavA202aAv其中：其中：0222 20 xyvvvva tvat022 20cosnavaava t2. 2. 连体运动问题连体运动问题解题方法一：解题方法一：运动的分解运动的分解情形情形1 1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，两物体通过刚性细杆或不

7、可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。v2v112coscosvv例例 1.1 如图， 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度如图， 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度0v匀速前进。求当绳子与水平面夹角为匀速前进。求当绳子与水平面夹角为时，重物上时，重物上升的速度。升的速度。 hv0v0v|0cosvvv解：解：情形情形2 2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。v1v212coscosvvPv0vP例例1.2 如图示，一半径为如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向的半圆柱体沿水平方向以速度以速度v

8、0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为的角位置为 时竖直杆运动的速度。时竖直杆运动的速度。0sincosPvv解：解：0tanPvvRO练习：练习：顶杆顶杆AB可在竖直滑槽可在竖直滑槽K内滑动，其下端由内滑动，其下端由凸轮凸轮M推动，凸轮绕过推动，凸轮绕过O点的水平轴以角速度点的水平轴以角速度 转转动。在图示的瞬时，动。在图示的瞬时，OAr，凸轮轮缘与，凸轮轮缘与A接触处接触处法线法线n与与OA夹角为夹角为 ，试求此瞬时顶杆，试求此瞬时顶杆AB的速度。的速度。AOrnBMKtanAvr参考答案：参考答案：情形情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方

9、两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动：直线方向运动的合运动：Pv2v12 v1 v12Pvvv例例1.3 水平直杆水平直杆AB在半径为在半径为R的固定圆圈上以匀速的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环交点处小环M的速度。的速度。OM Rv0v0v2v1v0解：解：01sinMvvv练习：练习：如图，一平面内有两根夹角为如图，一平面内有两根夹角为 细杆细杆l1和和l2，两细杆各自以垂直于自己的速度两细杆各自以垂直于自己的速度v1和和v2在该平面内在该平面内运动，试求两细杆交点运动，试求两细杆交点P的速

10、率。的速率。Pv1v2解：解：Pv1v2v11vv22v1212,sinsinvvvv2212122cosPvvvv v 22121212cossinvvv vA对对B：ABABABrva、解题方法二：解题方法二：运动的合成（相对运动）运动的合成（相对运动）一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：BBBrva、 、B对地：对地：AABBAABBAABABrrrvvvaaa、A对地：对地：例例1.4 如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子滑钉子A上。今以恒定速度上。今以恒定速度v拉绳，当绳与竖直方向拉

11、绳，当绳与竖直方向夹角为夹角为 时，求线轴中心时，求线轴中心O的运动速度的运动速度v。设线轴的。设线轴的外半径为外半径为R，内半径为，内半径为r，线轴沿水平面作无滑动滚，线轴沿水平面作无滑动滚动。动。ABCrROv解：解：情况情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。ABCrROvvOBv/2B点相对于地面的速度：点相对于地面的速度：BBOvvvB点相对点相对O的速度大小：的速度大小：Bvr OsinrvvvB沿绳子方向的分量与沿绳子方向的分量与v相等：相等：.（1）线轴与地面无滑动：线轴与地面无滑动：OvR.（2）联立（联立（1）、（）、（2）得）得:

12、OsinRvvrR.（3）由式（由式（3）可知，情况）可知，情况1出现的条件为：出现的条件为：sinrR情况情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：线轴座顺时针方向转动。同理可得：OsinRvvRr出现情况出现情况2的条件为：的条件为：sinrRABCrROvvO/2Bv例例1.5 续例续例11，求重物上升的加速度。，求重物上升的加速度。hv0ABvv|A| aO以地面为参照系，以地面为参照系，A的加速度的加速度以以O点为参照系，点为参照系，绳子末端绳子末端A作圆周运动，其加作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为230A|sinvah

13、AOAaaaA|O|A|aaa230Bsin0vah 230Bsinvah解：解：例例1.6 续例续例12，求竖直杆运动的加速度。，求竖直杆运动的加速度。PRO以圆心以圆心O为参照系，为参照系，P点作圆周运动，点作圆周运动，其速度大小为：其速度大小为：0cosvv P点相当于地面的加速度：点相当于地面的加速度：向心加速度：向心加速度：203coscosnPavaR 0Ptnaaaaaa2202cosnvvaRR vPv0vnataPa关键：关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速找出各物体间位移间的关系，进而得到速度度、加速度之间的关系。加速度之间的关系。解题方法三：解题方法三：微积分微积分

