北师大版高中数学选修（1-2）-3.4名师点拨：反证法

1、1 1间接证明不是从正面论证命题的真实性，而间接证明不是从正面论证命题的真实性，而是通过证明它的等价命题，间接地达到证明的目的，是通过证明它的等价命题，间接地达到证明的目的，最常见的间接证明是反证法最常见的间接证明是反证法2 2间接论证的应用，有一定困难因为在间接间接论证的应用，有一定困难因为在间接证明过程中，不得不暂时离开所讨论的论题，引进许证明过程中，不得不暂时离开所讨论的论题，引进许多补充的材料多补充的材料( (如结论的反面等如结论的反面等) )，致使全部过程复杂，致使全部过程复杂化但这种方法我们务必学会，因为在学习中，时常化但这种方法我们务必学会，因为在学习中，时常会遇到这样的命题，当

2、时并无直接证明它的论据，必会遇到这样的命题，当时并无直接证明它的论据，必须用间接法来证明它的真实性须用间接法来证明它的真实性1 1反证法的原理反证法的原理反证法的原理是反证法的原理是“否定之否定等于肯定否定之否定等于肯定”反证法的主要依据是逻辑中的排中律排中律的反证法的主要依据是逻辑中的排中律排中律的一般表现形式是：或者是一般表现形式是：或者是A A，或者是非，或者是非A A，即在同一讨，即在同一讨论过程中，论过程中，A A和非和非A A有一个且仅有一个是对的不能有有一个且仅有一个是对的不能有第三种情形出现第三种情形出现2 2反证法证题的一般步骤反证法证题的一般步骤(1)(1)假设：假设所要证

3、明的结论不成立，即假设结假设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立；论的反面成立；(2)(2)归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾，归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾，这是反证法的核心，在推理论证的过程中要有意识地这是反证法的核心，在推理论证的过程中要有意识地制造矛盾和发现矛盾制造矛盾和发现矛盾反证法可以证明的命题范围相当广泛如：唯一反证法可以证明的命题范围相当广泛如：唯一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等常见的基

4、本题型是：整除问题，几何问题等常见的基本题型是：(1)(1)一些基本定理；一些基本定理；(2)(2)“否定性否定性”命题；命题；(3)(3)“唯一性唯一性”命题；命题；(4)(4)“必然性必然性”命题；命题；(5)(5)“至少至少”、“至多至多”命题命题常见的常见的“结论词结论词”与与“反设词反设词”归纳如下：归纳如下： 原结原结论词论词至少有一个至少有一个至多有一个至多有一个至少有至少有n n个个至多有至多有n n个个反设反设词词一个也没有一个也没有( (不存在不存在至少有两个至少有两个) )至多有至多有(n(n1)1)个个至少有至少有(n(n1)1)个个原结论词原结论词只有一个只有一个对任

5、意对任意x x成立成立对任意对任意x x不成立不成立反设词反设词没有或至没有或至少有两个少有两个存在某个存在某个x x不成立不成立存在某个存在某个x x成立成立原结论词原结论词都是都是一定是一定是p或或qp且且q反设词反设词不都是不都是不一定是不一定是綈 綈 p且且綈 綈 q綈 綈 p或或綈 綈 q1 1如果待证命题的相反判断有多种不同情况，需如果待证命题的相反判断有多种不同情况，需对各种不同情况一一导出矛盾，加以否定，才能使原对各种不同情况一一导出矛盾，加以否定，才能使原判断得到充分肯定判断得到充分肯定2 2有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况，有些待证命题的相反判断虽然只有一种情况，但在

6、证明过程中有必要进行分类，首先要求分类必须但在证明过程中有必要进行分类，首先要求分类必须详尽无遗漏，并且就各类一一导出矛盾详尽无遗漏，并且就各类一一导出矛盾3 3有些待证命题的相反判断是断言一个对象在有些待证命题的相反判断是断言一个对象在某一范围内恒有某种属性，对此只要我们能够在该某一范围内恒有某种属性，对此只要我们能够在该范围内举一特例导出矛盾，即可予以否定，从而达范围内举一特例导出矛盾，即可予以否定，从而达到证明的目的到证明的目的4 4用直接法证明几何问题时，所画的图形应力用直接法证明几何问题时，所画的图形应力求准确，但反证法恰好相反，我们往往故意画出不求准确，但反证法恰好相反，我们往往故意画出不正确的甚至不可能存在的图形，才便于探索导出矛正确的甚至不可能存在的图形，才便于探索导出矛盾的途径盾的途径5 5有些命题在证明过程中，可以连续运用反证有些命题在证明过程中，可以连续运用反证法，即反证法中套反证法法，即反证法中套反证法已知实数已知实数p满足不等式满足不等式(2p1)(p2)0，用反证法证明：，用反证法证明：关于关于x的方程的方程x22x5p20无实根无实根【错因错因】利用反证法进行证明时，首先对所要利用反证法进行证明时，首先对所要证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归证明的结论进行否定性的假设，并以此为条件进行归谬，得到矛盾，则原命题成立