小学数学思想方法讲座史宁中课件

1、 能力培养社会对数学价值的要求教学实践表明教学实践表明数学教学就是数学思维活动的教学数学教育承载着“发展儿童的思维”的重任人类的活动离不开思维，思维能力的发展程度是整个智力发展的缩影和标志。数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程由于数学由于数学自身的特点自身的特点基本基本活动活动经验经验基础基础知识知识基本基本技能技能基本基本思想思想四基四基CEO双基双基数学教材的两条主线数学教材的两条主线数学数学基础知识基础知识数学数学思想方法思想方法 数学数学 思想思想 数学数学 方法方法数学思想方法

2、数学思想方法指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学实践活动，这是对数学规律的理性认识。就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。 由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的数学思想和数学方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和集合在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即 方法，小学数学思想方法小学数学思想方法数学美的特点数学美的特点有序有序 简明简明 对称

3、对称 统一统一 数学美数学美小学数学小学数学 对应指的是一个系统中的某一项在性质、作用、位置上跟另一系统中的某一项相当。对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法。 一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”， 两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2” 在“多与少”这一内容中，一个茶杯盖与每一个茶杯对应 直线上的点（或数轴）与表示具体的数是一一对应 本质是一一对应本质是一一对应可化抽象为具体可化抽象为具体提高学生分析问题和解决问题的能力 对应思想方法确定位置 （物体与位置对应） 面积 （物体面积与单位对应） 假设思想实际上也是转化方法的一种 假设思想是一种常用的推测性的数学

4、思考方法 假设思想是小学数学中比较常用的方法 假设思想是一种有意义的想象思维 假设法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。 假设假设思想思想假设思想的应用假设思想的应用填空题填空题判断题判断题应用题应用题假设思想方法假设思想方法鸡兔同笼问题 逻辑推理问题 分数中单位1 比和比例实际问题 案例1：小明和妈妈恰好花100元买了10本书，单价有8元一本的和13元一本的两种。其中8元一本的和13元一本的各买了几本？案例2：足球比赛门票是20元一张，平均每场有5000名观众，降价后每场

5、观众增加了50%，收入增加了20%，降价后门票的价格是多少？俄国教育家乌申斯基说过：“比较是一切理解和一切思维的基础。” 比较思想是数学中常见的思想方法之一是促进学生思维发展的手段 人类对一切事物的认识都是建筑在比较的基础上或同中辨异或异中求同 小学生学习数学知识，也同样需要通过对数学材料的比较，理解新知的本质意义，掌握知识间的联系和区别。 角的关系 分数的大小 用符号化的语言（包括字母、数 字、图形和各种特定的符号）来 描述数学内容，这就是符号思想 符号思想是将所有的数据实例集为一体， 把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字 母公式表示出来，便于记忆，便于运用 把客观存在的事物和现象及它们相互之

6、 间的关系抽象概括为数学符号和公式， 有一个从具体到表象再抽象符号化的过程 加法交换律 方程的意义 将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想 不仅使数学知识容易理解而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁 数学家波利亚所说：“我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。”。 可以激发学生的创造力乘法交换律 三角形的面积 由加法交换律abba的学习迁移到乘法交换律ab=ba的学习 长方形的面积公式为长宽ab，通过类比两个相同的三角形可以拼成一个长方形，因此得到三角形的面积公式为长（底）宽（高）2ab（h）2 圆锥体体积 圆柱体体积公式为底面积高，那么

7、圆锥体体积可以理解为底面积高3 对问题进行转换时,既可转换已知条件,也可转换问题的结论 在解决数学问题时，转换是一种非常有用的策略 这里的变换是可逆的双向变换 其本身的大小不变，由一种形式变换成另一种形式的思想方法转换可以是等价的，也可以是不等价的 分数与小数的乘除法 简便运算 计算：2.8113170.7直接计算比较麻烦，而分数的乘除运算比小数方便，故可将原问题转换为：这样利用约分就能很快获得本题的解 71017431028计算：1225可以通过转化，将12分解成34这样就变成1225=（34）25=3（425）=300概念概念意义意义作用作用把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论

8、，再把每一类的结论综合，使问题得到解决 不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念 数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构 “分而治之、各个击破、综合归纳” 偶数与奇数按能否被2整除分成奇数和偶数 质数与合数 按一个数约数的个数分成质数和合数 平行与垂直 两条直线按交点的个数分成平行、相交、重合 三角形的分类 按三角形中的锐角、直角、钝角分类 直线、射线与线段 按端点的个数分成直线、射线与线段 直线、射线与线段 三角形的分类 1. Title2. Title3. Title 把若干确定的有区别的事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，各事物称为集合的元素. 把一些能够确定的不