14、121212( ,)00dxdxfff x xx dtxdt22121222112dvv dvv dxv dxadtvdtxdtxdt22112( ,)vv v x x12120ffvvxx2211212vvavvxxyh xv0例例 1.7 如图， 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度如图， 一人拉着绳子的一端在水平面上以速度0v匀速前进。求当绳子与水平面夹角为匀速前进。求当绳子与水平面夹角为时，重物上时，重物上升的速度升的速度和加速度和加速度。 （1）22yhxhL 00022cosv xdydy dxdyvvvdtdx dtdxxh 解：解：（2）222300022 3/2sin()v h

15、vdvdv dxdvavdtdx dtdxxhh Pv0vP例例1.8 如图示，一半径为如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向的半圆柱体沿水平方向以速度以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为的角位置为 时竖直杆运动的速度和加速度。时竖直杆运动的速度和加速度。yRxOA解：解：22yRx0Pdydy dxdyvvdtdx dtdx 022xvRx0tanv220022 3/2()PPPPR vdvdvdvdxavdtdx dtdxRx 203cosvR 例例1.9 水平直杆水平直杆AB在半径为在半径为R的固定圆圈上以匀速的固定圆圈上以匀速v0竖

16、直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环交点处小环M的速度和加速度。的速度和加速度。OMRv0v0 xy解：解：220sinMMxMyvvvv0Myvv22xRy0Mxdxdx dydxvvdtdy dtdy 022yvRy0cotv0MxMxMxMxdvdvdvdyavdtdydtdy 0MyMydvadt2220022 3/23()cosR vvRyR 第一定律：第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间定性反映了物体的运动与其受力之间的关系，引入惯性参照系的概念。的关系，引入惯性参照系的概念。第二定律：第二定律：定量性反映了物体的运动规

17、律与其受定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系：力之间的关系：第三定律：第三定律：反映了力的来源：力来自物体间的相反映了力的来源：力来自物体间的相互作用。互作用。amF正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。1牛顿运动定律牛顿运动定律2自然界中的力自然界中的力2.1 2.1 万有引力万有引力2rmMFGer mMFr 任何物体之间都存在的相互吸引力：任何物体之间都存在的相互吸引力：112-26.6726 10N mkgG2.2 2.2 重力：重力：使物体产生重力加速

18、度的力。使物体产生重力加速度的力。 重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的惯性离心力，则惯性离心力，则2mMPGmgR2MgGR重力加速度与物体质量无关重力加速度与物体质量无关比萨铁塔落体实验比萨铁塔落体实验 ?逻辑推理逻辑推理fastslow2.3 2.3 弹力：弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力。生的作用力。2.4 2.4 摩擦力：摩擦力：相互接触的物体间产生的一对阻止相相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或相对运动趋势的力。对运动或相对运动趋势的力。滑动摩擦力滑动摩擦力：kfN 摩擦力总是阻止摩擦力

19、总是阻止相对运动。相对运动。Fkx （在弹性范围内）（在弹性范围内）弹簧：弹簧： 摩擦力总是阻止相对运动摩擦力总是阻止相对运动一人被困在冰面上（冰面水平光滑）无法离开。一人被困在冰面上（冰面水平光滑）无法离开。请你替他想一个办法使他能够离开该冰面。请你替他想一个办法使他能够离开该冰面。自行车在粗糙的水平面上起动时，前轮自行车在粗糙的水平面上起动时，前轮和后轮所受的摩擦力方向如何？和后轮所受的摩擦力方向如何？接触面接触面: :沿法线方向沿法线方向N1关于弹力关于弹力1.1 1.1 弹力的大小弹力的大小2121( )NN xk xk xk x 微小形变微小形变 微小振动为简谐振动微小振动为简谐振动

20、1.2 1.2 弹力的方向弹力的方向: :弹力的方向总是与形变方向相反弹力的方向总是与形变方向相反. .杆：杆：较复杂较复杂绳子：绳子：沿绳子方向沿绳子方向TFFnF 1.3 1.3 弹簧的串联与并联弹簧的串联与并联Fk1k2k1k2F12111kkk12kkk2关于摩擦力关于摩擦力2.1 2.1 摩擦力的大小摩擦力的大小 两接触物体相对滑动的条件：两接触物体相对滑动的条件：fs=N无滑动：无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：决定于物体的运动和所受的其他力：=ssfFmafmaF其他其他有滑动：有滑动：kfN摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。2.2 2.2

