材料力学-梁的弯曲问题课件

1、第十五章 梁的弯曲问题15.1 工程实际中的弯曲问题 梁在垂直于其轴线的荷载作用下要变弯，其轴线由原来的直线变成曲线，这种变形叫做弯曲变形。产生弯曲变形的构件称为受弯构件。AB一、平面弯曲的基本概念F2F1M工程实例 建筑工程中的各类梁、火车轴、水压作用下的水槽壁等。火车轴 厂房吊车梁 平面弯曲：梁的轴线在变形后仍保持在同一平面(荷载作用面)内，即梁的轴线成为一条平面曲线。 (a)ABF2F1 (c)对称（平面）弯曲(Planar bending) 对称平面 F2F1 (b) 梁的荷载和支座反力 一、梁的荷载 1 集中力：作用在微小局部上的横向力； 2 集中力偶：作用在通过梁轴线的平面（或与该

2、面平行的平面）内的力偶。MeF3 分布荷载：沿梁长连续分布的横向力。荷载集度：用q(x)表示 分布荷载的大小 均布荷载非均布荷载q(x)q(x)=C二、梁的支座及支座反力支座形式1 固定铰约束2 可动铰约束3 固定支座RFRyFRxFRyFRxFRM 计算简图 确定梁的“计算简图” 包含： 以梁的轴线经代替实际的梁； 以简化后的支座代替实际的支座； 实际支承理想支承 以简化后的荷载代替实际的荷载。 三、梁的分类 按支座情况 简支梁：一端固定铰，一端可动铰外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁悬臂梁：一端固定支座，另一端自由 按支座反力的求解方法 静定梁：用平衡方程可求出未知反力的梁；ABAMAFA

3、zFAxFAyFAxFB 超静定梁：仅用平衡方程不能求出全部未知反力的梁。FF 按梁的横截面 等截面梁：横截面沿梁的长度没有变化； 变截面梁：横截面沿梁的长度有变化。汽车钢板弹簧鱼腹梁15.2 梁的内力及其求法 一、求梁的内力的方法截面法0yF0OMM内力的形式及名称剪力弯矩N或kNNm或kNm11QFMFQFRAaAAFRAFRB laF1F20yF0OMRARA0MFaMFa内力的求法BF1FRAF2FQ M?RAQQRA0FFFFMFQFRAaA内力的正负号剪力弯矩MM M M FQFQ左上右下为正左下右上为负向上凹变形为正向上凸变形为负FQFQ 例1 图示简支梁受两个集中力作用，已知F

4、1=12kN，F2=10kN，试计算指定截面1-1、2-2的内力。0BM0yFRR120ABFFFFR15kNAFR7kNBF解：(1) 求支座反力12R2.51.530AFFF BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m(2)求1-1截面上的内力 0yF0OM1R1110.509kN mAMFFM FRAAFQ1M11mF10.5mkN301Q1Q1RAFFFFBAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m (3)求2-2截面上的内力 0yF0OM1222R1.507m2k.0N5AFFMMFF2F1AM2FQ2FRARA12Q2Q207kNFFFFF RA1

5、2Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFQ2RBFF BAF111FRAFRB3m1mF2221m1.5m0.5m 结论： 1 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或右侧）所有竖向力（包括斜向外力的竖向分力、约束反力）的代数和；且截面左边向上（右边向下）的外力使截面产生正号的剪力。 2 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或右侧）所有竖向力对该截面形心力矩的代数和（包括外力偶、约束反力偶）；且截面左边顺时针（右边逆时针）的力矩使截面产生正号的弯矩。RA12Q2FFFF1R2221.50.5AFMFFF2F1M2FQ2FRAMFQ 例2 试利用上述结论写出图示梁1-1截

6、面上的剪力和弯矩的表达式。M RBFsin2 Fql1F2lceqleMfFRBbfFsin2eF 1qF1FRBlbcMeF2de11fMFQQF 例3 求图示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。0BMR68 4.512 31.5AF R15kNAF0AMR68 1.512 34.5BF R29kNBFFRB解：(1)求支座反力FRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m(2)求1-1截面的剪力FQ1、弯矩M1根据1-1截面左侧的外力计算可得：1M1MR1587kNAFFR22 1.526kN mAFF R37kNBqFR32.5426kN mBqF根据1-1截面右

