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文档简介

1、第六章 平稳时间序列模型时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点,对于制定精确定价和预测决策是至关重要的,近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。Engle和Grange因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖,就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统应用较广的是Box和Jenkins(1970)提出的ARIMA(自回归求和移动平均)方法;Engle(1982)提出了ARCH模型(一阶自回归条件异方差),用以研

2、究非线性金融时间序列模型,由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。随着时间序列分析理论和方法的发展,美国学者Schemas和Lebanon发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象,米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似,非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。就数学方法而言,平稳随机序列的统计分析,在理论上的发展比较成熟,从而构成时间序列分析的基础。因此,本章从基本的平稳时间序列讲起。第一节 基本概念一、随机过程 在概率论和数理统计中,随机变量是分析随机现象的有力工具。对于一些简单的随机现象,一个随机变量就足够了,如候车人数,某单位一天的总用水量等。对于一些

3、复杂的随机现象,用一个随机变量来描述就不够了,而需要用若干个随机变量来加以刻画。例如平面上的随机点,某企业一天的工作情况(产量、次品率、耗电量、出勤人数等)都需要用多个随机变量来刻画。还有些随机现象,要认识它必须研究其发展变化过程,这一类随机现象不能只用一个或多个随机变量来描述,而必须考察其动态变化过程,随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。例如,某一天电话的呼叫次数,它是一个随机变量。若考察它随时间变动的情况,则需要考察依赖于时间的随机变量,就是一个随机过程。又例如,某国某年的总量,是一个随机变量,但若考查它随时间变化的情形,则就是一个随机过程。一般地,若对于每一特定的(),为一随机变量,

4、则称这一族随机变量为一个随机过程。随机过程的分类一般有两种方法:(1)以参数集和的取值的特征来分类;(2)以统计特征或概率特征来分类。为了简便,我们以参数集和的取值的特征来分类。以参数集的性质,随机过程可分为两大类:为可数集合与不可数集合。以所取的值的特征,随机过程也可以分为两大类:离散状态,即所取的值是离散的点;连续状态,即所取的值是连续的。由此可将随机过程分为以下四类:离散参数离散型随机过程;连续参数离散型随机过程;连续参数连续型随机过程;离散参数连续型随机过程。二、时间序列离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列,简称为时间序列。经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的

5、一个实现。时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法,是统计学的一个分支。时间序列的特点是:序列中的数据依赖于时间顺序;序列中每个数据的取值具有一定的随机性;序列中前后的数值有一定的相关性-系统的动态规律;序列整体上呈现某种趋势性或周期性。时间序列的统计特征通常用其分布及数字特征来刻画。例如期望,方差和协方差。研究时间序列具有重要的现实意义,通过对时间序列的分析和研究,认识系统的结构特征(如趋势的类型,周期波动的周期、振幅,等等);揭示系统的运行规律;进而预测或控制系统的未来行为,或修正和重新设计系统(如改变参数、周期等)按照新的结构运行。三、时间序列的平稳性与滞后算子所谓

6、时间序列的平稳性,是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。也就是说,生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。以平稳时间序列数据作为计量经济模型变量的观测值时,其估计方法、检验过程才可能采用前面几章所介绍的方法。直观上,一个平稳的时间序列可以看做作一条围绕其均值上下波动的曲线。从理论上,有两种意义的平稳性,一是严格平稳,另一是弱平稳。严格平稳是指随机过程的联合分布函数与时间的位移无关。设为一随机过程,为任意正整数, 为任意实数,若联合分布函数满足: (6.1) 则称为严格平稳过程,它的分布结构不随时间推移而变化。弱平稳是指随机过程的期望、方差和协方差不随时间推移而变化