21、 摩擦力的方向摩擦力的方向Nf无滑动：无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：决定于物体的运动和所受的其他力：sfmaF其他有滑动：有滑动：与与相对运动速度相对运动速度方向相反。方向相反。例例 2.1 如图所示，有一固定的斜面，其倾角如图所示，有一固定的斜面，其倾角 =300，一一质质量为量为 m=0.5kg 的物体的物体置于斜面上，置于斜面上， 它它与斜面之间的摩擦系与斜面之间的摩擦系数为数为 =0.8。起初物体静止在斜面上。现用一起初物体静止在斜面上。现用一与斜面上边与斜面上边缘平行的力缘平行的力 F 作用在物体上作用在物体上，F 从零逐渐增大从零逐渐增大。问：。问：F 为为多大时，物体开

22、始运动，开始运动的方向怎样？多大时，物体开始运动，开始运动的方向怎样？ 解：解：22max(sin )cosFmgfmg222mincossinFmg0maxsintansin0.72246.2mgfFsinmgFf2.40()N例例 2.2 如图所示，有一如图所示，有一质量为质量为 m=20kg 的钢件，架在两根的钢件，架在两根相同的、平行的长直圆柱上。钢件的重心与两柱的轴线在相同的、平行的长直圆柱上。钢件的重心与两柱的轴线在同一水平面内。圆柱的半径为同一水平面内。圆柱的半径为 r=0.025m，钢件与圆柱间的，钢件与圆柱间的动摩擦因数动摩擦因数 =0.20.两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的

23、转两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度动，角速度 =40rad/s。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢。若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件作速度件作速度 v0=0.050m/s 的匀速运动， 推力为多大？设钢件左的匀速运动， 推力为多大？设钢件左右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。 12fmg0vrvffF2220vvr 02220cosvvr02220mgvFvr2.0(N)解：解：2cosFf2.3 2.3 摩擦力的作用时间摩擦力的作用时间fNfNtttt可能有两种情况：可能有两种情况：hvMmV0V0v0=0hvMmV0 例例

24、2.3 一质量为一质量为M的平板沿光滑水平面以速度的平板沿光滑水平面以速度V0运运动。质量为动。质量为m的小球从的小球从h处落下，与平板发生碰撞处落下，与平板发生碰撞后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小与碰撞前速度大小之比为与碰撞前速度大小之比为e，球与平板间的摩擦系，球与平板间的摩擦系数为数为 。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。解：解：(1) 2ffxNNfftN tmvN tm eghtt 情况情况1： tf= tN02yvgh 02yyvevegh tan(1)yxveve0 xMVMVmv tf

25、 = tN的条件：的条件：vx V，即，即2012() (1)MVhgMmehvMmvxvyV(1) 2xvegh00(1) 2xmmVVvVeghMM情况情况2： tf tN0tan(1) 2yxvemghvVM2yvegh tf tN的条件：的条件：2012() (1)MVhgMmehvMmvxvyV0 xMVvVmM0 xxvVMVMVmv3.3.四种基本力四种基本力 宏观世界里除了重力来源于万有引力外，其它的宏观世界里除了重力来源于万有引力外，其它的力几乎都源于电磁力力几乎都源于电磁力 弱力强力电磁力万有引力4. 4. 非惯性参照系的动力学问题非惯性参照系的动力学问题惯性系惯性系:牛顿

26、定律成立的参考系。一切相对于惯性系作牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。匀速直线运动的参考系也是惯性系。非惯性系非惯性系:相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿定律不成立。系内牛顿定律不成立。4.1 4.1 惯性参照系与非惯性参照系惯性参照系与非惯性参照系 4.2 4.2 非惯性参照系中的牛顿第二定律非惯性参照系中的牛顿第二定律 IFFmaI0Fma 其中其中 为惯性力为惯性力 例例 2.4 如图，设所有的接触面都光滑，求物体如图，设所有的接触面都光滑，求物体 m 相相对于斜面对于斜面 M 的加速度和的加速度

27、和斜面斜面 M 相对于地面的加速度相对于地面的加速度。 mM011sincossinMaNmamgNmamgyx gm1Naxy OgM1N2N0a202sincossinsinsin)(mMmgamMgmMa 解解1：0aaa 01010sinsincos) cos(sinMaNmamgNaammg sincos00aaaaayx 01010sin0sincoscossinMaNmamgNmamamg agM1N2N0a0ammgN1xyYX202sincossinsinsin)(mMmgamMgmMa 解解1： 例例2.5 在光滑的水平桌面上有质量为在光滑的水平桌面上有质量为m的小车的小车

