概率2-1,2 习题课概率论与数理统计

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第 5 讲讲主主 讲讲: 赵玉环赵玉环第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量随机变量2.2 2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.4 2.4 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度2.5 2.5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，学分析的方法来研究， 因此为

2、了因此为了便于数学上的推便于数学上的推导和计算导和计算，就需将任意的，就需将任意的随机事件数量化随机事件数量化当把一当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建就建立起了随机变量的概念立起了随机变量的概念 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?2.1 2.1 随机变量随机变量一、随机变量1. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球, ,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色. .S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色白色白

3、色)(eXR10即有即有 X ( (红色红色)=)=1 , X (白色白色)=0. ., 0, 1)(白白色色红红色色eeeX这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数量化了数量化了. .实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. ., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX1(1,2,3,4,5,6).6P Xii S=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等变换恒等变换且有且有eeX )(则有则有实例实例3 3 一袋中有一袋中有6 6个球，分别标有个球，分别标有 1,2,2

4、,2,3,3 1,2,2,2,3,3，从袋中任，从袋中任 取一个球，观察出现的数字取一个球，观察出现的数字样本空间样本空间 S Se e1 1，e e2 2，e e3 3, 其中其中e e1 1出现数字出现数字1 1，e e2 2出现数字出现数字2 2， e e3 3出现数字出现数字3 3. .构造随机变量构造随机变量X X：S S 1,2,31,2,3，即即 X(eX(e1 1)=1)=1， X(eX(e2 2)=2)=2， X(eX(e3 3)=3)=3， 当试验的可能结果本身是用数量描述的，这时构造随机当试验的可能结果本身是用数量描述的，这时构造随机变量最容易变量最容易 如：掷骰子试验。

5、如：掷骰子试验。(1).有些试验结果本身就是数，随机事件与实数之有些试验结果本身就是数，随机事件与实数之间存在着客观联系间存在着客观联系.总结：总结：令令X=X=掷一次骰子得到的点数，掷一次骰子得到的点数，X X1,261,26则则“掷得掷得i i点点”可记作可记作“X=i”,X=i”,并有并有P(X=i)=1/6.P(X=i)=1/6.这表明：这表明：X X实际上是样本点的一个函数，所以实际上是样本点的一个函数，所以X X具有随机性。具有随机性。易见，对于任意实数易见，对于任意实数x x， e|X(e)xe|X(e)x或或XxXx都都是随机事件，我们关心它的概率值。是随机事件，我们关心它的概

6、率值。又如：又如： “ “抛硬币抛硬币” ” 试验（硬币均匀）。它有两种试验（硬币均匀）。它有两种可能结果：可能结果：“出现正面出现正面H”H”或或“出现反面出现反面T”T”。 HTXX 10)(则则 X X也是样本点的一个函数。也是样本点的一个函数。对于任意实数对于任意实数x x，XXxx都是随机事件。都是随机事件。 (2).有些试验中，试验结果看与数值无关，随机有些试验中，试验结果看与数值无关，随机事件与实数之间没有客观联系，但是可以引进一个事件与实数之间没有客观联系，但是可以引进一个变量来表示它的各种结果变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果也就是说，把试验结果数值化数值化. 如上

7、述：摸球试验如上述：摸球试验1 1）随试验结果的不同而取不同的值，因而在试）随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值随机性肯定它将取哪个值随机性2 2）由于试验的结果的出现具有一定的概率，于）由于试验的结果的出现具有一定的概率，于是这些实值函数取每个值和每个确定范围内的是这些实值函数取每个值和每个确定范围内的值是随机事件有一定的概率值是随机事件有一定的概率- -取值有概率规律取值有概率规律这些这些X,Y,Z就是所谓的就是所谓的随随量量机机 变变( random variable)(3).(3).这几个

8、例子中引入的变量这几个例子中引入的变量X,Y,ZX,Y,Z都是样本点都是样本点的单值实函数，且具有以下共同特点：的单值实函数，且具有以下共同特点： 设设E是随机试验，它的样本空间是是随机试验，它的样本空间是Se ，如果对，如果对于每一个于每一个 e S，都有一个实数，都有一个实数X(e)与之对应与之对应，这样就这样就得到一个定义在得到一个定义在S上的单值实值函数上的单值实值函数X=X(e), 称为称为 随机随机变量变量. 常用字母常用字母X, Y,等表示随机变量等表示随机变量 2.2.定义定义 随机变量是定义在样本空间上的实值集函数，它与随机变量是定义在样本空间上的实值集函数，它与普通的实函数

