信号与系统第五章连续系统的s域分析

1、信号与线性系统信号与线性系统第五章 连续系统的s域分析第2页引言引言第3页以以傅里叶变换傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，傅里叶变，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合换只能处理符合狄利克雷条件狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。积分求解困难。 df

2、tt j11( )d( )2tf tF eFf t第4页为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨论的为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。物理概念不如傅氏变换那样清楚。第5页一、拉氏变换的优点一、拉氏变换的优点o 把线性时不变系统的把线性时不变系统的时域模型时域模型简便地进行简便地进行变

3、换变换，经求解，经求解再再还原还原为时间函数。为时间函数。o 拉氏变换拉氏变换是求解是求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程的的工具工具。o 应用拉氏变换：应用拉氏变换：o （1 1）求解方程求解方程得到得到简化简化。且。且初始条件初始条件自动包含在自动包含在变换变换式式里。里。o （2 2）拉氏变换将）拉氏变换将“微分微分”变换成变换成“乘法乘法”，“积分积分”变换成变换成“除法除法”。即将。即将微分方程微分方程变成变成代数方程代数方程。o 拉氏变换将时域中拉氏变换将时域中卷积运算卷积运算变换成变换成“乘法乘法”运算。运算。o 利用利用系统函数系统函数零点零点、极点分布极点分布分析系统的规

4、律。分析系统的规律。第6页第一节第一节拉普拉斯变换拉普拉斯变换第7页 1 1、从傅氏变换到拉氏变换、从傅氏变换到拉氏变换有几种情况不满足狄有几种情况不满足狄里克雷条件：里克雷条件：o u(t)u(t)o 增长信号增长信号o 周期信号周期信号若乘一衰减因子若乘一衰减因子 为任意实数，则为任意实数，则 收敛，满足狄里赫利条件收敛，满足狄里赫利条件) 0( aeatt1costetetf).(tetu)()(.aeetattet1cos第8页FT: 实频率 是振荡频率LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度tetftf)()(1()1( )( )jtFf t edt( )( )stF sf t

5、e dtjs正LTdsesFjtfjjst)(21)(逆LT第9页 1.)()(dtetfjFtj()( )( )( )ttj tjtF ef tf t eedtf t edt ()()( ). 2jtFjf t edtdejFtfetjt)(21)(第10页dejFtfj)()(21)(jdsdthenjsif,.( )( )stF sf t edt1( )( )2jstjf tF s e dsj 上式为双边拉普拉斯正变换以及反变换；上式为双边拉普拉斯正变换以及反变换；Fb(s)称为称为f(t)的双的双边拉氏变换（或象函数），边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为称为Fb(s) 的双边拉氏逆

6、变的双边拉氏逆变换（或原函数）。换（或原函数）。 第11页2 2、拉氏变换的物理意义、拉氏变换的物理意义o 拉氏变换是将拉氏变换是将时间函数时间函数f(t)f(t)变换为变换为复变函数复变函数F(s)F(s)，或作相，或作相反变换。反变换。o 时域时域(t)(t)变量变量t t是实数是实数，复频域，复频域F(s)F(s)变量变量s s是复数是复数。变量。变量s s又又称称“复频率复频率”。o 拉氏变换建立了拉氏变换建立了时域与时域与复频域复频域(s(s域）域）之间的联系。之间的联系。(cossin)stjwtttsjeewtjtewe看出：将看出：将 频率频率变换为变换为复频率复频率s s,

7、,且且 只能描述只能描述振荡振荡的的重复频率重复频率，而而s s不仅不仅能给出能给出重复频率重复频率，还，还给出振荡幅度给出振荡幅度的的增长速率或衰减增长速率或衰减速率速率。第12页例例1 因果信号因果信号f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解: eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF，无界，不定Re,1ss可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存在。时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。j0收敛域收敛域收敛边界收敛边界第13页例例2 反因果信号反因果信号f2(t)