7、。若满足以下三条件: , (6.2) 则称为弱平稳随机过程。在以后的讨论中,关于平稳性的概念通常是指弱平稳,弱平稳通常也被称作宽平稳。 需要注意的是严平稳和弱平稳之间的关系:只有具有有限二阶矩的严平稳过程,才是弱平稳过程;弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩,即它并没有规定分布函数的性质,所以弱平稳并不一定属于严平稳。由于时间序列分析中经常用到白噪声过程,所以有必要对它介绍一下。对于一个随机过程,如果;,则称为白噪声过程。白噪声是平稳的随机过程,因其均值为零,方差不变,随机变量之间非相关。显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。如果 同时还服从正态分布,则它就是一个严平稳的随机过程。白噪声源于物理学与电

8、学,原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。下图是由噪声过程产生的时间序列。 图1 由白噪声过程产生的时间序列 图2 日元对美元汇率的收益率序列 在时间序列分析中,我们经常要用到滞后算子,它的定义为这个滞后算子是把一个时间序列转换成另一新的时间序列的映射。如果应用两次滞后算子,我们有记两个滞后算子的乘积为,有。规定,即它是一个恒等映射。滞后算子的逆算子满足。一般地,对于任意的整数,我们有滞后算子对于数量乘法和加法满足交换律和分配律,即对于任意的常数和时间序列,我们有 这样如果,那么有另一个例子是像这样的表达式我们称之为滞后算子多项式。第二节 移动平均()过程在金融收益率序列的建模中

9、有一类简单模型是滑动平均模型(Moving-Average Model, 缩写为MA模型),它可以看作是白噪声序列的简单推广。一一阶移动平均过程如果满足白噪声过程,定义过程 (6.3) 其中和为常数,这个序列称为一阶移动平均过程。期望为 (6.4) 方差为 (6.5)一阶自协方差为 (6.6)高阶自协方差为 () (6.7)上述均值和协方差都不是时间的函数,因此不管为何,过程都是协方差平稳的。而一阶自相关系数 (6.8)高阶自相关系数均为0。此时自相关函数在1阶处截尾。例1 ,此时 , 此时这时MA(1)序列与具有相同的相关系数,那么选择哪一个模型更为合适呢? 对于MA(1)过程,还有几点值得

10、注意:(1) 正的值得到正的自相关系数,一个大的后面通常是一个比平均值大的;(2) 负的正的值得到负的自相关系数,一个大的后面通常是一个比平均值小的;(3) 自相关系数的取值区间,并且对于每一个,都有和与之对应;(4)某些金融时间序列可能是零均值,这时就应当是把这个常数均值从模型中移除,使得MA(1)模型变为。二阶移动平均过程:阶滑动平均过程的表达式为: (6.9) 其中为白噪声过程,为任何实数。其均值、方差、自协方差和自相关函数分别为: (6.10) (6.11) (6.12)即自协方差函数在阶处截尾。由(12)式立即可得阶移动平均过程的自相关函数为 (6.13)(13)式告诉我们,当移动平

11、均过程的阶为时,间隔期大于的自相关函数值为零。这个性质称为的自相关函数的截尾性,意思是说,自相关函数的图形随着自变量k到达时突然被截去。的截尾性给我们一个重要启示:如果某时间序列是来自一个移动平均过程,则当该时间序列的样本自相关函数,从某个间隔期开始,其值均为零时,我们就可以推测,原时间序列的阶数为。例2 过程 容易算得 ,;,。例3 下式为一个一阶移动平均过程其中是高斯白噪声过程,表1是它容量为100的一个样本。表1 一阶自回归过程的一个实现tttt10.8855262.23351-0.1954761.370724.2934271.2258520.2623773.27483-0.107128

12、1.0914532.6973784.64240.0796293.8662541.5055794.51452.8523303.6584551.8346806.337262.480131-1.2055562.371813.002572.300332-0.5732571.4937821.987781.0175331.2197581.2863831.874393.2323341.4091592.0144842.1319102.499935-0.844601.7401850.4165112.300736-1.031661-0.299386-1.1645123.1032371.1887621.393387

