高一数学下学期知识点复习+经典例题解析

1、知识点知识点梳理（一）正弦定理：a=b=J=2R（其中R表示三角形的外接圆半径）sinAsinBsinC适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。sin C =c2R变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCsinA=-a-,sinB=,2R2Ra b csin A sin B sin C=2Ra:b:c=sinA:sinB:sinC(二)余弦定理：b2 = a2 c2 -2accosB22 b2（求边）'8sB=个（求角）适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。一11.（三）三角形的面积：

2、S=2aha=；S=万bcsinA=；9/abcS=2RsinAsinBsinC;®S=;4RS=Jp（pa）（pb）（pc）;S=pr（其中p=2土2上，r为内切圆半径）25, a+bc包（四）三角形内切圆的半径：r=2sA，特别地,直=abc2（五）ABC寸影定理：b=acosC+ccosA,（六）三角边角关系:(1)在&ABC中，A+B+C=n；sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosCAB.C.ABCcos=sin-;sin=cos2222(2)边关系：a+b>c,b+c>a,c+a>b,ab<c,bc<a,ca>b;

3、(3)大边对大角：abAB考点剖析（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用a csin 2C sin C例1、在4ABC中，已知A>B>C,且A=2C,b=4,a+c=8,求a、c的长.例1、解：由正弦定理，得一一=A=2CsinAsinC8-.a=2ccosC又a+c=8cocC=2c由余弦定理，得c2=a2b2-2abcosC=4c2cos2C16-16cos2C入，得16c-5I5或124a"c=4人(舍)a=424-5，16-55例2、如图所示，在等边三角形中,AB=a,O为三角形的中心,于M,交AC于N,求2OM2ON2的最大值和最小值.例2、【解】由于。为正三角

4、形ABC的中心,.AO,3/MAO=/NAO=-,设/MOA=o(,WJ工工口63在AOM中，由正弦定理得:OM2二<一3'OA过O的直线交ABA3OM,3a6nsin(二一)6sinMAOsin.-(：-)6,在AAON中，由正弦定理得：ON=Tt，sin(:)6OM2<a3ON2<213，122二2二1212sin(a十一)+sin(a-)=-(+sina),a2时一取得最大值OMON3<sina<1故当a=42182aJT-,or33时sin2a=9,此时4OM变式1、在AABC中，角A、B、C对边分别为a,b,c,已知b2(1)求/A的大小；bsi

5、nB/人(2)求的值a=ac,且a2-c2=ac-bc,c变式1、解(1)丁b2=ac,a2在ABC中，由余弦定理得-c2=ac-bcb2c2-a2=bccosA,222bc-abc12bc2bc2(2)在ABC中,由正弦定理得.-bsin600sinB=20b=ac,-A=60bsinBb2sin600=sin600ca变式2、在AaBC中,AB为锐角,BC所对的边分别为a、b、c,且,sinB二名(I)求a+b的值;10_(II)若ab=J21,求a、b、c的值。变式2、解(I)AB为锐角,sinA=,sinB=业0510Z；2"T2：#5-"-2-310cosA=1-

6、sinA=,cosB=1-sinB=5102.535c万10.2cos(A B) = cos Acos B -sinAsinB二一二51051020<A+B<nA+B=4(II)由(I)知C=竺，.sinC=42,abc由=4寸/5a=j10b=*y2c,即a=V2b,c=V5bsinAsinBsinC又:ab=721.V2b-b=/2-1.b=1a=2c=55（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例3、如图，半圆。的直径为2,A为直径延长线上的一点，OA=2,B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC。问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？例3、解：设N

7、AOB=a,在AOB中，由余弦定理得:AB2=oAOB2OAcGOBAOB.22=12212cos：=5-4cos:于是，四边形GACB的面积为S=S>aagb+SaABC二GAOBsin：AB224c,. 2 A B .7,- 一4sin -cos2C =，a+b =5,c = V7 22(1)求角C的大小；(2)求AABC的面积.例4、解：(1)由4sin2'A-Bcos2c=7,得4cos2Ccos2C”22224coC4cosC+1=0解得cosC-0°<C<180°,.C=60°C=602由余弦定理得c2=a2+b22abcos