8、= e t (-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解: eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，不定无界)(1.Re,ss可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res= 时，其收敛域为时，其收敛域为 Res 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2可见，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标双边拉氏变换必须标出收敛域。出收敛域。第16页通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点

9、。这样，点。这样，t ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。 三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 0defde)()(ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst简记为简记为F(s)=Lf(t) f(t)=L-1F(s) 或或 f(t) F(s)第17页lim( )0( )tttf t ef t e收：当时则在拉氏变换的敛域范围内收敛 ftS其中与有关，过的垂直线为，在 平面内称收敛轴收敛坐标单边拉氏变换单边拉氏变换收敛轴收敛轴收收敛敛坐坐标标jw0收敛区收敛区第18页)(0)(lim0ttetf收敛域收敛域o 有始有终信号或能量有有始

10、有终信号或能量有限信号。限信号。o 或或等幅振荡信号（单位阶跃等幅振荡信号（单位阶跃信号）和增长信号。信号）和增长信号。o 不收敛信号不收敛信号但工程技术中这类函数不但工程技术中这类函数不会遇到，无讨论必要。会遇到，无讨论必要。00a0)0(,22 tteetta0jj整个平面整个平面以以 为界为界0第19页我们通过求常用函数的象函数，我们通过求常用函数的象函数， 掌握单边拉氏变换的基掌握单边拉氏变换的基本方法。本方法。 oF(s)=F(j)| s=j的函数的函数 当拉氏变换的收敛区包括当拉氏变换的收敛区包括j轴，轴，F(s)可由可由F(j)直接直接得到，仅将得到，仅将j换为换为s，即，即 F

11、(s)=F(j)| s=j 常用函数的单边拉普拉斯变换常用函数的单边拉普拉斯变换第20页1()F jaj已知单边指数函数的傅里叶变换asjFsFatuejsat1| )()()0)( )(0),f(t)jateu t a例题：已知f(t)=求的拉解：f(t)的收敛域如图所示，可见其包括了氏变换。轴，第21页2. t的指数函数的指数函数eatu(t)（a为任意常数）为任意常数） ()00()0( )( )11|atatsts a ts a tetF se edtedtesasa 01( )( )|atau te u ts利用上面单边指数函数的拉普拉斯变换可得：(a)单位阶跃函数第22页2222s

12、in() ( )1111sin( )() ( )22cos() ( )1111cos( )() ( )22j tj tj tj tt u ttu teeu tjjsjsjst u tstu teeu tsjsjs(b)单边正弦函数(c)单边余弦函数()()22( )sin( )1sin( )() ( )21112()atatajtajtdetu tetu teeu tjjsajsajsa单边衰减正弦函数第23页()()22( )cos( )1cos( )() ( )21112()atatajtajteetu tetu teeu tsajsajsajsa单边衰减余弦函数2222( )sinh()

13、 ( )1sinh() ( )() ( )2( )cosh() ( )cosh() ( )ttft u tt u teeu tsgt u tst u ts单边双曲正弦函数单边双曲余弦函数第24页3. t的正幂函数（的正幂函数（n为正整数）为正整数） )()()(|1)()()()(11101000tutLsntutLtutLsndtetsndtetsnetsdtetsFtuttuttfnnnstnstnstnstnnn即即 第25页依此类推，依此类推，121!1121)(121)(1)()(nnnnnnsnssssnsntutLsssnsntutLsnsntutLsntutL2233411(

14、)12( )63( )ntu tsnt u tsnt u ts特别的：第26页00(4)A ( )A ( )AA ( )1sttt edteLt冲激函数常用函数单边拉氏变换常用函数单边拉氏变换第27页周期信号周期信号fT(t) 0)1(200de)(.de)(de)(de)()(nTnnTstTTTstTTstTstTTttfttfttfttfsF00,01e( )ed( )ed1 eTTnsTststTTsTnttnTfttftt 令则特例特例： T(t) 1/(1 e-sT) 第28页单边拉氏变换与傅里叶变换的关系单边拉氏变换与傅里叶变换的关系 0de)()(ttfsFstRes 0 tt