13、1.3004133.1367381.7468630.366881.0471142.4248390.5279642.5341891.3628152.5574400.1392653.2576900.7714162.5946410.992661.0231913.2516171.1813422.8198672.6489923.1616180.230543-0.603682.1931.6074192.311544-0.4252692.183942.589320-0.0818450.1535701.6981952.321821-3.168846-1.1038712.3432960.8638220.5128

14、471.0635723.7589972.582232.4507482.0526733.9677982.4109240.8341491.7068743.0588990.8723251.259550-0.8452751.63041003.4713(1)画出的线图;(2)求的总体自相关函数;(3)根据表中样本求样本自相关函数。 在EViews中输入命令 Plot y,可得该样本的线图如下 图3 过程的线图根据公式(13)式,容易求得的总体自相关函数为在EViews中双击序列 ,然后点击ViewCorrelograms,选择水平序列可得Autocorrelation and Partial corre

15、lations函数图如下, 图4 过程的自相关与偏相关柱状图从上图的样本自相关函数值可以看出:滞后2期的自相关函数值与相比,大幅度减少,的样本自相关函数值越来越小。三无限阶移动平均过程对于一个过程,如果让,我们就得到如下的过程: (6.14) 我们称此过程为过程,这里。我们可以证明:如果过程的系数是平方可和的,即 那么是一个平稳的过程。一般地我们用一个更强的绝对可和条件来代替平方可和条件,绝对可和蕴涵平方可和。系数是绝对可和的过程的均值和自协方差分别为 (6.15) (6.16) (6.17)四、移动平均过程的识别由(13)式可知,MA过程的阶等于自相关函数值不为零的最大滞后阶数k。我们怎么能

16、够由可得之时间序列来判断MA过程的自相关函数在某处(即某间隔长度)的值为零呢?从例3可知,即使是MA过程的自相关函数在某处的真值为零,但由MA过程所产生的一个实现来计算的样本自相关函数在同一处的值却不等于零。这表明,我们不能因为样本自相关函数在某处的值不为零来断定总体自相关函数在同一处的值也不为零。幸而,我们可以知道样本自相关函数值的分布。这样,我们就可以根据样本自相关函数值的分布来进行总体相应的自相关函数值是否为零的显著性检验。根据George G. Judge (1982)等所述 George G. Judge, R. Carter Hill, William E. Griffiths,

17、Helmut Lütkepohl, and Tsoung-Chao Lee “Introduction to the Theory and Practice of Econometrics”, p.692, Copyright 1982, 1988 by John Wiley & Sons, Inc. ,在样本充分大的条件下,自相关函数的置信度为95%的置区间近似为 (6.18) 其中,为样本自相关函数,n为样本容量。于是我们有:如果自相关函数值,则在大样本条件下,相应的样本自相关函数值以95%的概率落入区间。由此可得显著性检验程序如下:第一步:根据所得随机时间序列的一个样本

18、计算样本自相关函数值。第二步:检验是否落入区间,或者检验的绝对值是否小于:如果落入区间或其绝对值小于,则在5%的显著性水平下,不拒绝;如果在区间之外或其绝对值大于,则拒绝。例4 设时间序列是来自MA过程,表2的数据是它的一个样本容量为48的一个实现,试确定这个MA过程的阶。表2 移动平均过程的一个实现时期 t时期 t时期 t11.542178172.255198334.2255622.477647182.892425345.4602334.423028192.715419354.06683244.964234202.453714362.42549555.452143212.433565373.