9、有本质的区别一方面它的取值是随机的普通的实函数有本质的区别一方面它的取值是随机的，而它取每一个可能值都有一定的概率；另一方面，它的而它取每一个可能值都有一定的概率；另一方面，它的定义域是样本空间定义域是样本空间S S，而，而S S不一定是实数集不一定是实数集SeX(e)R3.3.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, , 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. . 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数. .随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 : :随机变量随机变量连续

10、型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其他其他实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “ “连续射击连续射击, , 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, , 则则 X 的可能值是的可能值是: : ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, ,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, ,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为: :.30, 3, 2, 1, 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取

11、的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间, ,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量. .例例4 4 对于一批灯泡，设每一灯泡在某固定条件的耐用时对于一批灯泡，设每一灯泡在某固定条件的耐用时间为间为X，则，则X ：S 0,+) 0,+)随着取不同灯泡的试验结果不同，随着取不同灯泡的试验结果不同，X 取不同的值取不同的值. .取定灯取定灯泡，泡，X 值才能确定，故值才能确定，故X 是随机变量是随机变量随机变量概念的产生是随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事概率论发展史上的重大事件件. 引入随机变量后，对随机现象统计规律的研引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩

12、大为对随机究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究变量及其取值规律的研究.随机变量随机变量全部可全部可能取到能取到的值是的值是有限个或有限个或可可列个列个. .2.22.2离散型随机变量离散型随机变量的概率分布的概率分布一、基本概念一、基本概念 设离散型随机变量设离散型随机变量 X 所有所有可能取可能取的值的值为为 xk , k =1,2, X 取取各个可能值各个可能值的概率的概率为为 pk , , 即即 P X=xk = = pk ， k =1，2， (2.1) (2.1) 称称(2.1)(2.1)式式为离散型随机变量为离散型随机变量 X 的的概率分布概率分布或或分布

13、分布律律. . X 的分布律可用的分布律可用表格的形式表示：表格的形式表示：Xxkx1x2pkp1p2pk 分布律具有如下性质分布律具有如下性质: : 1. 1. pk 0, (0, (k=1,2,.)=1,2,.) 2. 2. 1kkp 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯, ,每每盏信号灯以概率盏信号灯以概率p p禁止汽车通过禁止汽车通过. . 以以X X表示汽车首次停下时表示汽车首次停下时, , 它已通过的信号灯的盏数它已通过的信号灯的盏数( (设各信号灯的工作是相互独立设各信号灯的工作是相互独立的的), ), 求求X X的分布律的分布

14、律. . X 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 p pk k p (1(1- -p) )p (1(1- -p) )2 2p (1(1- -p) )3 3p (1-(1-p) )4 4或写成或写成4)1 (4, 3 , 2 , 1 , 0, )1 (pXPkppkXPk解解: X 的可能取值为的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4， 故故 X的分布律为的分布律为 设袋中有设袋中有4个红球个红球, 1个白球个白球, 今从袋中随机抽取两次今从袋中随机抽取两次, 每次取一个每次取一个, 设设X表示所取得的白球数表示所取得的白球数, 试分两种情况：试分两种情况： (1) 放回抽取；放回抽取； (

15、2)不放回抽取不放回抽取, 分别求出分别求出 X 的分布律的分布律. 离散型随机变量离散型随机变量 X 的概率分布或分布律完全刻划了的概率分布或分布律完全刻划了离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布情情况况，已知已知 X 的概率分布，可的概率分布，可以求得这个随机变量以求得这个随机变量 X 所对应的样本空间中任何随机事所对应的样本空间中任何随机事件的概率件的概率. .二、二、几种常见的离散型随机变量几种常见的离散型随机变量则称则称X服从服从参数为参数为 p 的的(0-1)(0-1)分布或分布或两点分布两点分布)10( 1 , 0,)1(1 pkppkXPkk P PX =1=1=p， PPX

16、 =0=1- =0=1- p (0 (0p1)1)，1.1.(0-1)(0-1)分布分布 如果随机变量如果随机变量X只能取只能取0,10,1两个值，其分布律两个值，其分布律为为 X 0 0 1 1 pk 1 1- -p p 即：即： 对于对于一次试验只有两种可能结果的概率分布都可用两一次试验只有两种可能结果的概率分布都可用两点分布来描述如在射击中，只考虑点分布来描述如在射击中，只考虑“击中击中”与与“不中不中”，我们可以令随机变量我们可以令随机变量X X取值取值“1”“1”表示表示“击中击中”，取值，取值“0”“0”表示表示“不中不中”；对产品质量进行检验，如果我们只关心；对产品质量进行检验，