8、C即7=a2+b2ab又a+b=5.a2+b2+2ab=25由得ab=6Skabc1absinC=母T2/7M变式3、已知向量m=(a+c,b),n=(a-c,b-a),且mn=0,其中A,B,C是4ABC的内角,a,b,c分别是角A,B,C的对边.(1)求角C的大小；(2)求sinA+sinB的取值范围.222变式3、斛：(1)由mn=0得(a+c)(ac)+b(ba)=0=a+b-c=ab2,22由余弦定理得cosC=ab一。=12ab2ab23T<0<C.C=32二(2).C=.A+B=332二一一2二一2二一sinAsinB=sinAsin(-A)=sinAsincosA-

9、cossinA3333.3J31=sinAcosA=3(sinAcosA)2222=、3sin(A)6c 八 2二: 0 :二 A :二3jiji 一 - A 一:二：. 3sin(A -)三.3C所对的边分别为a,b,c, b=acosC且4ABC的最大1-o3,1二sin(A*)*1即3:sinAsinB-.3.2(三)考查三角形形状的判断例5、在AABC中，角A,B,边长为12,最小角的正弦值为(1)判断AABC的形状；(2)求AABC的面积。例5、解：(1);b=acosC,由正弦定理，得sinB=sinAcosC(#)B=二-(AC),'sinB=sin(A+C),从而(#)

10、式变为sin(A+C)=sinAcosC,cosAsinC=0又A,CW(0,n)，cosA=0,A=-,AAABC是直角三角2形。(2);AABC的最大边长为12,由(1)知斜边a=12,又丁AABC最，一一、，一1一.1一,一小角的正弦值为,RtABC的最短直角边为12m=4,另一条直角33边为8.21S>AABC=48,2=16、22变式4、在ABC中，若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)(1说断ABC的形状；(2心上述ABC中，若角C的对边c=1,求该三角形内切圆半径的取值范围。变式4、解：(1)由sinA+sinB=sinC(cosA+cosB)C可得2sin2

11、C=1，coC=0即C=902二AABC是以C为直角顶点得直角三角形1(2)内切圆半径rab-c21 .一,二一sinAsiib-12、2.八二1.2-1=sinA一一一2 4222_1二内切圆半径的取值范围是0,三<2J2例7、在ABC中，已知2a=b+c,sinAusinBsinC,试判断ABC勺形状。所以a=b=c,ABCJ等边三角形。变式8、在4ABC中，8碧=限，(a,b,c分别为角A,B,C的对边)，则AABC22C的形状为A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形.b2=a,.a2+c2b2=2a2,即a2+b2=c2,2acc.ABC为直角三角

12、形.答案：B变式9、AABC中，若sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状。变式9、解：等腰直角三角形；数列知识点一：通项化与前n项和S的关系I11-任意数列qj的前n项和'二曲+的+%；_卜("D注意：由前n项和&求数列通项时，要分三步进行：(1)求用二S,(2)求出当n>2时的”,(3)如果令n>2时得出的/中的n=1时有为二年成立，则最后的通项公式可以统写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.知识点二：常见的由递推关系求数列通项的方法1 .迭加累加法：若®一为=/5)，(总之2)，则的一%=/(2

13、)，与一的=/0),，为一诙_1=/除公/2)+3)+/2 .迭乘累乘法：则”二晨2),空二式3),，&=g(Qaa2%=>%=初咐虱府)知识点三：数列应用问题1 .数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2 .建立数学模型的一般方法步骤.认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，

14、将数量关系用数学式子表达将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系、方程、不等式)规律方法指导1 .由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想；2 .数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.3 .加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意：(1)通过知识间的相互转化，更好地掌握数学中的转化思想；(2)通过解数列与其他知识的综合问题，培养分析问题和解决问题的综合能力经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1.在数列4） 总结升华：.中,1 .在数列

15、中，杀二甲洞，若/防为常数，则数列也是等差数列；若/何不是一个常数，而是关于界的式子，则数列jaj不是等差数列.2 .当数列的递推公式是形如&U二4后的解析式，而/。）+/（2）+一人刈的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得勺.举一反三：【变式i】已知数列2,%叫+免+2,求叫.【变式2】数列%中。=1,=2*，求通项公式外.类型二：迭乘法求数列通项公式2.设同）是首项为i的正项数列，且（附+1）$-做；+%/=0,=1,2,3-一），求它的通项公式。卜总结升华：1 .在数列aJ中，%二/（亦如,若/附为常数且4hQ,则数列/）是等比数列；若了不是一个常数，而是关于用的式子，则数列aj