15、fFtde)()(jj要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： （1） 0-2；则则 F(j )=1/( j +2)第29页（2） 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， )(lim)(j0sFF如f(t)= (t)F(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjjF= () + 1/j （3） 0 0，F(j )不存在。不存在。 例例f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) ， 2；其傅里叶变换不存其傅里叶变换不存在。在。第30页第二节第二节拉普

16、拉斯变换拉普拉斯变换的性质的性质第31页一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 二、尺度变换二、尺度变换若若f(t) F(s) , Res 0，且有实数，且有实数a0 ，因为讨论的，因为讨论的是单边拉普拉斯变换是单边拉普拉斯变换则则f(at) )(1asFaResa 0 第32页o 证 )()()()()()()()(2211220110221102211sFksFkdtetfkdte

17、tfkdtetfktfktfktfkststst线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。 例如例如22)11(21)()(21)(cosssjsjstueettutjtj第33页o 证证：dteatfatfLasFaatfst)()()/(1)(0其中其中a0 证证 令令 ， 代入上式得代入上式得 dxadtaxtxat1,asFadxexfaatfLxas1)(1)(第34页例：如图信号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s) =)ee1 (e2sssss求图中信号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。0121f(t)t042

18、4y(t)t解：解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss第35页三、时移（延时）特性三、时移（延时）特性 若若f(t) F(s) , Res 0, 且有实常数且有实常数t00 ,则则f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(at-t0) (at-t0)asFasat0e1例例1:求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) = (t+1)

19、(t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)第36页f(t-t0)u(t-t0) 0)(stesF证：证： 00000() ()()ststf tt u tt edtf tt edt 令令t-t0=x， t=x+t0， 代入上式得代入上式得 000()00( )( )( )s x tststsxf x edxef x edxF s e第37页例例2:已知已知f1(t) F1(s), 求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1

20、(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)第38页2(2)22s2( )(2)(2)( )( )1( )(1)F(s)F(s)=L(1)L (1) (1)(1)11ess( ).ttLsf tete etef tF sesf ttttttttt 例：已知例：已知，求解：技巧在于函数向靠拢时移性还可以用来求有始周期函数的拉普拉斯变换第39页证明：证明：)()()(0)(0000ssFdtetfdteetftssjsttst00220Lt0220Lt00220ecostsL costs+ecost()esint()sss -例:求的拉氏变换解：已知同理四、复频移（四、复频移（s s

21、域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有复常数且有复常数sa= a+j a,则则f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 第40页例例:已知因果信号已知因果信号f(t)的象函数的象函数F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函数。的象函数。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss2222233222(1)32( )(2)1113(32)39131(32)(1)9sssstssf tf tessssfteessseftes由平移特性有：由尺度变换：第41页五、时域的微分特性（微分定理）五、时域的微分特性（微分定理）

22、若若f(t) F(s) , Res 0, 则则f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t) snF(s) 第42页证明：证明：_)0()()(| )()()()(_0_0_0_0fssFdtetfstfetdfedtedttdfdttdfLstststst_)0(_)0()(_)0(_)0()(_)0()()()()(1121111_022_022ffsFsffssFsfssFdtedttdfdtedttfddttfdLstst依此类推，依此

23、类推， 可以得到高阶导数的可以得到高阶导数的 L 变换变换 _)0()()()(110rrnnrnnnfssFsdttfd第43页00000022000000022000220( )sin( ),(0_)0,( )( )cos( )sin( )cos( )(0_)0( )sin( )cos( )sin( )( )( )( )( )f tttfF sftttttttfftttttttts F sF sF ss 例题：求解：两边去拉氏变换第44页六、时域积分特性（积分定理）六、时域积分特性（积分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 )(1d)(0sFsxxfnnt( 1)11(