17、如果我们只关心“合合格格” 与与“不合格不合格”，“合格合格”时规定时规定X X取值取值“1”“1”，“不合格不合格”时规定时规定X X取值取值“0”“0”，则这类问题都可以归结为，则这类问题都可以归结为两点分布总之，两点分布是经常遇到的一种分布两点分布总之，两点分布是经常遇到的一种分布(1)相互独立试验相互独立试验 将试验将试验E重复进行重复进行n次次, 若各次试验的结果若各次试验的结果互不影响互不影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果试验的结果, 则称这则称这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的. 2.2.二项分布二项分布(

18、2)(2) 贝努利试验贝努利试验 若试验若试验E的可能结果只有两个的可能结果只有两个: A 及及 A, ;将将E独立地重复进独立地重复进行行n次次, 则称这一串重复的独立试验为则称这一串重复的独立试验为(n重重)贝努利试验贝努利试验.) 10(1)(,)(pqpAppAP(3)贝努利试验的特性贝努利试验的特性 设设X表示表示n重贝努利试验中重贝努利试验中A事件发生事件发生的次数的次数. 则则X是一个随机变量是一个随机变量, X 的可能值为的可能值为 0, 1, 2, , n.nkqpCppCkXPknkknknkkn, 2 , 1 , 0,)1 (2) 当当n=1=1时二项分布化为时二项分布化

19、为(0-1)(0-1)分布分布 若随机变量若随机变量 X 的分布律为的分布律为 则称则称X 服从参数为服从参数为 n, ,p 的二项分布，记作的二项分布，记作 Xb(n,p )nkqpCppCkXPknkknknkkn, 2 , 1 , 0,)1 ( 注注 (1) 显然显然 P X= =k 0 0 k =0,1,2,.,=0,1,2,.,n ；1)(0 nnkknkknqpqpC 下面下面通过实例通过实例来观察二项分布随着来观察二项分布随着 k 取值的不同取值的不同而变化的情况而变化的情况例例2 2 设有设有2020台机床，独立地各加工一件齿轮，若各机床加台机床，独立地各加工一件齿轮，若各机床

20、加工的废品率都是工的废品率都是0.20.2，求，求2020件齿轮产品中的废品数的分布律件齿轮产品中的废品数的分布律? ?解解 本题可看作是本题可看作是2020次重复独立试验次重复独立试验 设设X表示表示2020件齿轮产品中的废品个数，则件齿轮产品中的废品个数，则Xb(20, 0.2)(20, 0.2) 故故 列表如下列表如下： X 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 p p 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.1090.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 0.109X7 8 9 10 11 7 8 9

21、10 11 20 20 0.055 0.022 0.007 0.002 0.000 0.055 0.022 0.007 0.002 0.000 0.000 0.000 20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020kCkXPkkk表中当表中当k1111时，时，PPX= =k0.0010.001为了对此结果有一个直为了对此结果有一个直观的了解，我们将表中数据用图形来表示观的了解，我们将表中数据用图形来表示 从上图中可看到，概率从上图中可看到，概率PPX= =k 先是随先是随 k 的增加而单的增加而单调上升，当调上升，当k 增加到增加到4 4时，时，PPX= =k 取得最大值取得最大值0

22、.2180.218，然后，然后PPX= =k 再随着再随着 k 的增加而单调下降一般来讲，对于固定的增加而单调下降一般来讲，对于固定的的n和和p，二项分布二项分布 b( (n, ,p) )都具有这一性质都具有这一性质0 1 2 3 4 kkXP解解: 设设k=N 时时PX=k为最大为最大,则有不等式则有不等式 解得解得1111NXPNXPNXPNXPpnNpn) 1(1) 1(设设X服从二项分布，其分布律为服从二项分布，其分布律为问当问当k取何值时取何值时PX=k为最大为最大.nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 (练习练习例例3 某人进行射击某人进行射击, 每次射击的命中率

23、为每次射击的命中率为0.02, 独立射击独立射击400次次, 试求至少击中两次的概率试求至少击中两次的概率.解解: 设设X 表示击中的次数表示击中的次数, 则则X b(400, 0.02)400, 2 , 1 , 0,)98. 0()02. 0(400400kCkXPkkk399400)98. 0()02. 0(400)98. 0(1 1012XPXPXP所求概率为所求概率为=0.9972上式计算较繁索上式计算较繁索, 后面给出一个近似公式：后面给出一个近似公式：PX0是常数是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布，记作记作例例4 4 已知某电话交换台每分钟接到的呼叫次数已知某电话交换台每分钟接到的呼叫次数X服从参服从参