16、不是等比数列.2 .若数列有形如4的解析关系，而*"/的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得仆.举一反三：【变式1在数列也）中，01n,.二-（舒之2）,求勺.2 M+1%n【变式2】已知数列E）中，陌2.,二二7二加打,求通项公式.类型三：倒数法求通项公式3 .数列中，的二3万一外产5%应），求为.总结升华：1 .两边同时除以可使等式左边出现关于和4川的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列nJ的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列-,而二'恰乐是等差数列.其通项易求，先求/-的通项，再求的通项.2 .若数列有形如=0的关系，则可在等式两边同乘以2«【变式1】

17、数列&）中，的=1,求勺.【变式2】数列（&中,四T|区-4*1=2%电砥泊求勺类型四：待定系数法求通项公式4.已知数列中，1=1,总结升华:i.一般地，对已知数列aJ的项满足限口=为常数，cmQJ)则可设+i+£=c(&+°得&+1=四，利用已知得媒-£=1即£=-，从而将1数列aJ转化为求等比数列%-力的通项.第二种方法利用了递推关系式作差，构造新的等比数歹i.这两种方法均是常用的方法.2.若数列有形如白q=2+3(八b为常数)的线性递推关系，则可用待定系K+lA1已知数列®中。产"/ =/+4 ,

18、求可%已知数列-缶满足氏j- ，而且二1 ,求这个数列的通项公数法求得。卜举一反三：【变式1】【变式2】类型五：S和的递推关系的应用5.已知数列&)中，可是它的前n项和，并且Smi=4%+2(4=1,2,3j-'),保1=1.(i)设42%H=L2，-),求证：数列QJ是等比数列；(2)设q二才伪=1,2,3,)，求证：数列是等差数列；_MlL(3)求数列dj的通项公式及前n项和.总结升华：该题是着眼于数列间的相互关系的问题，解题时，要注意利用题设的已知条件，通过合理转换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列，求得问题的解决利用等差(比)数列的概念，将已知关系式进行变形，变形

19、成能做出判断的等差或等比数列，这是数列问题中的常见策略.举一反三：【变式1】设数列%首项为1,前n项和£满足1-/:.-.II.:.(1)求证：数列%是等比数列；(2)设数列4)的公比为顼,作数列囱，使4=1,4二*3)("2,34)求你的通项公式.I.【变式2】若/=2,送5之2),求可.【变式3】等差数列(4)中，前n项和£=(至卢，若4=2*4M.求数列QJ的前n项和工.类型六：数列的应用题10m,在第一面小旗处有某人把 要使他走的路最短，应集中到哪n项和公式，在求和后，利用二6.在一直线上共插13面小旗，相邻两面间距离为小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次

20、只能拿一面小旗,一面小旗的位置上？最短路程是多少？总结升华：本题属等差数列应用问题，应用等差数列前次函数求最短路程.举一反三：【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2007年年度产值的月平均增长率为（）【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币，年利率为艮17%,到2007年i月31日取款时被银行扣除利息税（税率为20%）共计166区元，则该人存款的本金为（）一.A.1.5万元B.2万元C.3万元D.2.5万元【变式3】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的|万个月内累积的需求量号（万件）近似地满足S.而仅以-7-5）卜=122）.按比例预测

21、,在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.9月、10月【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合1t9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米，计划从2007年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.（1）分别求2007年底和2008年底的住房面积；（2）求2026年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.

22、01）局考题萃1 .设数列【%）的前n项和为X=24-2”.（I）求1*4；（n）证明：I川J是等比数列；（出）求（。J的通项公式.2 .设数列的前月项和为川.已知a”，=s.+y出en*（D设b北=£/甘,求数列（4的通项公式；（n）若&*1'%,用wM,求a的取值范围.元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函数y=ax2+bx+c的图象、一元二次方程ax2+bx+c=。的根与一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集的关系，可归纳为：判别式b2-4acA>0A=0M0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象aL

23、*1=417Xyr一兀一次方程ax2+bx+c=0(aw0)的根有两相异实根x=x=x2二Xi或有两相同实根x=X1无实根九二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)x|x<x1或x>x2x|xwxiRax2+bx+c<0(a>0)x|Xi<x<X2?若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解.1 .不等式x(12x)>0的解集是()A.1；.B.0,2；C.(-汽0)U+8；D.&+8；答案：B2 .不等式9x2+6x+1<0的解集是()11：1：111:Axxw3B.：3，Cx3<x<31D

24、.R答案：B3,若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A.(-1,1)B.(2,2)C.(弋一2)U(2,+fD.(-,-1)U(1,+8)解析：选C由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式A>0,即m24>0,解得m<2或m>2.4.已知集合A=x6R|x+2|<3,集合B=x6R|(xm)(x2)<0,且AnB=(1,n),则m=,n=.解析：因为|x+2|<3,即一5<x<1,所以A=(5,1),又APB*?,所以m<1,B=(m,2),由ACB=(1,n)得m=1,n=1.答案：