24、1)()1()1( )( )d( )(0 )( )( )d( )(0 )tnntnnn mmmftf xxs F ssfftf xxsF ssf 例例1: t2 (t)? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt第45页t00t0000( )( )1( )( )( )ssF( )( )s( )F( )( )ssstststttttffeefff t esffddddddtfdsdd 000-采用分部积分法得：上式第一证明如下：根据项为0，故定义如果积分区间从- 开始，则LLLL( 1)( 1)(0)( )( )(0)( )ttffF sffssdd则为

25、如用表示L第46页例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图 ,求求F(s)f(t)t022解解：对：对f(t)求导得求导得f(t)，如图，如图f(t)t(-2)120)0()(d)( 0ftfxxft由于由于f(t)为因果信号，故为因果信号，故f(0-)=0txxftf0d)( )(f(t)=(t)(t 2) 2(t 2) F1(s)221(1 e)2esssssFsF)()(1第47页七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2 则则 f1(t)*f2(t) F1(s)F2

26、(s) 复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 121212121( )( )( )()d2jRe ,Re cjcjf t f tFF sssc 第48页八、八、s s域微分和积分域微分和积分 若若f(t) F(s) , Res 0, 则则 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()(第49页例例2：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan2arctand11)(sin2例例3：?e12tt2

27、11e12sstssssssstesst2ln211ln1d)21111(12第50页九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f()，而不，而不必求出原函数必求出原函数f(t)初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含 (t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)为真分式，若为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则为假分式化为真分式），则 )(lim)(lim)0(0ssFtffst终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，并且时存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，则，则

28、 )(lim)(0ssFfs第51页0ssss1( ),(0 )(0 )lim( )lim( )12s( ),(0 )12s2( )2112( )2 ( )s2(0 )lim( )kslimlim2111stF sfsff tsF sF sfsF sssfsF ssf tt 例题：已知求？解：即单位阶跃信号的初始值为1例题：已知求？解（可以看：到含有项）第52页例：例：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例：例：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221)(

29、2ssssF第53页第三节第三节拉氏反变换拉氏反变换第54页拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F(s)变换为原函数f(t)的运算。 定义为：dtesFjsFLtfstjj)(21)()(1这个公式的被积函数是一个复变函数， 其积分是沿着收敛区内的直线-j+j进行。这个积分可以用复变函数积分计算。但一般情况下计算函数比计算积分更容易，因此可以利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求反变换。但当象函数为有理函数时，更简便的是代数方法，这种方法称为“部分分式法”。第55页直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法 （1）查表）查表

30、（2）利用性质）利用性质 （3） 部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理分解为有理多项式多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 )()()()(0sAsBsPsF第56页6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉普拉斯逆的拉

31、普拉斯逆变换由冲激函数构成。变换由冲激函数构成。 下面主要讨论有理真分式的情形。下面主要讨论有理真分式的情形。 部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式（的实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm式中式中A(s)称为称为F(s)的的特征多项式特征多项式，方程，方程A(s)=0称为称为特征方程特征方程，它的根称为它的根称为特征根特征根，也称为，也称为F(s)的的固有频率固有频率（或自然频（或自然频率）。率）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)的极点。的极点。 第57页（1）F(s)

32、为单极点（单根）为单极点（单根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpii例例:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆变换312( )13kkkF smnsss解：部分分解法（）10010(2)(5)100( )(1)(3)3ssssksF sss其 中第58页211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss s 解 ：333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s ( )1002010313(3)F ssss解：)(e310e203100)(3ttft

33、t第59页例例2:32597( ),(1)(2)sssF sss已知求其逆变换( )F s解：长除法23277223795232223232ssssssssssssss第60页12( )212kkF ssss解 ： 分 式 分 解 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其 中 21( )212F ssss)()ee2()(2)( )(2ttttftt第61页特例特例：若：若F(s)包含共轭复根时包含共轭复根时(p1,2 = j )j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKBAKsFsKsje|)()j(j1j1K2 = K1*j