28、C，车，车上有质量为上有质量为4m和和m的立方块的立方块A和和B，它们与小车表面，它们与小车表面之间的摩擦系数之间的摩擦系数 =0.5。今用一恒力。今用一恒力F 沿水平方向作沿水平方向作用在滑轮上。求用在滑轮上。求A、B、C的加速度。的加速度。mm4mFABC解：解：AF/2fABF/2fB第一种情况：第一种情况：A、B与小车间均无相对滑动。与小车间均无相对滑动。AB6CFaaamAAA123FfmafFBBB1426FfmafF A、B与小车间无相对滑动的条件：与小车间无相对滑动的条件： AB132242fmgmgFmgfmgmg第二种情况：第二种情况：F 大于大于 3mg/2，使得，使得

29、A 相对于小车滑动，但相对于小车滑动，但 B与小车间无相对滑动。与小车间无相对滑动。 BF/2fBB4224fmgmgFmg A/2122FmgFagmm BC/2151010FmgFaagmm BBB1242105FfmafFmg B 与小车间无相对滑动的条件与小车间无相对滑动的条件 mm4mFABC第三种情况：第三种情况：F 大于大于 24mg，A、B 与小车间均相对滑动。与小车间均相对滑动。 A/2122FmgFagmmB/241482FmgFagmmC452mgmgagmmm4mFABC结论：结论：ABABCABC3()62113,(24)2210102115,(24)22822CFa

30、aaFmgmFFag aagmgFmgmmFFag ag agFmgmmAOa例例 2.6 一小环一小环 A 套在半径为套在半径为 a的竖直大圆环上，的竖直大圆环上，小环与大环之间的摩擦系数为小环与大环之间的摩擦系数为 ，证明：当大环，证明：当大环以匀角速以匀角速 绕它自己水平轴绕它自己水平轴 O 转动时，如果转动时，如果 4/122/1)/11 ()/(ag 则小环与大环之间无相对运动。则小环与大环之间无相对运动。 gmNfaO2cossin0Nmgmafmg解：解：2(cos )sinNm agfmg无滑动条件：无滑动条件：f N2sin(cos )mgmamg1/2sin(cos )ga

31、为使大、小环间始终无滑动，以上不等式对任意为使大、小环间始终无滑动，以上不等式对任意 都要成立。因此都要成立。因此2sin1( )cos1cos()f令令1/21/421()(1)ga ACB12例例 2.7 如图所示，如图所示，A、B、C 为三个质点，为三个质点，A 的质量远远大于的质量远远大于 B、C 的质量，的质量，B 和和 C 的质量相等的质量相等。已知已知 A、B 之间、之间、A、C 之间存之间存在相互吸引力，在相互吸引力， 且且ACkfABkfACAB,， 其中， 其中 k 为比例系数；为比例系数；B、C 之间存在相互排斥力之间存在相互排斥力。三个质点在相互间引力或斥力的作三个质点

32、在相互间引力或斥力的作用下运动用下运动。试问。试问的值在什么范围的值在什么范围，系统系统存在如下形式的运动：存在如下形式的运动： A、B、C 的相对位置固定，的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕它们构成一个平面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速着位于这个平面内的某条轴匀速转动；因为质点转动；因为质点 A 的质量远大于的质量远大于B、C 的质量，可认为该转轴过质的质量，可认为该转轴过质点点 A 且固定不动；连线且固定不动；连线 AB 与转与转轴的夹角轴的夹角1与连线与连线 AC 与转轴的与转轴的夹角夹角2不相等，且不相等，且10/2，202。 12CABACCFfTABADBDfF

33、TACADCD根据牛顿第二定律可得：根据牛顿第二定律可得：两式相除：两式相除：12ACCABCABCDfFfACFBD2122ABCACCfTmBEFfTmCFF 有三角形相似可知：有三角形相似可知：ACfACBDEFABf1CFTT2CF12解：解： ()ABACABffAC依题意：依题意：1122sinsinCCEBABFFFCAC21coscosCDAFACBDAEAB由此可得：由此可得：12121sincos()sincosABABACACACAB221122sincossincosACfACBDEFABf1CFTT2CF12 分析：分析：为实现题中所述运动，要求存在为实现题中所述运动

34、，要求存在2(0,/2)，使得关于使得关于1的方程的方程： 11()fCO22221122sincossincosC除了除了存在存在12的解外，还存在的解外，还存在不等于不等于2的解的解21. . 0 或 2 由此可得由此可得的取值范围为的取值范围为 在在(0,/2)中为非单调函数中为非单调函数. . 2111()sincosf这一条件要求函数这一条件要求函数 mmv0M例例2.8 如图所示，长为如图所示，长为2l的轻绳，两端各系一个质的轻绳，两端各系一个质量为量为m的小球，中央系一个质量为的小球，中央系一个质量为M的小球，三球的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，均静止于光滑