9、同对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合 集合思想是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等解决数学问题或非纯数学问题的思想方法 小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想 集合思想的特征集合思想的特征集合特征集合特征 集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素没有重复的 集合中的元素没有固定的顺序 给定一个集合，按照明确的判断标准确定一个元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，不能模棱两可 集合是现代数学的基础集合是现代数学的基础 集合的分类集合的分类空集空集有限集有限集 无限集无限集集合的表现形式把集合中的元素一一列举把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，元出来

10、，写在大括号内，元素之间用逗号分开的方法素之间用逗号分开的方法用封闭曲线所围用封闭曲线所围成的图形（文氏成的图形（文氏图）表示集合图）表示集合把集合中坎的共把集合中坎的共同特性描述出来同特性描述出来，写在大括号内，写在大括号内 列举法列举法 描述法描述法小学里的集合小学里的集合 用封闭曲线圈起来看作一个整体集合圈内对象为元素2 4 6 8 10 12 14 16 20集合与集合的关系（包含）集合与集合的交集、集合与集合的并集等运算在小学数学中应用 认数与记数一年级上册加法运算 一年级上册公约数公倍数 两个数共同的约数和倍数同样多的概念 渗透等价集合的概念四边形之间的关系 三角形的关系 数形结合

11、思想关键是代数关键是代数问题与图形问题与图形之间相互转化之间相互转化 实质是将抽象实质是将抽象的数学语言的数学语言与直观的图与直观的图像结合起来像结合起来 可使代数问题几何化几何问题代数化 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使问题的数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想 数形结合思想数形结合思想 Content Title 借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性 借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系 数形结合思想包含两个方面数形结合思想包含两个方面往往在研究往往在研究“数数”的时候借助于的时

12、候借助于“形形”往往在探讨往往在探讨“形形”的性质时又离不开的性质时又离不开“数数”几何直观的表现形式几何图形几何图形线段图线段图数轴数轴方格纸方格纸坐标坐标方向标方向标示意图示意图列表列表动画动画表现表现形式形式 图形图形 图纸图纸 表格表格几何直观运用领域数与代数领域数与代数领域空间与图形领域空间与图形领域实践与统合应用领域实践与统合应用领域统计与概率领域统计与概率领域运用于数学的各个领域运用于数学的各个领域我们不仅在我们不仅在几何几何教学中要重视几何直观，在教学中要重视几何直观，在整个数学教学整个数学教学中中都应该重视几何直观，培养几何直观应该都应该重视几何直观，培养几何直观应该贯穿于教

13、学始终。贯穿于教学始终。平移与旋转平移与旋转9的乘法口诀11+31+3+51+3+5+71+3+5+7+9计算公式的推导计算公式的推导把阴影部分分别用分数和小数表示。把阴影部分分别用分数和小数表示。分数（分数（ ）小数（小数（ ）分数（分数（ ）小数（小数（ ）数的表示数的表示减法小棒图减法小棒图三角形的特性平均数位置与方向千以内数的认识解决实际问题解决实际问题统计就是搜集、整理、计算和分析研究对象的数据，并作出适当推断的方法。 统统 计计统计思想的类型一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学；二是在学习了一些统计知识后，在其他领域知识的学习中，都不同程度地

14、应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法。 在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：复式折线统计图扇形统计图平均数中位数单式条形统计图复式条形统计图众数象形统计图象形统计图单式统计表单式统计表 复式统计表复式统计表单式折线统计图小学数学中统计的知识点主要有：条形统计图一年级统计 折线统计图平均数扇形统计图复式横向条形统计图统计与概率都是研究现实生活中的数据与世界中的随机现象的科学概率值小学中的概率主要认识事件的可能性大小以及等可能 统计与概率概率概率是对随机事件发生的可能性大小的一种度量 事件的概率是确定的、不变的常数， 是理论上的精确值，它的值大于零小于1 事事 件件确定事件

15、必然事件不可能事件不确定事件随机事件事件 随机现象 抛硬币摸球活动设计转盘 游戏规则渗透有限与无限、曲与直、变与不变的辩证关系 在小学数学中渗透着既对立又统一的辩证思维 用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想 刘徽“割圆术” 庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 14159. 3自然数 “自然数”“奇数”“偶数” 直线、射线与线段 循环小数平行与垂直 一个数量的变化，往往会引起另一个数一个数量的变化，往往会引起另一个数量的变化，但是在诸多变化的条件中，常常量的变化，但是在诸多变化的条件中，常常会有一些不变的数量，我们解决问题时，往会有一些不变的数量，我们解决问题时，往往需要抓住这些不变量