7、侧的外力计算可得可见计算结果完全相同。Q1FQ1FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m (3) 求2-2截面的剪力FQ2、弯矩M2 根据2-2截面右侧的外力计算可得：2MR1.511kNBqF R1.50.751.530kN mBqFQ2FFRBFRABq=12kN/mAF=8kN113m2m221.5m1.5m15.3 内力图剪力图和弯矩图 为了形象地看到内力的变化规律，通常将剪力、弯矩沿梁长的变化情况用图形表示出来，这种表示剪力和弯矩变化规律的图形分别称为剪力图和弯矩图。 xMM 函数图形 具体作法是： 剪力方程： 弯矩方程： xFFQQ 例4 求作图

8、示受均布荷载作用的简支梁的剪力图和弯矩图。 解：(1)求支座反力RR2ABqlFF QFx xMR2AlFqxqxR22AxqFxqxx lx(2)列出剪力方程和弯矩方程 取距左端为x处的任一截面，此截面的剪力和弯矩表达式分别为:xFRAFRBBqlA Q2lFxqx xlxqxM2(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值FQ图ql/2ql/2ql2/8M图xFRAFRBBqlA 例5 简支梁受一集中力F=9ql和一集中力偶Me=ql2作用，试作出其剪力图和弯矩图。 分析： 1-1、2-2截面上的剪力 结论：当梁中间受力较复杂时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段 列出其表达

9、式。 分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界(分段点如何确定？) 1122（ ? ）3344BA(O)lCDF Mel/3l/3 解：(1)求支座反力R5AFqlR4BFql QR5AFxFql R5AM xFxql x (2)分三段AC、CD、DB列出剪力方程和弯矩方程 AC段FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3 CD段 QFx xM QFx xMR4AFFql 2R334AFxFxlqlql xR4AFFql 2R344AeFxFxlMqlqlx DB段 FRAFRBBA(O)lCDF Mel/3l/3ql5ql4253ql23ql243ql Q544ql

10、Fxqlql qlxqlqlxqlxqlxM4443522(3)画剪力图、弯矩图，标出特征值 FQ图M图R5AFqlR4BFql1122BA(O)CDFRAFRBlF Mel/3l/3 结论： 当梁上荷载有变化时，剪力方程和弯矩方程不可能用一个统一的函数式来表达，必须分段列出其表达式。分段是以集中力、集中力偶的作用位置及分布荷载的起点和终点为界。 剪力图和弯矩图一般是连续的 。在集中力作用处剪力图发生突变，突变的数值等于集中力的大小，方向与集中力的方向相同；在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为“顺下逆上”。 15.4 弯矩、剪力、荷载集度之间的关系 一、弯

11、矩、剪力、荷载集度之间的关系 QddM xFxx QddFxq xx 0 xq Q544qlFxqlql qlxqlqlxqlxqlxM4443522BA(O)CDlF Mel/3l/3 二、剪力图、弯矩图的规律q 0 0 0 0 0MM 结论（规律）： (2)当梁的支承情况对称，荷载反对称时，则弯矩图永为反对称图形，剪力图永为对称图形。 (1)当梁的支承情况对称，荷载也对称时，则弯矩图永为对称图形，剪力图永为反对称图形；FQ图M图CBAq/2EIlABCEIlq/2q/2 例7 图示左端外伸梁，外伸端A作用一集中力偶Me=qa2，BA段所受荷载的分布集度为q，试利用微分关系作梁的剪力图、弯矩

