高中数学知识网络(集合与函数)

1、一、集合1.1集合与元素集合与元素的关系：和。集合中元素的特征：、。集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：、。集合的表示方法：、。1.2集合与集合关系子集：若，则，即是的子集。真子集：若且（即至少存在，但），则是的真子集。若集合中有个元素，则集合的子集个数为，真子集个数为。任何一个集合是它本身的子集，即。对于集合，如果，且，则。空集是任何集合的，是任何集合的真子集。集合相等：且。运算交集：定义：且 性质：,，,。并集：定义：或 性质：,，,。补集：定义：且 性质：,，。二、函数2.1函数及其表示映射：设，是两个非空的集合，按照某种对应关系，使对于集合中的元素，在集合中都有的元素和它对应，那么

2、就称为从集合到集合的一个映射。函数的三要素：、。函数的主要表示方法：、。函数的定义域：分式的分母。偶次根式的被开方数。对数的真数，底数。零次幂的底数。三角函数中的正切函数，。已知函数定义域为，求函数的定义域，只需。已知函数定义域为，求函数的定义域，只需要求的。2.2函数的基本性质函数的单调性设函数的定义域为：（1）如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，就说在这个区间上是。（2）如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，就说在这个区间上是。利用函数的导数判断单调性设函数在某个区间内可导，如果，则在这个区间上为；如果，则在这个区间上为减函数。函数

3、单调性的常用结论：若，均为某区间上的增函数，则在这个区间上也为；若，均为某区间上的减函数，则在这个区间上也为。若为增函数，则为；若为减函数，则为。若与的单调性相同，则是；若与的单调性不同，则是。奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性。常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。函数的奇偶性对于函数，如果对于定义域内任意一个，都有，那么就叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个，都有，那么就叫做。奇函数的图象关于成中心对称图形；偶函数的图象关于成轴对称图形。反之也成立。函数奇偶性的常用结论如果一个奇函数在处有定义，则；如果一个函数既是奇函数又是

4、偶函数，则（反之不成立）。两个奇函数之和（或差）为函数，两个偶函数之和（或差）为函数；两个奇函数之积（或商）为函数，两个偶函数之积（或商）为函数。一个奇函数与一个偶函数的积（或商）为函数。两个函数和复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是函数；当两个函数都是奇函数是，该复合函数是函数。函数的周期性对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么是周期函数，是它的周期。函数图象的画法描点连线法：、。函数变换：平移变换：的图象向左平移个单位，得到函数的图象；的图象向右平移个单位，得到函数的图象；的图象向上平移个单位，得到函数的图象；的图象向下平移个单

5、位，得到函数的图象。伸缩变换：的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象；的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象。对称变换：与的图象关于轴对称；与的图象关于轴对称；与的图象关于对称；的图象可将的图象在轴下方的部分关于轴对称，其余部分不变；的图象可先作出的图象，再根据的图象关于轴对称，作出的图象。2.3基本初等函数指数函数指数的运算：。；。指数函数：定义：一般地，把函数叫做指数函数。指数函数定义域值域图象作出函数的图象作出函数的图象性质过定点单调性：单调性：时，；时，。时，；时，。作出函数，的图象作出函数，的图象对数函数对数的运算：，为，为。性质：；。换

6、底公式：。对数函数：定义：一般地，把函数叫做对数函数。对数函数定义域值域图象作出函数的图象作出函数的图象性质过定点单调性：单调性：时，；时，。时，；时，。作出函数，的图象作出函数，的图象幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。性质：所有幂函数在上都有定义，并且图象都通过点。如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间为。如果，则幂函数的图象在区间是。当为奇数时，幂函数为，当为偶数时，幂函数为。幂函数为奇数为奇数作出函数图象奇偶性：为奇数为偶数奇偶性：为偶数为奇数奇偶性：第一象限性质单调性：单调性：过定点：二次函数1二次函数的定义：如果（、是常数，），那么叫做的二次函数。2二次函数的表达

7、式：一般式：（）；（）；（）；顶点式：（）；（）；交点式：（）；3二次函数的图像：二次函数（）的图像是抛物线。开口：当时开口向上，并向上无限延伸；当时开口向下，并向下无限延伸。顶点、对称轴：把二次函数（）的右边二次三项式配方，得（）点为抛物线的顶点，直线为抛物线的对称轴。4二次函数的性质：抛物线开口方向当时开口向上，并向上无限延伸；当时开口向下，并向下无限延伸。顶点坐标对称轴轴轴直线直线直线最值时，时，时，时，时，时，时，时，时，时，增减性在对称轴左侧，随的增大而减小作出函数图象在对称轴右侧，随的增大而增大在对称轴左侧，随的增大而增大在对称轴右侧，随的增大而减小5. 二次函数（）的系数，与抛物线的关系决定开口方向：时开口向上时开口向下，同时决定对称轴位置：，同号时对称轴在轴左侧，异号时对称轴在轴右侧0时对称轴是轴决定抛物线与轴的交点：0时抛物线交于轴的正半轴0时，方程（）有两个实根，抛物线与轴有两个交点0时，方程（）没有实根，抛物线与轴没有交点0时，方程（）有一个实根，抛物线与轴有一个交点，或者说抛物线与轴相切2.4函数的应用函数与方