25、1115.不等式x1<1的解集为.解析：由1得10,即x2>0,解得x<1,或x>2.x1x1x1答案：xx<1,或x>2解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数.(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况.(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号.(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同.一元二次不等式的解法典题导入例1解下列不等式：(1)0Vx2x2<4；(2)x24ax5a2>

26、;0(aw0).自主解答(1)原不等式等价于xx2>0,xx2>0,x2一x_2<4x2一x_6<0,x2p+1广0,x>2或x<1,3p+2/0-2<x<3.借助于数轴，如图所示，-2-10原不等式的解集为x|2<x<1,或2Vx<3.由x24ax5a2>0知(x5a)(x+a)>0.由于aw0故分a>0与a<0讨论.当a<0时，x<5a或x>a；当a>0时，x<a或x>5a.综上，a<0时，解集为xx<5a，或x>a；a>0时，解集为x|x&

27、gt;5a,或x<一a.2由题悟法i.解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0,即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0);(2)计算相应的判别式；(3)当A>0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏.3以题试法1.解下列不等式：(1)_3x2-2x+8>0；(2)ax2-(a+1)x+1<0(a>0).混：(1)原

28、不等式可化为3x2+2x8<0,即(3x-4)(x+2)<0.解得2<x<4,3所以原不等式的解集为仅-2<x<3>(2)原不等式变为(ax1)(x1)<0,因为a>0,所以卜；卜一1)<0.所以当a>1时，解为"<x<1；a当a=1时，解集为？；1当0<a<1时，解为1<x<a.f综上，当0<a<1时，不等式的解集为、当a=1时，不等式的解集为?:,当a>1时，不等式的解集为加；<x<1一元二次不等式恒成立问题典题导入例2已知f(x)=x2-2ax+2

29、(aR),当x61,)时，f(x)>a恒成立，求a的取值范围.自主解答法一：f(x)=(x-a)2+2a2,此二次函数图象的对称轴为x=a.当a6(8,-1)时，f(x)在-1,+8)上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)>a恒成立，只需f(x)min>a,即2a+3>a,解得一3<a<1；当a61,+°°)时，f(x)min=f(a)=2a2,由2a2>a,解得1<a<1.综上所述，a的取值范围为3,1.法二：令g(x)=x22ax+2a,由已知，得x2-2ax+2-a>0在1,十

30、6;0)上恒成立，即产0,A=4a24(2a)<0或：a<1,解得3<a<1.g(T)>0.所求a的取值范围是3,1.一题多变本题中的“x-1,+8)改为“x-1,1)",求a的取值范围.解：令g(x)=x2-2ax+2a,由已知，得x22ax+2a>0在1,1)上恒成立，即A=4a20,p>0,4(2a)<0或：a<1,或彳a>1,解得3<a<1,J(-1广01g(1广0.所求a的取值范围是3,1.由题悟法1 .对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是

31、相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.2 .一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax2+bx+c>0(aw0)(x6R)恒成立的充要条件是：a>0且b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0(aw0)(x6R)恒成立的充要条件是：a<0且b2-4ac<0.以题试法2,若关于x的不等式x2-ax-a>0的解集为(°°,+°°),则实数a的取值范围是;若关于x的不等式x2-ax-a<-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是.解析：由A1<0,即a24(a)<0,得一4<a<0

32、；由4>0,即a2-4(3-a)>0,得a<6或a>2.答案：(一4,0)(一汽6U2,+8)一元二次不等式的应用典题导入例3某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),8售出商品数量就增加5x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.自主解答(1)由题意得丫=10。110<100ij+50x；因为售价不能低于成本价，所以100110'180>0.所以y=f(x)=2

33、0(10-x)(50+8x),定义域为0,2.(2)由题意得20(10x)(50+8x)R10260,化简得8x2-30x+13<0.解得1<x<143.所以x的取值范围是22.由题悟法解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题.以题试法3.某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按1

34、7小时计算).假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为X32"x比.若能够保证选择A比选择B费用少，则“35x1.5x(0<x<17),20整理得x2-5x<0,解得0<x<5,所以当一次上网时间在5小时内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少.基本不等式【2016年高考会这样考】1 .考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题.2 .考查应用基本不等式解决实际问题.【复习指导】1 .突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训