12、图。0yF0AMRA76FqaRB116Fqa解：(1)求支座反力三、画剪力图、弯矩图的简便方法Bq3aAMeCaFRAFRB(2)作剪力图(3)作弯矩图aqqax6767maxMRB116FqaRA76Fqa2721211211611611611qaaaqaqax7/6qa11/6qa=121/72qa2FQ图M图MeMmaxBq3aAMeCaFRAFRB2m2m2mFRA=5kNFRB=4kNP=3kNM1=2kNmM2=6kNmq=1kN/m2mBA+466683222FQ (kN)M(kNm) 作梁的内力图aqQFMqqaaaqa22/qa22/qaqaqaqa2qaqa3qa2qa2

13、2qa22qa22qaq2qaa2aaQFMqa5qaACBD 结论：q、F、Me共同作用时产生的内力等于q、F、Me分别单独作用时产生的内力之和。 因此，当梁上有几种（或几个）荷载作用时，可以先分别计算每种（或每个）荷载单独作用时的梁的反力和内力，然后将这些分别计算所得的结果代数相加得梁的反力和内力。这种方法称为叠加法。15.5 叠加法作剪力图和弯矩图BqACMeDlbaFOOO12+OOO12+1 叠加原理成立的前提条件：（1）小变形（2）材料满足虎克定理（线性本构关系）当变形为微小时，可采用变形前尺寸进行计算。1、叠加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横

14、截面上的弯矩的代数和。2、区段叠加法作弯矩图： 设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：+MAMBM0+MAMBM0弯曲内力 xMxMxM0BMAAqMBlB1 q(x)=0 QFxC Q10Fx 结论:弯矩图为一水平直线 。FQM+lABMe Q20FxC 结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值等于FS一斜直线 （）。lFABFQFMFl- Q30FxClFABFQF-MFl+ 结论:剪力图为一水平直线，弯矩图为斜率的绝对值等于FS一斜直线 （）。 2 q(x)0 结论:剪力图为

15、斜率等于q的 一斜直线（） ，弯矩图为抛物线（开口向下）。BqlAM图FQ图ql/2ql/2 3 q(x)0 结论:剪力图为斜率等于q的 一斜直线（） ，弯矩图为抛物线（开口向上）。qBlAxFQ图ql/2ql/2ql2/8M图 4 集中力F作用处R1AaFFlRBaFFl 结论:在集中力作用处剪力图发生突变(弯矩不变)，突变的数值等于集中力的大小，方向与剪力的方向相同。 laF 1laF1FQ图alaF 1M图FRAFRBlFaAB 5 集中力偶Me作用处 结论:在有集中力偶作用的地方弯矩图发生突变(剪力不变)，突变的数值等于集中力偶的大小，方向为“顺下逆上”。 lMFeRAlMFeRBlM

16、eeeMlbMlbMelMebxFQ图M图FRAFRB 例9 试判断图示各题的FQ、M图是否正确，如有错请指出并加以改正。lFABMxFl-MeABlMx+Me3mAq=20kN/mBF=70kN1mCFQxMx+60kN50kN60kN.mRB50kNFRA60kNF 23.6kN.m144.2kN.mM+x36.4kNFQ+23.6kNx4m1mCDq=15kN/mA5.5mBMe=10kN.mFRA=36.4kNFRB=23.6kN由图可知，在梁的AC、DB两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为剪切弯曲(或横力弯曲)。在梁的CD段内，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯

17、曲。 15.6 梁横截面上的正应力计算1、剪切弯曲内力内力剪力剪力Q 切应力切应力t弯矩弯矩M 正应力正应力2、纯弯曲 内力：弯矩M 正应力由以上定义可得：1.纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动（一）梁的纯弯曲实验纵向对称面bdacabcdMM 纵向线变为同心圆弧曲线，且上缩下伸 横向线与纵向线变形后仍正交。横截面高度不变。纯弯曲梁上正应力的确定（2）纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （1）平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，并垂直于变形后梁的轴线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴（横截面上只有正应力）2. 根据上述的表面变形现象，

18、由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的两点假设：3 . 两 个 概 念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴 M 横截面上的弯矩 y 所计算点到中性轴的距离 Iz 截面对中性轴的惯性矩ZIMy4. 正应力公式不仅适用于纯弯曲，也适用于剪力弯曲；适用于所有截面。5. 应力正负号确定 M为正时,中性轴上部截面受压 下部截面受拉; M为负时,中性轴上部截面受拉 下部截面受压. 在拉区为正,压区为负 最大正应力危险截面: 最大弯矩所在截面 Mma危险点：距中性轴最远边缘点 ymaxm

