九年级数学(上册)第一章 证明(二)

1、1.你能证明它们吗（1）证明（一）回顾与思考阳泉市义井中学阳泉市义井中学 高铁牛高铁牛驶向胜利的彼岸直观是把“双刃剑”w直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗? 回顾与思考回顾与思考ab cdababw每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.w一般地,命题可以写成“如果,那么”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.w正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命题称为假命题(false statement).w要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个

2、例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counter example).“原名” 知多少w定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition) . w命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement). 回顾与思考回顾与思考w原名:某些数学名词称为原名.w公理:公认的真命题称为公理(axiom).w证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.w定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).w本套教材选用如下命题作为公理 :w1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平

3、行;w2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;w3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;w4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;w5.三边对应相等的两个三角形全等;w6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.“原名” 知多少 回顾与思考回顾与思考平行线的判定w公理:w同位角相等,两直线平行.w 1=2, ab.w判定定理1:w内错角相等,两直线平行.w 1=2, ab. 几何的几何的三种语言三种语言w判定定理2:w同旁内角互补,两直线平行.w 1+2=1800 , ab. abc21abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用. 平行线的性质w公理:w两直线平行,同位角相等.w ab

4、, 1=2.w性质定理1:w两直线平行,内错角相等.w ab, 1=2. 几何的几何的三种语言三种语言w性质定理2:w 两直线平行,同旁内角互补.w ab, 1+2=1800 . abc21abc12abc12w这里的结论,以后可以直接运用. 三角形内角和定理w三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.wABC中,A+B+C=1800.wA+B+C=1800的几种变形:wA=1800 (B+C).wB=1800 (A+C).wC=1800 (A+B).wA+B=1800-C.wB+C=1800-A.wA+C=1800-B.w这里的结论,以后可以直接运用. 回顾与思考回顾与思考ABC关注

5、三角形的外角w三角形内角和定理的推论:w推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.w推论3: 直角三角形的两锐角互余.wABC中: w1=2+3;w12,13. 三种语言三种语言ABCD1234w这个结论以后可以直接运用.驶向胜利的彼岸学好几何标志是会“证明”w证明命题的一般步骤:w与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);w(2)根据题意,画出图形;w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;w(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”

6、.);w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确,完善. 回顾与思考回顾与思考“行家”看“门道”w如图. 1是ABC的一个外角, 1与图中的其它角有什么关系?w1+4=1800 ;w12;w13;w1=2+3.w证明:2+3+4=1800(三角形内角和定理),w 1+4=1800(平角的意义),w 1= 2+3.(等量代换).w 12,13(和大于部分). 探索思考探索思考ABCD1234w能证明你的结论吗?w用文字表述为:w三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.内涵与外延w在这里,我们通

7、过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).w推论可以当作定理使用. w三角形内角和定理的推论:w推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.w推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 关注关注外角外角ABCD1234“行家”看“门道”w例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. w求证:ADBC.w证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), 例题欣赏例题欣赏P210w ab(内错角相等,两直线平行).w B=C (已知),w

8、 DAC=C(等量代换).ACDBEw分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”. AD平分 EAC(已知).21C= EAC(等式性质).21DAC= EAC(角平分线的定义).例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.一题多解思维灵活想一想想一想P211ACDBE例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC. B=C (已知),21B= EAC(等式性质). AD平分 EAC(已知).21DAE= EAC(角平分线的定义). DAE=B(等量代换). ab(同位角相等,两直线平行).这里是运用了公理“

9、同位角相等,两直线平行”得到了证实.证明: EAC=B+C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”.一题多解思维灵活想一想想一想P211ACDBE例1 已知:如图6-13,在ABC中,AD平分外角EAC,B= C. 求证:ADBC.分析:要证明ADBC,只需要证明“同位角相等”,“内错角相等”或“同旁内角互补”. DAC=C (已证), BAC+B+C =1800 (三角形内角和定理). BAC+B+DAC =1800 (等量代换). ab(同旁内角互补,两直线平行).这里是运用了定理“同旁内角互补,两

10、直线平行”得到了证实.证明:由证法1可得:“行家”看“门道”w例2 已知:如图6-14,在ABC中, 1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.w求证: 12.w证明: 1是ABC的一个外角(已知), 例题欣赏例题欣赏P211w把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项内化为一种方法.w 13(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).w 3是CDE的一个外角 (外角定义).w 32(三角形的一个外角大于任何一个和 它不相邻的内角).w 12(不等式的性质).CABF1345ED2我能行w已知:如图所示,在ABC中,外角DCA=100,A=45.w

11、求:B和ACB的大小. 随堂练习随堂练习P212ABCD解: DCA是ABC的一个外角(已知),DCA=100(已知), B=100-45=55.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又 DCA+BCA=180(平角意义). ACB=80(等式的性质).A=45(已知),你认识外角吗?w已知:国旗上的正五角星形如图所示.w求:A+B+C+D+E的度数. 随堂练习随堂练习P212解:1是BDF的一个外角(外角的意义),分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解. 1=B+D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 2=C+E(三角形的一个

12、外角等于和它不相邻的两个内角的和).又A+1+2=180(三角形内角和定理).又 2是EHC的一个外角(外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E =180(等式性质).你认识外角吗?w已知:如图所示.w求证:(1)BDCA;w(2) BDC=A+B+C. 试一试试一试P213证明(1): BDC是DCE的一个外角 (外角意义), BDCCED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角). DECA(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角). BDCA (不等式的性质). DEC是ABE的一个外角 (外角意义),BCADE你认识外角吗?w已知:如图所示.w求证:(1)BDCA;w(2) BDC=A+B+C. 试一试试一试P213证明(2): BDC是DCE的一个外角 (外角意义), BDC =C+CED(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). DEC=A+ B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和). BDC=A+B+C (等式的性质). DEC是ABE的一个外角 (外角意义),BCADE回味无穷w 理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.w 三角形内角和定理 w 三角形三个内角的和等于1800.ABC中,A+B+C=1800.w 推论1: 三角形的一个外角等