三角形中的四心与向量

1、三角形中的四“心”与向量平面几何中的三角形四“心”，即三角形的内心（内角平分线的交点，内切圆的 圆心）、重心（中线的交点）、垂心（高线的交点）、外心（各边垂直平分线的交 点，三角形外接圆的圆心）。在引入向量这个工具后，我们可以通过向量来表示 三角形的四“心”，这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清 楚的认识。、重心:uuur uuur uuur r例1、已知。是VABC所在平面上白一点，若 OA OB OC 0,则。是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心uur uuir uuur r uuur uuiruuuruuur uuur【解析】若OA OB OC 0 ,则OA OB

2、= OC ,以OA,OB为邻边作平行uuir uuur uuur,四边形OAC B，设OC与AB交于点D ,则D为AB中点，有OA OB=OC ,uuir uuur得OC=OC，即C,O,D,C四点共线，故CD为VABC的中线，同理AE,BF亦为VABC的中线，所以O是VABC的重心例2、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点，动点 P满足uuur uuruuur uuurOP OA(AB AC),（0,）,则动点P的轨迹一定通过VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心uuur【解析】上式可化为APuuur uuuruuur uuur(AB AC),当 (0,)时，由于(AB

3、AC)表示BC边上的中线所在直线的方向向量，故动点P的轨迹一定通过VABC的重J。、Ouuu 2例3、在VABC内，存在一点P ,使PAuuir 2PBuuur 2PC 最小，贝U点P是VABCA.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】利用解析法 设A,B,C三点坐标分别为(Xi,0), y2),(X3, y3)，点P的坐标为(x, y),uuu 2PAumr 2PBUULT 2PC (X222222Xi) (y yi) (X X2)(y y) (x X3) (y 代)3x2 2( Xi、2222222X2X3)xXiX2X33y2(yiyy3)yyiy y当且仅当x Xi x2 x3,y3yi

4、 V23LUT 2 UULT 2时，PA PBuuur 2PC取最小值,即点P是VABC 的重心例4、已知。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点 P满足 uuur uuurw1T UU(TABACOP OA(-uttT -uutf),(0,),则动点P的轨迹一止通过AB sin B AC sin CVABC 的A.外心B.内心UULT 【解析】由正弦定理得AB sin BC.重心D.垂心UUUTUULTAC sinC，故可设 AB sin BuuurAC sinC二UULTUulT LUU AB贝U OP OA(-uutfAB sin BUULTAC uuTuuuruutT)=

5、 OA + (ABAC sin CuuurAC),- (0,)，设uuur uuir uuur uuiurt 一,则 AP t(AB AC) 2tAM (t (0,),其中 M 为 BC 边的中点,所以A,P,M三点共线，即点P的轨迹是从A点出发经过M点的射线(除去A点)，故点P的轨迹一定通过VABC的重心。二、内心：uuu unr uuur例5、三个不共线的向量OA,OB,OC满足uuir uuur AB OA ( uuirABuuu CA uuu ) CAuurOBuuurBA(-uuurBAuuuCB -uuur-) CBuuirOCuuuBC(uuu-BCuuu CA -uuuri-)

6、 CA是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心uuu uuir uiur【解析】因为OA,OB,OC均与VABC的外角平分线垂直，所以O为内心。例6、已知。是VABC所在平面上的一点,A, B, C所对的边分别为a,b,c,uuu uuuaOA bOBuuur cOCr0 ,则O是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】uuu 因为OAuurOBuuurb OC cr 0,uuu 所以OAuuu(OAuuur 所以AObcuiurAB) buuuAB(a b c) ( cuur (OAuuir AC V)uiurAC)r0,uuu则 OA(a buuiruuurc) AB b A

7、C cr 0,同理可证:例7、uiurOPbcuuuAB(-uuu(a b c) ABuuur AC uuur ) AC,所以AO平分 BAC ,BO平分 ABC , CO平分 ACB，从而。为 ABC的内心。已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点 P满足uuurOAuuurAB (uuurABuuurAC、 uuur ),AC(0,则动点P的轨迹一定通过VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】上式可化为uuurAP (uuu AB uuu ABuuur AC Ac(0,uuiruuur AB AC)时，由于(ruutri rtuturr)ABAC表示 BAC的平