19、axmaxmaxzMyImaxyI Wzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。zWMmax 令 则一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；5. 最大正应力DdDd)1 (32 43maxDyIWzz圆环bhd6212 23maxbhhbhyIWzz矩形322/64/ 34maxdddyIWzz圆形Wz 抗弯截面模量maxyI Wzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。maxmax ZMW1、正应力强度条件： 矩形和工字形截面梁正应力 max=M/Wz Wz = Iz /(h/2) 特点： max+= max- T形截面梁的正应力 max+ =M/W1 W1 = Iz / y1 max- =

20、M/W2 W2 = Iz / y2 特点： max+ max- 15.7 梁的正应力强度计算 zWMmaxmax2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算、校核强度：校核强度校核强度：设计截面尺寸：设计截面尺寸：确定许可载荷：确定许可载荷：maxMWzmax zMW例10 受均布载荷作用的简支梁如图所示试求：（1）11截面上1、2两点的正应力（2）此截面上的最大正应力（3）全梁的最大正应力（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。Q=60kN/mAB1m2m11x+ M82qLM1Mmax12120180zy解：画M图求截面弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30Q=60k

21、N/mAB1m2m11M1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 609. 0/zzIWMPa7 .6110832. 56060 5121zIyM求应力1803082qLx+ MMPa6 .921048. 610006041max1zWMm4 .194106010832. 51020035911MEIzMPa2 .1041048. 610005 .674maxmaxzWM求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11M1Mmax121201803082qLx+ My1y2GA1A2A3A4

22、解：画弯矩图并求危面内力例11 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的 L=30MPa， y=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx-4kNm2.5kNmM校核强度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMMPa2 .2710763524813zBLAIyMMPa2 .4610763884824zByAIyMLL2

23、 .28maxyy2 .46maxT字头在上面合理。y1y2GA1A2y1y2GA3A4A3A4x-4kNm2.5kNmM一、 矩形截面梁横截面上的切应力dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dx图a图bz 1 1xy 2 2t t1 1t tb图图czzSbISFy1)(tttSz*为面积A*对横截面中性轴的静矩. 15.8 梁横截面上的切应力及强度)4(2)2(22d22yhbyhbyhAyAyScAzzy式中: -所求切应力面上的剪力.IZ-整个截面对中性轴的惯性矩.Sz*-过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩.b-所求应力点处截面宽度.,:即随高度变

24、化变化只随则一般也不变定，、则如截面确定公式中注意zzzSSbIzQbISFttyA*yc*SFtt5 . 123maxAFS)()4(222为二次抛物线矩yhIFzStQt方向：与横截面上剪力方向相同 ；t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。中性轴上有最大切应力. 为平均切应力的1.5倍。 其它截面梁横截面上的切应力工字形截面梁 剪应力分布假设仍然适用 横截面上剪力；Iz整个工字型截面对中性轴的惯性矩；b1 腹板宽度；Sz*阴影线部分面积A*对中性轴的静矩最大剪应力：SFzzSbISFtzzSbISFmaxmaxtIz圆形截面对中性轴的惯性矩；b 截面中性轴处的宽度；Sz*中性轴

25、一侧半个圆形截面对中性轴的静矩圆形截面梁最大剪应力仍发生在中性轴上:圆环截面梁 zzSbISFmaxmaxtAFS34maxtAFS2maxt1、危险面与危险点分析：最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Qt tt tQt t2、切应力强度条件： ttzzSIbSFmaxmaxmax3、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，M 较小，而FS 较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。注意事项 设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。 对细长梁，弯曲正应力强度条件是

26、主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度。弯曲强度计算的步骤 画出梁的剪力图和弯矩图, 确定|FS|max和|M|max及其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定在同一截面； 根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上的危险点的位置，分别计算危险点的应力，即 max和t tmax（二者不一定在同一截面，更不在同一点）； 对 max和t tmax分别采用正应力强度条件和剪应力强度条件进行强度计算，即满足 max , t tmax t t解：画内力图求危面内力例12 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，t=0.