34、e|je|jj)(j1j1211sKsKsKsKsF f1(t)=2|K1|e- tcos( t+ ) (t) 若写为若写为K1,2 = A jBf1(t)= 2e- tAcos( t) Bsin( t) (t) 第62页例例223( ),(25)(2)sF ssss已知求其逆变换23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 1,2, (1,2)pj 2112312:(12)(2)5sjsjksjs 解 其 中第63页12, (,)55AjBAB 1 , 2即 k2237(12)(12)5ssksjsj121275555( )12125(2)jjF

35、ssjsjs 解：1,212,55AB )(e57)2sin(52)2cos(51e2)(2ttttftt第64页例例： 求象函数求象函数F(s)的原函数的原函数f(t)。 )22)(1)(1(42)(2223sssssssssF解：解：A(s)=0有有6个单根，它们分别是个单根，它们分别是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1 j1，故，故 jsKjsKjsKjsKsKsKsF111)(654321 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej( /2) ,K4=K3*=(1/

36、2)e-j( /2) K5= (s+1 j)F(s)|s=-1+j= 43e21jK6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt第65页（2）F(s)有重极点（重根）有重极点（重根） 若若A(s) = 0在在s = p1处有处有r重根，重根， )(.)()()()()(111112111psKpsKpsKsAsBsFrrr K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 1)()(dd)!1(11111psrrrrsFpssrK1!( ),nnnL tts利用复频移特性，可得)(e!1)(11111ttnpsLtpnn第6

37、6页举例举例: :32( ),(1)sF ss s已 知求 其 逆 变 换131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss解：312( )(1)( )sF ssF ss令11 1112()3spsskFss 其 中112121(2) 1( )2spsdsskFsdss第67页12131241114( )222sspdskFsdss 23002()2(1)sssksFss 32( )(1)(1)()Fsssss)()2e2e2e23()(2ttttfttt第68页第四节第四节复频域复频域分析分析第69页一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式

38、为阶系统的微分方程的一般形式为 nimjjjiitfbtya00)()()()(系统的初始状态为系统的初始状态为y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路思路：用：用拉普拉斯变换微分特性拉普拉斯变换微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssYsty若若f (t)在在t = 0时接入系统，则时接入系统，则 f (j )(t) s j F(s)第70页niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()(例例1 描述某描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (

39、t)已知初始状态已知初始状态y(0-) = 1，y(0-)= -1，激励，激励f (t) = 5cost (t)，求系统的全响应求系统的全响应y(t)解解： 方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得y(t)， yx(t)， yf(t)s域的代数方程)()()()()()()0()(0000)(101sFsAsBsAsMsFsasbsaysasYniiimjjjniiinipippiiYx(s)Yf(s)第71页1522)3)(2(42ssssssjsjssssjj6 .266 .26e5e5243122y(t)= 2e2t (t) e3t (t) _ 4e2t (t) + )()6 .

40、26cos(52tt)(65) 3(265)0(5)0( )0()(22sFsssssyysysY15)(2sssFYx(s)Yf(s)第72页二、系统函数二、系统函数 系统函数系统函数H(s)定义为定义为 )()()()()(fdefsAsBsFsYsH它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。无关。)()()()(fsFsAsBsYyf(t)= h(t)*f (t)H(s)= L h(t)Yf(s)= L h(t)F(s)第73页例例2 已知当输入已知当输入f (t)= e-t (t)时，某时，某LTI因果系统的零状态响应因果

41、系统的零状态响应 yf(t) = (3e-t -4e-2t + e-3t) (t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。 解解:65823224) 3)(2()4(2)()()(2fsssssssssFsYsHh(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆变换取逆变换 yf(t)+5yf(t)+6yf(t) = 2f (t)+ 8f (t) 第74页三、系统的三、系统的

42、s s域框图域框图( (只关心零状态响应）只关心零状态响应） 时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)tftyd)()(af(t)y(t) = a f (t)s域框图基本单元域框图基本单元s1F(s)Y(s) = s1F(s)aF(s)Y(s) = a F(s)f1(t)f2(t)y(t) = f1(t)+ f2(t)+F1(s)Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+第75页4132f (t)y(t)X(s)s-1X(s)s-2X(s)例例3 如图框图，列出其微分方程如图框图，列出其微分方程解解 画出画出s域框图域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为设左边加法器输出为