35、的水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一条直线上。今给小球三球在一条直线上。今给小球M以一个冲量，使以一个冲量，使它获得水平速度它获得水平速度v0，v0的方向与绳垂直。求：的方向与绳垂直。求：（1）M刚受冲量时绳上的张力；刚受冲量时绳上的张力；（2）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。解：解：201mvTl（1）以）以M为参照系，为参照系，m绕绕M作以作以速度速度v0作圆周运动。作圆周运动。M刚受冲量时，刚受冲量时，绳子对绳子对M的作用合力为零，的作用合力为零，M为为惯性参照系，因此惯性参照系，因此（2）0222022(2 )1112222MvMm VM

36、vMVmvvvV02MvvMmmmv0MT1T1MmmvvVVV以以M为参照系，为参照系，m绕绕M以速度以速度v 作圆周运动。此时作圆周运动。此时M有加有加速度速度aM，为非惯性参照系。为非惯性参照系。2T2TMa2TMmaMmav2222MMmTMavTmamaml22022(2 )M mvTMm lMmmvvVVV1.1.质点的动量定理质点的动量定理1.1 1.1 牛顿第二定律的普遍形式牛顿第二定律的普遍形式pdpFtdt amF与与dtpdF： amF：适用条件：适用条件：m恒量恒量 dtpdF：普遍成立：普遍成立 1.2 1.2 质点的动量定理质点的动量定理0ppI0000(),ttI

37、F ttFdtpmvpmv 动量定理反映了力对时间的积累效应动量定理反映了力对时间的积累效应 2.2.质点系的动量定理质点系的动量定理0000()(),tiitiiiiiiiiIF ttF dtpmvpmv0Ipp 内力只是使系统内各质点产生动量的交换，内力只是使系统内各质点产生动量的交换，但不改变质点系的总动量但不改变质点系的总动量 3.3.动量守恒定律动量守恒定律0(0)ppI00(0)(0)xxxyyyppIppI 若系统在某一方向所受的合力的冲量为零，则若系统在某一方向所受的合力的冲量为零，则该方向动量守恒该方向动量守恒 1.1.变力的冲量变力的冲量( )FF t 0ttIFdtF t

38、00:limiiiiiiiiiiiititttIF tttIF tIF tS t0ttiti+ titFOS2.2.动量定理、定理守恒定律与参照系动量定理、定理守恒定律与参照系动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动量定理，需计入惯性力在非惯性参照系中使用动量定理，需计入惯性力的冲量；在非惯性参照系中，动量守恒定律的适的冲量；在非惯性参照系中，动量守恒定律的适用条件为外力与惯性力的合力为零。用条件为外力与惯性力的合力为零。3.3.碰撞问题碰撞问题3.1 3.1 碰撞的物理过程碰撞的物理过程 3.2 3.2 一般碰撞一般碰撞 动量

39、守恒：2211202101vmvmvmvm 12102012022120102101)()1 ()()1 (mmvvmevvmmvvmevv220102121222221122022101)()1 (21)2121()2121(vvmmmmevmvmvmvmEk 恢复系数：恢复系数：201012vvvve 1e 121012012221202102112)(2)(mmvmvmmvmmvmvmmv 0kE 特别地：特别地： 1）21mm102201vvvv 2）02021vmm且02101vvv 3）02021vmm且1021012vvvv 3.3 3.3 完全弹性碰撞完全弹性碰撞 0e 212

40、0210121mmvmvmvv 220102121)(21 vvmmmmEk 3.4 3.4 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞例例3.1 一机枪质量为一机枪质量为M，放置于光滑水平面上，内，放置于光滑水平面上，内装有装有n颗质量为颗质量为m的子弹，当它在水平方向射出子的子弹，当它在水平方向射出子弹时，子弹的出口相对速度为弹时，子弹的出口相对速度为u，假定在，假定在 1min内内连续发射了这连续发射了这n颗子弹，试求：颗子弹，试求：（1）发射结束后机枪的后退速度；）发射结束后机枪的后退速度；（2）如果）如果nmm1 ， 问， 问： 对上面的木块必须施加多大的压力对上面的木块必须施加多大的压力，以便在