27、9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。N54002336002maxqLFSNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3mQ2qL2qL+xx+qL2/8M求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztq=3.6kN/mQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAFSx +qL2/8M作弯矩图，寻找需要校核的截面 ccttmax,max,要同时满足要同时满足

28、分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 T T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30ct例13mm522012020808020120102080cy（2）求截面对中性轴z的惯性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI （1）求截面形心z1yz52解：（4）B截面校核 ttMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max, ccMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,（3）作弯矩图-4kNm2.5kNmMP

29、1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD（5）C截面要不要校核？ ttMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,（4）B截面校核（3）作弯矩图 ttMPa2 .27max, ccMPa1 .46max,P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCD-4kNm2.5kNmM 弯曲正应力是控制梁弯曲强度的主要因素，故弯曲正应力的强度条件：maxmaxzWM 要提高梁的承载承力，应从两方面考虑： 一方面是合理安排梁的受力情况，以降低Mmax的值； 另一方面是采用合理的截面形状，以提高W的数值，充分利用材料的性能。 15.9 提高梁强度的措施 一、合理安排梁

30、的受力情况 合理布置梁的支座22max125. 08qlqlM22max025. 040qlqlMqlABql2/8M图图+q3l/5ABl/5l/5M图+-ql2/40ql2/50ql2/50 左边梁的最大弯矩值是右边梁的最大弯矩值的5 倍。因此，右边梁上的载荷还要提高四倍，才能使得其最大弯矩值同左边的相同。因而，右边梁的承载能力要比左边高四倍，因此说来，合理的布置梁的支座，对提高梁的弯曲强度是十分必要的。门式起重机的大梁 适当增加梁的支座lqBAlqBA2l2l20175. 0ql203125. 0ql2125. 0ql合理的布置载荷。 比较下列两种布置方法：Pl/2ABl/2CPl/4A

31、Bl/4l/4l/4D+Pl/4M图图+Pl/8M图Pl/8改善荷载的布置情况2lF2lllFq MMFl41Fl81二、提高抗弯截面系数621bhWz622hbWz121bhWWzz选择合理的截面形状62bhWZ左62hbWZ右 在确定梁的截面形状与尺寸时，除应考虑弯曲正应力强度条件外，还应考虑弯曲切应力强度条件。因此，在设计工字形、箱形、T字形与槽型等薄壁截面梁时，也应注意使腹板具有一定的厚度。zz合理选择截面形状，尽量增大Wz值62bh62hb349 cm10ON372.9cm3167.0a3118.0aAWz/单位面积抗弯截面模量bhhhhhd0.167h0.125h0.205h(0.

32、270.31) h(0.290.31)hd=0.8h常见截面的Wz/A值比较: 从表中可以看出，材料远离中性轴的截面较经济合理。 工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板，道理就在于此。 从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯能力的截面。在一般截面中，抗弯能力与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。因此，面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。 同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。zz max min根据材料特性选择截面对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好

33、选用关于中性轴不对称的截面 拉压性能不一的材料如铸铁，宜用不对称的截面，使中 性轴靠近拉的一侧h2Zch1Zc变截面梁1) b不变，中间h加大ZcxMPl/4xb(x)bmin2) h 不变，中间b随x与弯矩M（x）同规律变化，如上图3) b 不变，中间h 随x与弯矩 M（x）规律变化，如 右图摇臂钻床的摇臂。ABPl/2l等强度梁阶梯梁渔腹梁（工艺上简化）日本岩大桥日本岩大桥雨蓬梁板雨蓬梁板实例：预应力钢筋以上的措施仅仅考虑提高梁的强度方面，事实上，梁的合理使用应综合考虑强度与刚度、稳定性等问题。这正是工程构件力学分析的核心内容。 弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条件。如车床主轴