43、X(s)， 如图如图X(s) = F(s) 3s-1X(s) 2s-2X(s) s域的代数方程Y(s) = X(s) + 4s-2X(s) )(2311)(21sFsssX)(23141212sFsss)(23422sFsss微分方程为微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求再求h(t)?第76页四、电路的四、电路的s域模型域模型 对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换 1、电阻、电阻 u(t)= R i(t)2、电感、电感 ttiLtuLd)(d)(U(s)= sLIL(s) LiL(0-) sisUsLsILL)0()(1)(i(t)u(

44、t)RI(s)U(s)RLu(t)iL(t)U(s)= R I(s ) U(s)sLIL(s)LiL(0 -)IL(s)sLiL(0 -)/sU(s)或元件元件的的s域域模型模型第77页3、电容、电容 ttuCtiCd)(d)(I(s)=sCUC(s) CuC(0-) susIsCsUCC)0()(1)(I(s)UC(s)CuC(0 -)或sC1suC)0(sC1I(s)UC(s)Ci(t)uC(t)4、KCL、KVL方程方程 0)(ti 0)(tu 0)(sI 0)(sU第78页1. 积分微分方程的拉普拉斯变换 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；

45、 直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。求解求解s s域方程。域方程。( )( )F sf t，得到时域解答。，得到时域解答。第79页+-R(t)e(t)LC( )( )( )tRi tide t例：如图所示的电路，激励电压为e(t),响应电流为i(t)，列微积分方程为：di(t)1LdtCCCLs ( )(0)(0)UI( )ULLtI sLiiid 对上式两边进行拉普拉斯变换，并且由拉普拉斯变换的微分性质有di(t)Ldt反映初始磁场储能的电感中的初始电流。同样由拉普拉斯变换积分性有：(0)1(s)CCss(0)反映初始电场储能的电容中的初始电压LL第80页CC

46、CUILs ( )(0)R ( )( )UU( )(0)( )(0)( )1( )Ls+R+( )LLLI sLiI sE sE sLiE sLiI sZ sI s从而可得到微分方程的拉普拉斯变换为(0)(s)Css利用此代数方程可得复频域中的响应为：(0)(0)ssCs对求拉普拉斯反变换即可得时域解i(t).因为初始条件都已包含，因此所得是响应的全解。第81页2. 从信号分解的角度看拉普拉斯变换从信号分解的角度看拉普拉斯变换事实上在事实上在s域中电感和电容的运算阻抗与等幅正弦信号的运算阻抗域中电感和电容的运算阻抗与等幅正弦信号的运算阻抗1s,ssj Lj Cj及具有相同的形式，只不过在运算阻

47、抗中用 代替了复数阻抗中的这样就可以很方便的从 域的电路模型直接列出 域的方程来直接求解。第82页网络网络s域等效模型及其响应求解方法域等效模型及其响应求解方法 将网络中激励、响应以及所有元件分别用将网络中激励、响应以及所有元件分别用s域等效模型表域等效模型表示后，得到网络示后，得到网络s域等效模型域等效模型 (运算电路运算电路)。利用网络的。利用网络的s域等效模型，可以用类似求解直流电路的方法在域等效模型，可以用类似求解直流电路的方法在s域求解域求解响应，最后再经反变换得到所需的时域结果。响应，最后再经反变换得到所需的时域结果。第83页图 一个RLC电路系统第84页图图 上图中电路的上图中电路的s域网络模型域网络模型第85页例例 电路如图所示，激励为电路如图所示，激励为e(t)，响应为，响应为i(t)，求，求s域等效模型及响域等效模型及响应的应的s域方程。域方程。解：依据解：依据s域等效模型（运算等效电路），列网孔方程域等效模型（运算等效电路），列网孔方程: sLisEsICsRLsCL_)0(_)0()()(1解出解出 )(/_)0(_)0()(/1/_)0(_)0()()(sZsLisECsRLssLis