19、36086161.856292224.120497383.02375971.455666233.7203393.52881783.954514242.762672402.0103892.570313252.375098411.286251101.657775264.664288420.970086110.895445275.049431.72418120.13883285.895059442.749795130.914224293.770486453.00863141.639915304.268512462.694154150.417965312.384476475.000872161.161

20、316322.57151482.574218解 由表2,根据样本自相关系数,计算可得的一系列值:12345670.5760.2510.1340.1930.2190.092-0.124而,显然有故在5%的显著性水平下,拒绝,接受,当。这表明表2的数据产生于一个MA(1)过程。五、移动平均过程的参数估计移动平均过程的参数据估计就是在已确定移动平均过程的阶以后,根据它的一个现实或样本,来估计移动平均过程的均值,诸移动平均系数(或称权数),以及被假定为白噪声过程或高斯白噪声过程的的方差。由于不可逆的移动平均过程意义不大,所以我们只研究的可逆的移动平均过程,因为有限阶移动平均过程是平稳的,所以其均值为常

21、数,而这个常数完全可以由样本平均数来估计。因此,均值的估计也就不成为问题。正因为如此,不失一般性,我们假定的均值,以便于对其它参数的估计(若不然,只要将移动平均过程的每一项减去其均值,而均值的估计值是可得的)。故可设 (6.19)其中是一白噪声过程。估计(6.19)式中的参数的一个直接方法是将它化成的形式(因为它是可逆的,所以这种转换是可行的):即 (6.20)求使上式所表示的计量经济学模型的残差平方和最小的诸,即求诸,使 (6.21)最小。但由于样本容量是有限值n,所以上式可简化为 (6.22)即,我们的估计问题首先就是要求求诸,使最小()。当我们估计出诸以后,再根据诸与诸的关系,求出诸的估

22、计值,而的方差则可由下式估计: (6.23)或 (6.24)上述过程所用的方法是最小二乘法,但是由于诸与诸的关系十分复杂,所以上述估计属于非线性估计,往往要在一组初始值下进行迭代。有计量经济学软件EViews中有相应的程序对过程进行参数估计。例如:如要估计MA(2)过程,则估计命令为Ls y c MA(1) MA(2) 下图是某MA(2)序列的EViews估计的输出结果图5 MA(2)过程的EViews估计结果若假设(6.19)式中是一高斯白噪声过程,则可用最大似然估计来估计模型中的参数。例如对于高斯过程 (6.25)其中。表示要估计的总体参数。如果已知,则 (6.26)其概率密度函数为: (

23、6.27)如果已知,则 (6.28)给定观察值,则就是确定的 (6.29)代入(6.27),得到 (6.30)因为确知,可由下式求出: (6.31)通过迭代法由求出整个序列: (6.33),从开始。则第个观测值的条件密度为: (6.34)则样本似然函数为 (6.35)条件对数似然函数为 (6.36)其中,利用(6.33)和观察值序列可以求出隐含的白噪声序列。但是条件似然函数仍然是非线性函数。需要使用数值解法求参数。第三节 自回归(AR)过程另一类常用的模型是自回归模型(Auto Regressive Model,缩写为AR模型)。自回归模型之所以有吸引力是因为它与很传统的线性回归模型非常相像。

24、美国芝加哥大学证券价格研究中心(CRSP)价值指数的月收益率具有统计显著的间隔为1的自相关系数,这表明延迟的收益在预测时会有一定的作用,描述这样的预测功能的模型就是所谓的一阶自回归模型。一一阶自回归过程表达式为方程: (6.37)为白噪声序列。如果,过程(6.37)中对的影响随着时间累增而不是消失,过程不是有限方差的协方差平稳过程。这个过程一般称为爆炸性过程。当时,过程为协方差平稳过程,此时利用滞后算子过程变为: (6.38)利用求逆,从而得到此过程的解为过程: (6.39)明显,当时,满足绝对可加性: (6.40)此时过程的均值、方差、自协方差函数和自相关函数分别为: (6.41) (6.4