34、的过大弯曲引起加工零件的误差。15.10 梁的变形概念 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。 挠度(w): 任一横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移, 称为该截面的挠度。 取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。BABCC1挠度w y x x BABCC1 转角 转角( ): 横截面绕中性轴转过的角度（或角位移）, 称为该截面的转角 ，也即挠曲线在该截面处的切线与x轴的夹角。y 挠度和转角符号的规定：挠度

35、：在图示坐标系中, 向下为正, 向上为负。转角： 顺时针转向为正,逆时针转向为负。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向也有线位移。yxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长, 这种位移与挠度相比很小，可略去不计。 挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程:式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该点的挠度。( )wf xyxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)挠曲线挠曲线F 挠度与转角的关系：tan( )wfxyxABCw(挠度挠度)C1 (转角转角)F此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。(

36、 )EIwM x 再积分一次, 得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成( )EIwM x 1( )dEIwM xxC 12( )ddEIwM xxxC xC 式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定。15.11 梁的变形计算 积分法求弯曲变形简支梁悬臂梁边界条件ABwA0wB0ABwA0qA0ABAB 连续性条件在挠曲线的任一点上, 有唯一的挠度和转角。如:不可能不可能CCww CC c 讨论： 适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形边界条件确

37、定 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁例14 图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角 max 。ABlx解：以梁左端A为原点, 取直角坐标系, 令x轴向右, y轴向下为正。 (1) 列弯矩方程( )()M xF lxFlFx F(2) 列挠曲线近似微分方程并积分 21(a)2FxEIwFlxC 2312(b)26FlxFxEIwC xC (3) 确定积分常数 代入式(a)和(b), 得： C10, C20在x0处, w0 在x0处, q0 -ABlxxyF(4) 建立转角方程和挠度方程 将求得

38、的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁的转角方程和挠度方程分别为： (5) 求最大转角和最大挠度 自由端B处的转角和挠度绝对值最大。 wmax max所得的挠度为正值, 说明B点向下移动; 转角为正值, 说明横截面B沿顺时针转向转动。 EI2FxEIFlxw2 EI6FxEI2Flxw32 2max( )2PLLEI3max( )3PLww LEI例15：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的抗弯刚度为EI。ABlq解:1 建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：22)(2qxxqlxM CqxxqlwEI 322232积分DCxqxx

39、qlEIw 43232243qlFF21ByAy 2qxx2qlwEI22o 梁梁的的挠挠曲曲线线微微分分方方程程为为xylABq0D ,24qlC3 323xEI6qxEI4qlEI24qlw 433xEI24qxEI12qlxEI24qlw :0 x 0w :lx 0w 边界条件得:EI24ql30 xA EI384ql5ww4xmax2l EI24ql3lxB xylABqBAwmax例16：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程及wmax 。xyABFlxabCD解:1 建立坐标系。 求支座反力。,lFbFAy lFaFBy 2分段求出弯矩方程及w、w。,lFbx)x(M:AD xlF

40、bwEI1 1211Cxl2FbEIwEI 1131DxCxl6FbEIw )ax(FxlFb)x(M:DB 22222C)ax(2Fxl2FbEIwEI )ax(FxlFbwEI2 2233266DxCaxFxlFbEIw )(xlFbwEI1 xyABFlxabCD边界条件：x = 0 ，w1= 0。 x = l ，w2= 0。连续条件：x = a ，w1= w2， w1= w2 由连续条件，得：C1= C2， D1= D2再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l D1=D2=0因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：EIl2FbxEI6)bl(Fbw:AD22211 32

41、21xEIl6FbxEIl6)bl(Fbw xyABFlxabC D222222)ax(EI2FxEIl2FbEIl6)bl(Fbw:DB 33222)ax(EI6FxEIl6FbxEIl6)bl(Fbw 段。应在时，当ADwbamax 。，由由3blx0w2201 。）（EIlblFbwwxx39230221max。）（EI48b4l3Fbww22x1c2l xyABFlxabC D。时时，作作用用于于梁梁中中点点当当cmaxwwCF 。，点点时时，右右移移至至当当l577.0 x0bBF0 。的的位位置置距距梁梁中中点点仅仅l077.0wmax。令令EIFbl0642.0EI39Fblw,