41、以便在突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使下面的木块提离地面？下面的木块提离地面？ m2m1Fm2m1x1x2Fx011Fm gkx （1） 解：解：22m gkx （2） m2刚好能被提起的条件：刚好能被提起的条件：根据（根据（1）（）（3）可得）可得 12()Fmm g 机械能守恒：机械能守恒：221112121122kxm gxkxm gx （3） 例例 4.5 如图所示，如图所示，有一劲度系数有一劲度系数 k=18.0N/m 的的弹簧弹簧，其，其一一端固定，另一端连着端固定，另一端连着一质量一质量 m=0.5kg 的物体的物体，该物体该物体置于置于水

42、平面水平面上，物体与上，物体与水平面水平面之间的摩擦系数为之间的摩擦系数为 =0.1。起初起初弹簧无形变，物体保持静止。今用一大小为弹簧无形变，物体保持静止。今用一大小为 12.0N，方向，方向水平向右的恒力水平向右的恒力 F 作用在物体上。问作用在物体上。问 （1）物体最终停止在什么位置？）物体最终停止在什么位置？ （2）物体从开始运动物体从开始运动到最终停止所经历的路程是多少？到最终停止所经历的路程是多少？ （3）物体从开始运动到最终停止所经历的时间是多少？）物体从开始运动到最终停止所经历的时间是多少？ Fmk2211()()22nnnnFmgxxkxkx2()nnFmgxxk 14nnm

43、gxxk10 x 解：解：2(21)nFnmgxk nxmknx1nxO（1）考察物体第）考察物体第n次来回运动：次来回运动：1nnnxxx221111()()22nnnnFmgxxkxkx12()nnFmgxxk 4(1)nnmgxknkxFmg 物体停止在位置物体停止在位置x n的条件：的条件：1(1)6.254Fnmgmax7n物体最终停止的位置为：物体最终停止的位置为：72(13)0.61(m)Fmgxk nxmknx1nxO（2）根据功能原理：）根据功能原理：27712Fxmgskx277/27.94(m)Fxkxsmg（3）物体来回一次的时间：）物体来回一次的时间：11366.81

44、(s)26tTT 2(s)3mTk因此可得物体从开始运动到最终停止所经历的时间：因此可得物体从开始运动到最终停止所经历的时间：nxmknx1nxO例例 4.6 图示为一利用图示为一利用传输带输送货物的装传输带输送货物的装置置. 物块（视为质点）物块（视为质点）自平台经斜面滑到一自平台经斜面滑到一以恒定速度以恒定速度 V 运动的运动的水平长传输带上，再水平长传输带上，再由传输带输送到远处由传输带输送到远处目的地目的地. 已知斜面高已知斜面高 h=2.0m， 水平边长， 水平边长 L=4.0m， 传输带宽， 传输带宽 d =2.0m，传输带的运动速度传输带的运动速度 V=3.0m/s，物块与斜面间

45、的摩擦系数，物块与斜面间的摩擦系数 1=0.30，物块自斜面顶端下滑的初速度为零，沿斜面下滑的速度方向与传输物块自斜面顶端下滑的初速度为零，沿斜面下滑的速度方向与传输带运动方向垂直带运动方向垂直. 设物块通过斜面与传输带交界处时设物块通过斜面与传输带交界处时无动能损失无动能损失. 重力加速度重力加速度 g=10m/s2. hdVL（1）为使物块滑到传输带上后为使物块滑到传输带上后不会不会从传输带边缘脱从传输带边缘脱离离，物块与传输带之间的摩擦系数，物块与传输带之间的摩擦系数 2至少为多少？至少为多少？ （2） 当货物的平均流量 （单位时间里输送的货物质量）当货物的平均流量 （单位时间里输送的货

46、物质量）稳定在稳定在 =40kg/s 时，时，求单位时间里求单位时间里物块物块对对传送带传送带所做所做的功以及传送带对物块所做的功。的功以及传送带对物块所做的功。 hdVL（1）11sincos(sincos )mgmgagm物块滑到斜面底端的速度：物块滑到斜面底端的速度： 012/sin2(1cot )4.0m/sahghvha0v解：解：物块在斜面上滑动的加速度物块在斜面上滑动的加速度：以传输带为参照系以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小，物块滑到传输带的初速度大小:运动方向与传输带边缘的夹角运动方向与传输带边缘的夹角 满足：满足： 22005.0m/sV vv4tan3物块在传输

47、带上作减速运动，加速度大小：物块在传输带上作减速运动，加速度大小： 22mgagm 0vV0vd当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离：当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离：2200222sag vv物块不超过传输带宽的物块不超过传输带宽的边缘边缘对应的最小摩擦系数对应的最小摩擦系数 2 应满足应满足:202sinsin2sdgv202sin0.52gdv物块对传输带的摩擦力大小物块对传输带的摩擦力大小: 0vV0vd0022mgg vv单位时间内单位时间内物块物块对传输带所做的功对传输带所做的功:20cos()cos360(J/s)WFVVV v（2）传输带传输带上与传送带间存