25、2) (6.43) 从自相关函数可以发现:当时,自相关函数按几何方式衰减。增加一个单位对于的影响等于和之间的相关系数。正的值意味着和之间正相关。负的值意味着和之间负相关。此时自相关函数拖尾。如果假定过程是协方差平稳的,可直接利用差分方程计算各阶矩。对(6.37)式两边取期望: 从而, (6.44)对(6.37)式变形,得到: 或 (6.45)两边平方求期望: 将代入(25),可得 从而得到协方差平稳过程的方差: (6.46)根据同样的道理,(6.37)两侧同时乘以,再求期望,可得自协方差函数: 即 (6.47)解自协方差函数的差分方程,得到 (6.48)自相关函数为: (6.49)二二阶自回归

26、过程表达式为 (6.50)或者写成滞后算子形式: (6.51)差分方程(6.51)的平稳条件是特征方程的根都落在单位圆外。此时自回归算子的逆为: (6.52)这里的由矩阵的第个元素给出。将(6.51)两边同时乘以得到: 显然 (6.53)也可直接对(6.50)两边取期望,从而有 (6.54)再次得到 (6.55)系统(6.50)变形为 进一步变形 (6.56) 两边同时乘以,求期望,得到 (6.57)两边同时除以,得到 (6.58)可见,对于过程,其自协方差和自相关函数仍然是差分方程。当时,;当时,;由此通过逐次求解迭代就可以求得自相关函数。自相关函数仍然具有拖尾特征。下面我们求二阶自回归过程

27、的方差。(6.56)两侧同时乘以,再求期望得到: 即 整理一下,得到 (6.59)三阶自回归过程表达式为: (6.60)其平稳性条件为特征方程的根都在单位圆外。假设过程协方差平稳,则对(6.60)两边求期望,得到: 从而可以得到均值: (6.61)表达式(6.60)可以写成: (6.62)表达式两侧同时乘以,再取期望可得自协方差: (6.63)已知,因此得到结论:当时,是的函数。(6.63)两侧同时除以,得到尤拉-沃克(Yule-Walker)方程: (6.64)因此表达式(6.63)和(6.64)表明,阶自回归过程的自协方差函数和自相关函数具有相同形式的阶差分方程,其自相关函数的具有拖尾特征

28、。也就是说随着k的增大,的绝对值逐渐下降,但是不会到某一点以后被突然截断,而是一直拖下去,我们称自回归模型的自相关函数的这种特性为自回归模型的自相关函数的拖尾性。显然自相关函数的拖尾性是AR模型的特征而自相关函数的截尾性则是MA模型的特征。但是用自相关函数的拖尾性并不足以说明时间序列是来自自回归过程。自相关函数的拖尾性和偏自相关函数的截尾性往往就能说明时间序列是来自自回归过程。下面引入偏自相关函数的概念。在(6.64)式中令,得到如下的Yule-Walker方程组 (6.65)其中运用了和。当为已知时,可从Yule-Walker方程组中解出诸。但用方程(6.65)求解诸需要先知道自回归过程的阶

29、数p,但是我们并不知道。因此,我们可以分别求解。当时,求解方程组(6.65),并利用样本自相关函数,得的估计值。如果显著地不为零,则自回归过程的阶数至少为1。记为。当时,求解方程组(6.65),并利用样本自相关函数,得和的估计值,设的估计值为。如果显著地不为零,则自回归过程的阶数至少为2。记为。对p连续取值3,4,重复上述过程,如对,得到的估计值,记为,等等。我们称序列,为偏相关函数。四、自回归过程的识别从上述偏相关函数的概念中可知,我们可以从偏相关函数的特性来推测自回归过程的阶数:按上述求偏相关函数值的方法求得偏相关函数的值并作显著性检验,如果在p的某一个取值m,显著地不为零,而此后的不显著

