高中新课程数学史选讲课的教学设计

1、高中新课程数学史选讲的教学设计继山东、广东、海南、宁夏4省（区）的试验之后，普通高中数学新课程即将在全国范围内开始实施。新课程的选修系列3-1“数学史选讲”并不是高考的内容，这部分内容要不要教？教什么？怎么教？这已成为人们关注的问题。为此，我们对“毕达哥拉斯多边形数”这一专题的教学作了设计，并利用高中数学新课程教师培训的机会，就此对即将实施新课程的某地区的高中数学骨干教师进行了问卷调查，以了解高中数学教师对数学史专题教学设计的看法，为数学史选修课的教学提供参考。1 “毕达哥拉斯多边形数”的教学设计普通高中数学课程标准强调，数学课程应“倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式”

2、；使学生在解决问题时“不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明、反思与建构等思维过程”。对于“数学史选讲”的教学，强调“要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法”。“毕达哥拉斯多边形数”的教学设计就是基于以上理念和要求进行的。先展示有关毕达哥拉斯的图片（如图1），让学生注意观察毕达哥拉斯身后的三角形图案，提出问题，引出知识点毕达哥拉斯多边形数的概念。给出前几个三角形点阵（图2），让学生观察它们的规律，归纳出第10个点阵、第n个点阵共含几个点？接着，引入三角形数概念，介绍历史背景知识，并引导学生类比钢管垛模型， 图1 毕达哥拉斯推导第n个三角形数的一般公式（图3），指出毕

3、氏学派已经获得前n个自然数求和公式。图 2 三角形数1、3、6、10 图3 三角形数公式的推导再给出前几个正方形点阵（图4），让学生观察它们的规律，归纳出第10个点阵、第n个点阵共含几个点？引入正方形数概念，并引导学生观察正方形数的构造规律（图5），推导第n个正方形数公式，指出毕氏学派已经得到奇数和公式。图 4 正方形数1、4、9、16 图 5 正方形数的两种构造：连续奇数之和与两个相邻三角形数之和再给出前几个长方形点阵（图6），让学生观察它们的规律。进而让学生归纳出第10个点阵、第n个点阵共含几个点？接着，引入长方形数概念，并引导学生观察长方形数的构造规律（图7），推导第n个长方形数公式，指

4、出毕氏学派已经发现这种形数。图 6 长方形数2、6、12、20 图 7 长方形数的三种构造：连续偶数之和、两个同样的三角形数之和与一个正方形数及其一边的和然后，引入五边形数和六边形数概念，并引导学生观察构造规律（图8、9），推导第n个五边形数和六边形数公式： ，。并指出：晚期毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus, 60?120?）等讨论了这两种数以及边数更多的数。图 8 五边形数1、5、12、22图9 六边形数1、6、15、28让学生从构成三角形数、正方形数、五边形数、六边形数的等差数列中归纳出构成k边形数（）的等差数列的公差与通项，进而让学生运用等差数列求和公式求出第n个k边形数

5、的公式在讲完多边形数概念后，让学生探索下面有关多边形数问题。如果课内时间不允许，可以让学生分组来完成后两个问题，并于以后的选修课上交流各组的探究成果。问题1 观察图10，写出正方形数与三角形数或长方形数之间的关系式。历史上，早期毕达哥拉斯学派可能已经知道，任何一个三角形数的8倍加1是一个平方数；后来普鲁塔克（Plutarch, 1世纪）提到过这个定理，丢番图（Diophantus, 3世纪）也曾运用过这个结果。 问题2 仔细观察三角形数、正方形数、五边形数、六边形数等构成的数表，研究k边形数与k-1边形数之间的关系。可结合图11进行。三角形数：1 3 6 10 15 21 28 36 45 5

6、5 正方形数：1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 五边形数：1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 六边形数：1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 七边形数：1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 图10 正方形数与三角形数 图 11 k边形数与k-1边形数历史上，晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘（Nicomachus, 60?120?）已经发现：第n个k边形数等于第n个k-1边形数与第n-1个三角形数之和。问题3 能否从正方形数的构造（图12）规律中得出立方数与奇数之间的关系？并进一步探索三次幂和公式。图

7、 12 正方形数与立方数之间的关系历史上，尼可麦丘（Nicomachus, 60?120?）已经发现第一个奇数1是立方数13，第二、三两个奇数3、5之和是立方数23，第四、五、六三个奇数7、9、11之和是立方数33，等等，他在算术引论中介绍了上述规律。2 教师对本设计的看法本次调查共收回有效问卷56份，调查结果统计如下表（百分比）。关于多边形数教学设计的观点非常同意同意比较同意不太同意不同意完全不同意我对形数的教学设计很满意8.948.241.11.800若开设数学史选讲，我会采用该设计8.941.146.43.600该设计中的知识内容我都能够讲授12.532.141.110.73.60该设计

8、符合学生的认知水平10.737.544.65.41.80该设计能使学生经历直观感知、观察发现、抽象概括、归纳推理的思维过程，体会数形结合思想的作用。19.658.921.4000该设计体现了数学的文化价值10.748.235.75.400该设计体现了自主探索、合作交流的学习方式17.944.626.810.700该设计的内容偏难5.419.644.626.83.60关于形数应用的例子应该更多一些7.148.232.112.500关于形数的应用，应举一些与高考题类似的例子10.744.630.412.51.80该设计有助于加深学生对数列有关内容的理解16.144.630.45.400从教学内容来

9、看，98.2%的教师对形数的教学设计感到满意或比较满意，96.4%的教师表示自己若开设数学史选修课，会采用该设计。85.7%的教师表示自己有能力讲授该设计中的知识内容。92.8%的人认为该设计基本符合学生的认知水平，7.2%的人表示不认可。可见，大部分教师认可本教学设计的内容设置，认为是切实可行的方案，且基本符合学生认知水平。从教学理念来看，所有教师认为本设计能使学生经历直观感知、观察发现、抽象概括、归纳推理等思维过程，并使他们体会到数形结合思想的重要意义。94.6%的教师认同本设计体现了数学的文化价值。89.3的教师认为本设计体现了自主探索、合作交流的学习方式。可见，引导学生自主探索的设计方

10、案获得了多数教师的认同。从教学设计本身来看，超过半数的教师认为教学设计的内容偏难，这表明，教学内容的难度还有待于适当降低。87.5%的教师认为教学设计中关于形数应用的例子应该多一些；85.7%的教师赞同教学设计中应该举一些与高考题类似的形数应用问题。94.6%的教师认为本教学设计有助于加深学生对必修课中的数列内容的理解，这说明我们可以通过在必修课与选修课之间找到一个切合点，来解决选修课内容形同虚设的问题。3 结论虽然“数学史选讲”的教材已经出版，但要真正在课堂上讲授并不是一件容易的事，为历史而历史、堆砌史实、照本宣科，都无异于给数学史选修课“判死刑”，背负高考压力的学生原来所抱有的兴趣也将因此而消失殆尽。“毕达哥拉斯多边形数”的教学设计将历史知识与必修课中数列的有关内容有机地结合起来，虽然讲的是历史专题，但并不是单纯的、枯燥的历史回溯，而是充分给予学生自主探索、合作交流的机会，让学生亲历多边形数知识的形成过程，再现古代数学家的思维方式，从而在不知不觉中再现了历史，学生的学习过程也因此成了“再创造”的过程。本教学设计得到多数接受调查的中学教师的认同，表明它有一定的可操作性，有一定的参考价值。据此，我们在设计其他数学史专题的教学时，可以考虑四种原则。一是趣味性，即历史的介绍应图文并茂、生动有趣，切忌照本宣