高中数学函数综合题难题讲解

1、高中数学综合题（难题）难点磁场()设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0且f(3)=4.(1)求证：f(x)为奇函数；(2)在区间9，9上，求f(x)的最值.案例探究例1设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x20,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0.(1)求f()、f();(2)证明f(x)是周期函数；(3)记an=f(n+),求分析技巧与方法：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键.(1) 解：因为对

2、x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=0,x0,1又因为f(1)=f(+)=f()·f()=f()2f()=f(+)=f()·f()=f（）2又f(1)=a>0f()=a,f()=a(2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1x),即f(x)=f(2x),xR.又由f(x)是偶函数知f(x)=f(x),xRf(x)=f(2x),xR.将上式中x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.(3)解：由(1)知f(x)0,x0,1f()=f(n·

3、)=f(+(n1) )=f()·f(n1)·)=f()·f()··f()=f()n=af()=a.又f(x)的一个周期是2f(2n+)=f(),因此an=a歼灭难点训练一、选择题1.()函数y=x+a与y=logax的图象可能是( )2.()定义在区间(,+)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0，+)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：f(b)f(a)>g(a)g(b) f(b)f(a)<g(a)g(b) f(a)f(b)>g(b)g(a) f(a)f(b)<g(b)g(a)

4、其中成立的是( )A.与B.与C.与D.与二、填空题3.()若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根，则实数a的取值范围是_.三、解答题4.()设a为实数，函数f(x)=x2+|xa|+1,xR.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值.5.()设f(x)=.(1)证明：f(x)在其定义域上的单调性；(2)证明：方程f-1(x)=0有惟一解；(3)解不等式fx(x)<.6.()定义在(1，1)上的函数f(x)满足对任意x、y(1,1),都有f(x)+f(y)=f();当x(1,0)时，有f(x)>0.求证：.7.()某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖).(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域.(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价.8.()已知函数f(x)在(,0)(0,+)上有定义，