30、,则自回归过程的阶数为m。所以当自回归过程的阶数确实为p时,则为零而近似为零。为了进行显著性检验需要知道偏相关函数的分布特征。好在我们有如是结果:近似地服从均值0,方差为的正态分布(n为样本容量)。因此,可以在显著性水平5%下,通过考察的绝对值是否大于检验是否显著地不为0。例5 由方程(为高斯白噪声)产生一个样本容量为100的时间序列。根据所产生的时间序列样本求样本自相关函数和偏自相关函数并由此确定其阶数,看一看结果是否与生成机制相吻合。 显然随机过程是平稳的AR(2)过程。因为它的特征多项式的根均在单位园之外。据此可计算出它的均值为,以均值作为初始值去生成时间序列即令根据生成机制,由随机数发

31、生器生成容量为100的时间序列如表3。表3 二阶自回归过程的一个实现tttt119.699772616.97945116.258577621.44384218.512152719.306685218.563257719.84629319.142722819.776235316.966227818.62228420.378812922.080355416.935437919.71618521.292063020.756595518.005768020.16418622.713343122.607145618.457838122.26385719.974163220.363915719.39624

32、8223.06129820.29043321.315125819.864678323.89958921.293133421.895565918.412678423.454921019.876573523.508836017.746078523.200311119.482023622.750776118.798778623.38491217.92233722.103516219.030998722.983981316.59513822.697756318.141618821.711091416.22343921.92786418.264388920.019751515.901894022.646

33、626518.544929021.184381614.258084120.794016619.192129121.277241714.593114220.23796719.282189221.748851814.662744318.803766818.424999321.693121915.317394418.847336920.638789420.508022015.289234518.921417020.619349521.932432115.438954619.042577120.633539621.143092215.494874718.791367221.397189720.3467

34、32317.276844821.156977321.966749819.65022417.107484918.825677421.019629919.395492517.244455018.672887520.1838910019.05352用计量经济学软件EViews可得样本自相关函数和偏自相关函数如表4表4 一个人造时间序列的样本自相关函数和偏自相关函数kkk10.8730.87311-0.018-0.16921-0.2930.11920.7950.14112-0.104-0.11022-0.284-0.08230.679-0.17413-0.189-0.08723-0.2240.1194

35、0.5970.03114-0.2470.03224-0.1810.09650.479-0.15115-0.316-0.05725-0.129-0.06560.378-0.07116-0.364-0.03326-0.107-0.14070.276-0.03017-0.3510.23127-0.081-0.10880.2100.05718-0.365-0.15828-0.0570.01390.1450.00419-0.3410.02429-0.0160.080100.074-0.10720-0.345-0.06530-0.012-0.060从表4可知,样本自相关函数是拖尾的。由于当显著性水平为5%

36、时,偏自相关函数在处是显著的(因为),当显著性水平为16%时,偏相关函数在时的值才是显著的,当显著性水平为10%时,偏相关函数在时的值是显著的,当时即使显著性水平很低(即代表显著性水平的很大),偏相关函数的值也是不显著的,这说明自相关函数至少在处断尾,所以表3中的序列是来自AR过程,而偏相关函数在和处的值实际上是处在显著与不显著之间,因此,我们可以说表4所表示的时间序列可能来自AR(1)、AR(2)或者AR(3),如果采用中庸之道,则可以认为它来自AR(2),这就与它的产生机制相吻合了。表3所代表的时间序列的图形如图6所示。图6 自回归过程产生的典型序列五、有限阶自回归过程的估计1、过程的Yu

37、le-Walker估计模型的自回归系数由模型的自协方差函数通过由拉沃克方程 (6.66)确定。白噪声的方差为 (6.67)从样本观测值可以构造出样本自协方差函数的估计: (6.68)因此根据自协方差函数的估计,可以联合求解除系数估计量。2、最小二乘估计在相异根的条件下,自协方差解: (6.69)其中特征根为特征方程的解。如果特征方程的根互不相同,那么我们有这里是由个初始值确定的待定系数。我们能够证明这个初始值是矩阵的第一列的前面个元。这里我们可以利用最小二乘法来估计过程中的未知参数。把观察值代入方程(6.60)中可得 把它写成矩阵的形式为这里 , 参数向量的最小二乘估计量为如果服从正态分布,那