8、分线所在直线的方向向量,故动点P的轨迹一定通过VABC的内心。三、外心:uuur2例8、设O为VABC所在平面上一点，若OAuur 2 OBuuLT2OC，则O是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心uur2 uuur2 uuur 2【解析】若OA OB OC ,uuu 2则OAuuir 2OBuuir 2uurOC ,即 OAuuurOBuurOC ,则O是VABC的外心。例9、已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点 P满足uur uuir 照 OB OC OPuur/ AB(-uuurAB cosBuuurACuuur ACcosC),(0,)，则动点P的轨迹一定通

9、过VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】uur uuurOB OCBC的中点，当 （0,）时，uuur/ AB(-utuFAB cosBuuurACuuurAC cosCuuir）表小垂直于BC的向量，所以点P在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹一定通过VABC的外心。四、垂心:例10、在同一平面上有VABC及一点O满足关系式:uuu 2 uuu 2OA BCuuur2 uuu 2 uuu-2OB CA OCuur 2AB，则O是VABC的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】unr2 uur 2OA BCuuu 2 OBuur 2 CAuuir2 OCuur 2 ABuuh u

10、ur2(OA OB )uuur 2 (BCuukCA ) 0uur (OAuurOB)uur(OAuuurOB)uuur (BCuuuCA)uuu uuu(BC CA)uur (OAuurOB)uurBAuur uurBA (BCuuuCA) 0uur uurBA (OAuuur uuirOB BCuuuCA) 0uurBAuuur(2OC)uurBAuuurOCuuruuir uuur,同理 AO BC , BOuuurAC ,故O是VABC的垂心。例11、设O为VABC的外心,uur uuu平面上一点P使OP OAuuir uuirOB OCVABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心A.

11、外心B.内心C.重心D.垂心uuruur uur【解析】OP OA OBuuurOCuuirOPuuirOAuuirOBuuurOCuuurAPuuirOBuuirOCuur uuur uurAP BC (OBuuirOC)uur BCuuir (OBuuirOC)uuur (OCuurOB)uiur 2OCuiur 2OB而O为VABC的外心，故UULT OCuuirOB ,uur uuruuur即 AP BC=0, APUULrBC ,同理uuur uuir uuuBP AC,CPuurAB ,故点P是VABC的垂心。例12、O为空间中一点，动点P在A,B,C三点确定的平面的平面内且满足u

12、uir (OPuur uiurOA) (ABUULTAC) 0 ,则点P的轨迹一定通过VABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心uuruuuuuiruuir【解析】因为(OP OA) (AB AC)uuur uiur0 ,所以 AP CB=0UULr ,即APuuuCB ,故点P的轨迹一定通过VABC的垂心。例13、P是VABC所在平面上一点,uuu uuirPA PBuurPBuurPCuuurPCuuuPA ,则P是VABC 的A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】uuuPAuuurPBuur uuurPB PCuuuruuuPC PA ,uuirPAuurPBuuirPBuuuPCu

13、uu uuurPA PBuurPBuuurPCuiurPBuuu (PAuurPC)uur uurPB CA 0uuirPBuuuCA ,同理可证uuurPCuuuruuuAB, PAuuur BC ,所以P是VABC的垂心。例14、已知O是平面上uuurOPuuuOAuuur/ AB(-UturAB cosBJEM ,uuir ACA,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足uturAC cosC),(0,),则动点P的轨迹一定通过VABC 的uuur【解析】上式可化为APumrAB(-uutrAB cosBuuurACumrAC), cosC(0,),所以uuur uurAP BCuuur )BCuuur/ AB(-uutF|AB cosBuuurACutuFAC cosCumr uuur ,AB BC (-uurAB cosBuuur uui