48、在相对滑动的货物质量上与传送带间存在相对滑动的货物质量:20Fm gv单位时间内传输带对物块所做的功单位时间内传输带对物块所做的功:22011140(J/s)22WVv 22011()500(W)22WWVv 222000111()500(W)222WWFvFvvVv 或或以地面为参照系，以地面为参照系，单位时间内单位时间内摩擦力摩擦力对传输带对传输带和物块和物块所做的功所做的功分别为分别为:2cos()WFVV 2220011()22WvVv 0vV0vd2201122WVv 以传送带为参照系，以传送带为参照系，单位时间内单位时间内摩擦力摩擦力对传输带对传输带和物块和物块所做的功所做的功分别

49、为分别为:0W 2201()2WWVv 2201()2WWVv 力做功一般与参照系（即使是惯性力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关。参照系无关。由下式决定的位置矢量由下式决定的位置矢量Cr位置坐标 （位置坐标 （xC, yC） 所对应所对应的点的点 C，称为质点系的质心：，称为质点系的质心： yxCCrOMrmriiCiiCiiCxdmm xxMMydmm yyMM1. 1. 质心质心 2 2质心运动定理质心运动定理 CaMF 系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质

50、量成反比，加速度的方向沿成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。合外力的方向。 内力不影响系统质心的运动。内力不影响系统质心的运动。 1.1.柯尼希定理柯尼希定理质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为能之和。此结论称为柯尼希定理柯尼希定理。 222111222kiiciiiiEmvMvmv特别地：特别地：两质点构成的质点系统的总动能为两质点构成的质点系统的总动能为221122kcrEMvv1212()m mmm推论：推论：质心参照系中两质点构成的质点系统的总质心参照系中两质点构成的质点系统的总动能为动能为21

51、2krEv 在讨论孤立质点系的运动时，采用质心系是方在讨论孤立质点系的运动时，采用质心系是方便的。在质心系里，体系的动量恒为零，且孤立便的。在质心系里，体系的动量恒为零，且孤立体系的质心系是惯性系，功能定理和机械能守恒体系的质心系是惯性系，功能定理和机械能守恒定律都能适用。定律都能适用。2.2.质心参照系质心参照系取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系或质心系。或质心系。 即使讨论非孤立体系的运动，采用质心系也是即使讨论非孤立体系的运动，采用质心系也是方便的，方便的，可以证明，当质心系为非惯性参考系时，可以证明，当质心系为非惯性参考系时，功能定理和

52、机械能守恒定律也仍然正确。功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。（这是（这是因为在质心参照系中，作用在各质点上的惯性力因为在质心参照系中，作用在各质点上的惯性力所做的总功为零。）所做的总功为零。） 例例5.1 如图，求当人从小车的一端走到另一端时，如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。小车相对与地面移动的距离。l mMxylsy x由由21CCxx得：得： Mmmls 解：解：1/2CmlMlxmM2(/2)CmsM slxmM例例 5.2 如图所示，半径为如图所示，半径为 R、质量为、质量为 M、表面光滑、表面光滑的半球放在光滑的水平面上，在其的半球放在光滑的水平面上

53、，在其顶部顶部有有一质量为一质量为m 的小滑块的小滑块，从静止开始沿球面，从静止开始沿球面下滑下滑。试求：。试求：小滑小滑块块脱离球脱离球面之前的轨迹面之前的轨迹。 MmRO由由21CCxx得：得： msxM MmOOyxyxsR 根据根据222()sxyR可得可得 22221()xyMRRmM 00Cx解：解：()CmxMsxmM例例 5.3 如图，长为如图，长为 2L，质量可忽略的杆，质量可忽略的杆的的两端两端固定有两质量均为固定有两质量均为 m 的小球的小球 A、B。开。开始时始时系统系统竖直放在光滑的水平桌面上。系统竖直放在光滑的水平桌面上。系统受外界微扰而在竖直面内倒下。求当细棒与受

54、外界微扰而在竖直面内倒下。求当细棒与水平面夹角为水平面夹角为 时，时，A、B 两球的速度。两球的速度。 mmLLABCmBLLmmCvBvCvvvCA解：解：221122(2 )2 sin22CmgLmvm vmgLBCvvv222(1 sin )1 cos2(1 sin )cos1 cosCglvglv cosCvvAACvvv sin(cos )Cvivvj22(1 sin ) (sin2cos)1 cosglij22(1 sin )sinsin1 cosBglvvi 例例5.4 一轮船质量为一轮船质量为 M，以速度，以速度 V0行驶，船上一人行驶，船上一人以相对轮船的速度以相对轮船的速度