35、练.2 .训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养.基础梳理a+b1 .基本不等式：强&-2-（1）基本不等式成立的条件：a>0、b>0.（2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.2 .几个重要的不等式（1）a4.利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0,则（1）如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时、x+y有最小值是2dp.（简记：积 定和最小）如果和x+y是定值p,那么当且仅当xy时，xy有最大值是方.（简记：和定 积最大）一个技巧运用公式解题时既芦掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2>2ab 逆用就是aba 2b

36、 ；，b>«b（a, b>0）逆用就是ab<b>0）等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.门2bj2ab（a, bC R,当且仅当a=b时取等号）;/a2+ b2 a + br22->7彳口>0，b>。，当且仅当a=b时取等号）. a+b+b2>2ab（a,bCR）；baa + b 2Q-j(a, bCR)；,bCR).十2（a，b同方）；(3)ab<a2b一3 .算术平均数与几何平均数a+b设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为强,基本不等式两个变形 a2+b2 (1)-2可叙述为两个正

37、数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.这两个不等式链用处很大，注意掌握它们.三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.考向一利用基本不等式求最值【例1】？(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则1+1的最小值为;Xy2x(2)当x>0时，则f(x)=X'的取大值为''&#

38、39;'X十111,审题视点第(1)问把+中的1”代换为2x+y,展开后利用基本不等式；Xy.第(2)问把函数式中分子分母同除X”，再利用基本不等式.解析(1)：x>0,y>0,且2x+y=1,.11_2x+y2x+yx+y=x+y=3+y+2x>3+2V2.xy当且仅当丫=a时，取等号.xy”>0,-2x2，.f(x)=?n&2=1，当且仅当x=1,即x=1时取等号.x答案(1)3+2,2(2)1方法总结“利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.常用的方法为：拆、凑、代换、平方.1一一，一【训练11(1)已知x&

39、gt;1,则f(x)=x+xn的最小值为.(2)已知0<x<2,则y=2x-5x2的最大值为.(3)若x,yC(0,+oo)且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为.解析(1)：x>1,；f(x)=(x1)+7+1>2+1=3当且仅当x=2时取等号.x1-21、(2)y=2x5x2=x(2-5x)=55x(25x),c20<x<,5x<2,25x>0,5x(2 5x) <5x+2 5x 2=1,1.yw当且仅当5x=2-5x,即X=时，ymax=7.55由2x+8yxy=0,得2x+8y=xy,.2.8一十一二1,yxx+y=(x+y)8

40、+2；=10+8y+2x"y+x i> 10 + 2X2X给18,xyxy=10+2当且仅当？=x,即x=2y时取等号，又2x+8yxy=0,.x=12,y=6,当x=12,y=6时，x+y取最小值18.答案(1)3(2)5(3)18考向二利用基本不等式证明不等式【例2？已知a>°,b>0,O0,求tE：*a+b+c.审题视点先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到.证明a>0,b>0,c>0,.bc ca>2 a b区十町2a cbc ca 八武一；bc ab =2b;a cca+詈 2ca ab 八 丁 T=2a.以上三

41、式相加得：2+ca+abi>2(a+b+c)即跑+ca+他>a+b+c.abc方法总结利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题.b>0, c>0,且 a+b+c=1.【训练2】已知a>0求证：1+b+1>9.ac证明a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,111a+b+ca+b+ca+b+c.a+b+c=+b c a c a= 3+a+a+b+b+a +bccbb+c>3+2+2+2=9,1当且仅当a=b=c=1

42、时，取等号.3考向三利用基本不等式解决包成立问题x【例3】？若对任意x>0,/+3X+1&a包成立，则a的取值范围是xx审题视点先求x2+3x+1（x>0）的最大值，要使得W+3X+1<a（x>0）恒成立,只要2二一】（x>0）的最大值小于等于a即可.x十3x十1解析若对任意x>0,Zjwa恒成立，只需求得v=2,：丫工的最大值即x十3x十1x十3x十1111一,一可，因为x> 0,所以y=x 3x 11<8=1，当且仅当x=1时取1-15x+x+32Wx71方法总结等号，所以a的取值范围是J5当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出

43、时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.【训练3】已知x>0y>0,xy=x+2y,若xy>m2恒成立，则实数m的最大值是解析由x>0, y>0： 得 m-2<8, m<10, 答案 10xy=x+2y>2。药，得xy>8,于是由m20xy恒成立,故m的最大值为10.考向三利用基本不等式解实际问题【例3】？某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的