38、么最小二乘法估计量是相合的和渐近正态的。第四节 自回归移动平均过程如果混合自回归移动平均过程中自回归部分的阶数为零,则它就成为一个纯移动平均过程;如果混合自回归移动平均过程中移动平均部分的阶数为零,则它就成为一个纯自回归过程。所以AR过程和MA过程均可看成是ARMA过程的特例。一、过程的性质表达式为: (6.70)写成滞后算子的形式为: (6.71)两侧同时除以,从而得到 (6.72)其中从而可以发现,过程的平稳性完全取决于回归参数而与移动平均参数无关。即过程的平稳性条件为特征方程: (6.73)的根在单位圆外。方程(6.70)变形可得 (6.74)两边同时乘以,求期望得到自协方差。当时,结果

39、方程的形式阶自协方差形式: (6.75)从而解为 (6.76)时的自协方差函数比较复杂,并且不具有应用意义。不过过程的自相关函数都具有拖尾特征。过程容易出现的两个问题:(1)首先就是过度参数化问题。例如一个白噪声过程也可以用表示。此时无论取何值,利用都能够很好的拟合数据,因此造成估计的困难。(2)过程的表达式(6.71)的滞后多项式进行因式分解得到 假设自回归算子和移动平均算子存在共同根(公因子),同时除以公因子,得到的过程和原来的过程相同。二、过程的识别ARMA(p,q)过程既有自回归的某些性质又有移动平均的某些性质,从其自相关函数来看,它与纯自回归过程一样是拖尾的;从其偏自相关函数来看,它

40、和移动纯正平均过程一样也是拖尾的。所以判断一个平衡的线性时间序列过程是否为混合自回归移动平均过程的方法是:如果其自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的,则我们就可以断定这个线性时间序列是一个ARMA过程。ARMA模型的阶的确定是困难的。我们可直接借用Hannan与 Rissanen所提出的程序来识别 参见:E.J.Hannan and J.Rissanen,”Recursive Estimation of Mixed Autoregressive-Moving Average Order”, Biometrika, 69, 1982, p.81-94 .。第一步,用OLS对从AR(1)开始到一个相

41、当高阶的纯AR过程进行估计(因为一个未知的可逆ARMA过程等价于一个无限的AR过程,所以这样估计是合理的)。第二步,利用赤池信息准则(Akaikes Information criterion)决定其最大滞后长度,即求使函数 (6.77)最小的k作为自回归部分的可能阶中的最大者p。第三步,根据第二步的结果,作最小二乘回归得残差序列,利用残差序列拟合若干个模型,其中j表示移动平均部分的阶数,根据施瓦兹准则(Schwarz criterion)求使函数 (6.78)最小的与j分别作为自回归过程的阶p和移动平均过程的阶q。其中为我们所拟合的模型的随机扰动项的方差的最大似然估计。此外,还可直接从较低的

42、阶开始拟合混合自回归移动平均过程,然后逐渐增加阶数,分别检验不同阶数的拟合状况,选用拟合状况最好的阶作为所要识别的ARMA模型的阶。例 6 ARMA模型的识别。表5是根据并利用标准正态分布的随机数据发生器生成的一个样本容量为100的时间序列样本。在不考虑这个样本的形成机制条件下,根据这个样本拟合一个ARMA模型。表5 由ARMA过程生成的一个样本tttt119.699772616.867715115.816697620.88992218.332022718.998765217.01677720.513318.376112820.959565317.834837817.90157420.5253

43、62922.599765416.167577918.78084522.057943022.181985517.613618020.59098623.432353122.214195618.912458122.6469721.014043221.360795719.676278224.3847818.980253320.347685820.389448324.76583921.152623422.218925918.770118424.237261020.533593524.050146016.922968523.268091118.833623.902126118.129338623.386071217.508183722.05286219.447398723.25621315.580843822.383476318.335198821.695781415.115263922.3328

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