16、，寻找解决问题的突往需要抓住这些不变量，寻找解决问题的突破口，这就是破口，这就是“变中抓不变变中抓不变”的思想方法。的思想方法。 年龄问题 交换律和结合律加法和乘法的交换律，交换加数（因数）的位置，它们的和（或积）不变 兄妹二人同时离家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时，发现忘记带课本，立即沿着原路返回，恰在离校门180米处和妹妹相遇，他们家距离学校有多远？兄：兄：妹：妹：每分钟每分钟90米米？米？米180米米每分钟每分钟60米米校门校门兄妹二人走的时间不变 思维的可逆性，即从正向思维转为逆向思维 可逆是逻辑思维中的基本思想 心理学家皮亚杰把可逆思维作为儿童智慧发展的重

17、要标准 逆向数数 倒着数数逆运算 减法和除法 公式的双向应用 如在面积=长宽中已知面积和长，求宽 实际问题应用时 还原问题 整除 求小于500，且既不能被5整除又不能被7整除的自然数有多少个？分解思想就是先把原问题分解为若干便于解决的子问题，分解出若干便于求解的范围，分解出若干便于层层推进的解题步骤，然后逐个加以解决并达到最后顺利解决原问题目的的一种思想方法。 分解思想分解思想 朝阳小学三年级有朝阳小学三年级有4个班，每班个班，每班50人，四年级有人，四年级有218人，三年级和四年级共有多少人？人，三年级和四年级共有多少人？200218418（人）（人） 三年级和三年级和四年级共有多少人？四年

18、级共有多少人？504200（人）（人） 三年级有多少人？三年级有多少人？答：三年级和答：三年级和四年级共有四年级共有418人。人。综合算式：综合算式： 504218418（人）（人）解答复合应用题思维要有序，即要按照一定的顺序，有条理地，全面地观察和思考问题 自然数列按从小到大的顺序排列 数数按照从小到大的顺序数或者倒着数 数列按照一定的规律排列 大数可按照一个一个数、十个十个数、百个百个数 数长方形乘法口诀的编制下图中共有多少个长方形？下图中共有多少个长方形？ 设集合、是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系?如果对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称y是的

19、函数，记作yf()。其中叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；y叫做函数或因变量，与相对应的y的值叫做函数值，y的取值范围叫做值域。 函数函数 函数面积与体积用表格表示数量间的关系 用图像表示数量间的关系 正比例和反比例 圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系：2rh 平行四边形的面积：S=ah 长方形的周长与面积长宽周长面积3分米8厘米4米5分米3厘米1米40厘米85厘米填表 数学模型模型思想数学方法数学方法 所谓数学模型是指从整体上描述现实原型的特性、关系及规律的一种数学方程式。 指对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析综合概括等所谓过程

20、，得到简化和假设，它是把生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法 数学模型方法不仅是处理纯数学问题的一种经典方法，而且也是处理自然科学、社会科学、工程技术和社会生产中各种实际问题的一般数学方法。模型思想与符号化思想都是经过抽象后用符号和图表表达数量关系和空间形式，但是模型思想更注重如何经过分析抽象建立模型，更加重视如何应用数学解决生活和科学研究的各种问题。 数的运算面积与体积a+b=cc-a=bab=c(a0,b0)ca=b,cb=a时间、速度和路程s=vt数量、单价和总价a=np三角形面积;s=1/2ab圆周长：c=2r长方体体积：v=abc圆锥体积：v=1/3sh数学模型的主要模型形

21、式是数学符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相同之处，同样具有普遍的意义。 把有可能解决的或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决 把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解 化难为易，化生为熟，化繁为简，化整为零，化曲为直等 一类是直接应用已有知识便可顺利解答的问题 另一类是陌生的知识、或不能直接应用已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识或创造性地解决的问题 由于数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助 1、计算357+13

22、7=494（千米) 137+357=494（千米) 得出结果一样，也就是: 357+137=137+357 观察下面两组算式，看看有什么关系 18+17O17+18 124+235O 235+124 上面每组算式有什么共同点？可以发现什么规律？ 得出：任何两数相加，交换加数的位置，和不变。直角三角形内角和为180度锐角三角形的内角和为180度钝角三角形的内角和为180度三角形只有三类得出:任何三角形的内角和为180度三角形的内角和为180度异分母分数分数加减法：异分母分数加减法转化为同分母分数加减法 梯形面积梯形的面积：转化为平行四边形求面积 圆锥体的体积圆锥体积：转化为圆柱求体积 统计运用不同的统计图表描述各种数据 数学归纳法用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的 有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式观点指出能被求出值的表达式是等价表达式，这是著名的结构归纳法 不完全归纳法是根据一类事物中的部分对象具有(或不具有)某种属性，从而得出该类事物所有对象都具有(或不具有)某种属性的思维方法 完全归纳法是一种