42、0b22max2 。EIFbl0625.0EI16Fblw22c 因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。xyABFlxabC D条件：由于梁的变形微小, 梁变形后其跨长的改变可略去不计, 且梁的材料在线弹性范围内工作, 因而, 梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。 在这种情况下, 梁在几项载荷 (如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。此即为叠加原理。15.11 梁的变形计算 叠加法求弯曲变形例17：简支梁所受荷载如图示。用叠加法求梁中点挠度和左端截面的转角。

43、设梁抗弯刚度为EI。ml/2qABCl/2解:0 xAw EI16mlEI384ql524 EI3mlEI24ql3 )m()q(AA )m(w)q(wwccc qABC)(qA)(qwcBmAC)(mA)(mwcml/2qABCl/21Cwwq+=例18 简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角。 44133115/25384768/22448CABqlqlwEIEIqlqlEIEI 载荷分解如图 对称均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时233220/2/224384CABwqlqlEIEIABC/2l/2lx/2qABx2Cww1CABx/2q/2q 叠加4123331

44、2333125768348384128748384128CCCBAABBBqlwwwEIqlqlqlEIEIEIqlqlqlEIEIEI 例19：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。试求左端的挠度。FABCaaEI2EIABCFaaEI2EI解：FBAwA1A1采用逐段刚化法1、令BC刚化，AB为 悬臂梁。2、令AB刚化，BC为 悬臂梁。FBAwBCaB M=FaFBAwA1A1EIFaEIFaAA323121 ,FBAwBCaB EIFaEIFaEIFaaEIFaBBABA125464333222 BAwBCaB M=FaEIFaEIFaEIFaaEIFaBBABA43242333223 E

45、I2EI2EIABCFaaEI2EIEIFaEIFaEIFaEIFaAAAA452422222321EIFaEIFaEIFaEIFawwwwAAAA234312533333321累加得到总的结果：例20：已知F、q、EI。求c和wc。qABF=qaaaaCxy（a）)()(1FwFcco、求求CxqABF=qaaaay（a）wC(F)ABFC（b）B(F)c(F)()(FFBC EI16)a2(F2 EIqa43aFFwBC )()( EI4qa4 CqAB（c）CqABCqABCABCqAB（c）)()(qwqcco、求求 2 变变形形。刚刚化化），不不变变形形BCAB(1EIqlqc631

46、 )( EIqlqwc841 )( 不不变变形形（刚刚化化）。变变形形， BCAB2EImlqqBc32 )()( EI3a2qa221 EI3qa3 aqqwBc )()( 2EI3qa4 )(qc1 )(qwc1CqB（d）)(qc2 ABC（e）qa2/2)(qwc2ccow3、求求 )()()(qqFcccc21 EI3qaEI6qaEI4qa333 EI4qa3 )()()(qwqwFwwcccc21 EI3qaEI8qaEI4qa444 EI24qa54 这种叠加法又称为逐段（级）刚化法。)(qc1 )(qwc1CqB（d）)(qc2 ABC（e）qa2/2)(qwc2ABFC（b

47、）)(FC )(FC 例21 用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度CDAB/2l/2la1F2FCDAB1F2F1Fa0B1Cw1FCB2Cw a c b把未变形BC刚性化把变形后的AB刚性化21212/2/22/236316BFllllFalEIlEIFalF lEIEI 求AB的变形时，把BC刚化 AB变形引起BC的变形22121316CBFa lF alwaEIEI 求BC的变形，把变形后的AB刚化， 此时BC可看成以B为固定端的悬臂梁1FCB2Cw c把变形后的AB刚性化3123CFawEI C截面的位移等于AB段变形引起BC的刚性位移和BC自身弯曲引起的位移2231211222213163163CCCFa lF alFawwwEIEIEIF alFalaEIEI 例22：求跨中挠度wc 。ABFCwcDal解：采用逐段（级）刚化法wc1ABFCDalwc2EIFlEAFa482321cccwwwm