55、v 向前投掷一质量向前投掷一质量m的球。问需的球。问需做功多少（图做功多少（图a）？若向后投掷情况又如何（图）？若向后投掷情况又如何（图b）？）？(a)(b)V0V0 vv解解1：向前抛：向前抛：0()Mm VMVmvvVv00,mMVVv vVvVvMmMm222201111()2222MmAMVmvMm VvMm向后抛：向后抛：0()Mm VMVmvvVv00,mMVVv vVvVvMmMm222201111()2222MmAMVmvMm VvMm 成对相互作用例所做的总功与参照系无关。成对相互作用例所做的总功与参照系无关。解解2：不管向前或先后抛：不管向前或先后抛：222111()()2

56、22CCMmAvMm VMm VMm212MmvMm解解3：以质心为参照系：以质心为参照系：2211022MmMmAvvMmMm212MmAAvMm力力F对参考点对参考点 O 的力矩定义为：的力矩定义为： MrFsinMFrFdrF大小：方向： 沿方向1 1力矩力矩 dOMFPr质点对参考点质点对参考点O的角动量定义为：的角动量定义为：Lrprmv:sin:Lrppdmvdrp大小方向 沿方向2 2质点的角动量质点的角动量mdOLvr3 3质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律0000()ttM ttLLMdtLLLdLMtdt若若0M 0LL质点的角动量守恒质点的角

57、动量守恒 角动量守恒，动量未必守恒角动量守恒，动量未必守恒 4 4质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量定理和角动量守恒定律0000()ttM ttLLMdtLLLdLMtdt若若0M 0LL质点系的角动量守恒质点系的角动量守恒 内力不改变系统的总角动量内力不改变系统的总角动量例例 6.1 如图，质量为如图，质量为 m 的小球，拴于不可伸长的的小球，拴于不可伸长的轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其轻绳上，在光滑水平桌面上作匀速圆周运动，其半径为半径为 R，角速度为，角速度为 ，绳的另一端通过光滑的竖，绳的另一端通过光滑的竖直管用手拉住，如把绳向下拉直管用手拉住，如把绳向下拉

58、R/2 时角速度时角速度为为多少？多少？ FmR解：解： 2mRmvRL4122mRRmvL LL4FmR例例6.2 如图所示，质量为如图所示，质量为 m的小球的小球 B放在光滑的水平放在光滑的水平槽内，现以一长为槽内，现以一长为 l的细绳连接另一质量为的细绳连接另一质量为m的小球的小球A，开始时细绳处于松弛状态，开始时细绳处于松弛状态, A与与B相距为相距为l/2。球。球A以初速度以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当在光滑的水平地面上向右运动。当A运运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运球开始运动时速度动时速度vB的大小。的大小。l/2lBAA

59、300vAyvAxvBvA解：解：0BAxmvmvmv000/2sin30cos30AxAymv lmv lmv l000cos30cos30sin30BAxAyvvmv037Bvv例例 6.3 如图，质量可忽如图，质量可忽略不计的刚性细杆可绕略不计的刚性细杆可绕通过其中点通过其中点 O 的光滑水的光滑水平轴在竖直面内自由转平轴在竖直面内自由转动。两质量分别为动。两质量分别为 2m和和 m 的小球的小球 1 和和 2（可（可视为质点） 串在细杆上，视为质点） 串在细杆上，它们与细杆之间的静摩它们与细杆之间的静摩擦系数为擦系数为5 3/6。开始时细杆静止在水平位置，小球。开始时细杆静止在水平位置

60、，小球 1 和和 2分别位于紧靠细杆两端点分别位于紧靠细杆两端点 A 和和 B 的位置。系统自水平位置以零初的位置。系统自水平位置以零初速下摆。问小球速下摆。问小球 1 和和 2 分别在什么位置脱离细杆？（分别求出小分别在什么位置脱离细杆？（分别求出小球球 1 和和 2 脱离细杆时细杆与水平线的夹角） 。脱离细杆时细杆与水平线的夹角） 。 m2mlAOlBBA12m2mlAOlBBA12机械能守恒机械能守恒: 221212110sin2sin(2 )22mglmglmmlvvvv2 sin3gl角动量定理：角动量定理： 212222coscos2333LmglmgltmmlmLmmtt L =