初中数学分类讨论题型初探(已发表)

1、中考复习中分类讨论题型初探 上海市平乐中学 庄士忠 200540 整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性。综合中考的复习规律，我觉得分类讨论的知识点有三大类：1代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所在象限等.2几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略

2、0;  分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏   分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级有序进行（4）以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.题型1.考查数学概念及定义的分类规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。例题1求函数的图象与x轴的

3、交点？点拔：二次项系数中含有参数k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应对分类讨论.解：（1）当时，即时，此函数为，故其与x轴只有一个交点（1，0）（2）当时，此函数为二次函数，.当时，0.抛物线与x轴的交点只有一个.，交点坐标为（1，0）当时，0，函数与x轴有两个不同的交点.综合所述：当或时，函数图像与x轴只有一个交点（1，0）；当且时，函数图像与x轴有两个不同交点.变式思考：已知关于x的方程（1）若方程有实数根，求k的取值范围（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ABC的周长.易误：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是

4、第（2）问中并无说明哪两边是ABC的腰，故应考虑其所有可能情况.题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.例题2、如图（1）边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数的图像随的不同取值变化时，位于的右下方由和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）.（1）当取何值时，S3？（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与的函数图像.点拔：设与正方形ABCD的交点为M，N，易知DMN是等腰Rt，只有当MD时，那么，此时求得，第（2）问中，随着的变化，S的表达式发生变化，因而须

5、分类讨论在不同取值时S的表达式，进而作出图像.解：（1）设与正方形ABCD的交点为M，N，的解析式，在x轴，y轴上所截线段相等. DMN为等腰RtDMNS3，又MDND，ONODDM4，即D点的坐标为（0，4）图（2），即当时，S3.（2）直线与轴的交点M的坐标为当0t2时，当2t4时，当t4时，S4根据以上解析式，作图如下图（图2）变式思考：如图所示，在平行四边形ABCD中， ，A60°，BDAD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PMAD.（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q

6、也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN/PM.设点Q运动的时间为t秒（0t10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.求S关于t的函数关系式；（附加题）求S的最大值.易误：讨论变量的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.题型3考查图形的位置关系或形状的分类.规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.例题3、在ABC中，BAC90°，ABAC，圆A的半径为1，如图所示，若点O在

7、BC边上运动，（与点B和C不重合），设BOx，AOC的面积为.（1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域.（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时AOC的面积.点拔：（1）过点A作ADBC于D点ABACAD=2 OC=BCBO=4x，故AOC的面积与的函数解析式为即（2）由于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.解：（1）过点A作ADBC于点D.BAC=90° AB=AC=BC=4 ADBC2即（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在RtAOD中，A的半径为1，O的半径为x当A与O外切时解得此时，AOC的面积当

8、A与O内切时，解得此时AOC的面积当A与O相切时，AOC的面积为.变式思考、如图，直线与x轴，y轴分别交于点M，N（1）求M，N两点的坐标；（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线相切，求点P的坐标.易误：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.例题4、如图所示，抛物线的顶点为A，直线与y轴的交点为B，其中m0.（1

9、）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标（用含有m的代数式表示）（2）证明点A在直线上，并求OAB的度数.（3）动点Q在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由.点拨：（1）对称轴，顶点A（m,0）（2）把xm代入得点A（m,0）在直线上，直线与y轴相交，则B点的横坐标为：；B点坐标为，由三角函数知识可得：即OAB60°（3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解决问题。解：（1）对称轴为直线，顶点A（m，0）（2）把代入函数点A（m,0）在直线上.当x=0

10、时， OAB=60° (3)如图，以P、Q、A为顶点的三角形与OAB全等，共有以下4种情况：点的坐标为，代入抛物线解析式得：点的坐标为代入抛物线解析式得：点的坐标为，代入抛物线解析式得：分析可知，关于抛物线对称轴的对称点均符合题意；综上所述，符合条件的P点分别为；（0，3），.变式思考、已知抛物线的顶点坐标为（4，1）与y轴交于点C（0，3），O是原点.（1）求这条抛物线的解析式.（2）设此抛物线与x轴的交点A、B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点，使以O，B，P为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.易误：解决此类问题，必须对三角形全等或相似

11、的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，逐步找到符合题意的结论.中考零距离一、选择题1若m为实数，则点P（m2，m+2）不可能在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2相交两圆公共弦长为6，两圆的半径分别为，5，则这两圆的圆心距等于（）A1B2或6C7D1或73（2004，河南）如果关于x的方程的两个根的差为1，那么m等于（）ABC D4平面上A、B两点到直线的距离分别是，则线段AB的中点C到直线的距离是（）A2BC2或D不能确定5已知是完全平方式，则m的值是（）A3B10C4D10或4二、填空题6已知AB是O的直径，AC、AD是弦，且AB2，AC，AD1，则CAD.7已

12、知AB、CD是O的两条平行线，AB12，CD16，O的直径为20，则AB与CD之间的距离为.8方程的最大根与最小根的积为.9（2004上海）直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于.10（2004沈阳）已知ABC中，C90°，AC3，BC4，分别以A和C为圆心作A和C，且C与直线AB不相交，A与C相切，设A的半径为r，那么r的取值范围是.11已知，则的值等于.12在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A、B、C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在第象限.三、解答题13已知实数a，b分别满足的值.14在劳技课

13、上，老师请同学们在一张长为17cm，宽16cm的长方形纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形上的边上）请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积.15（2004 芜湖）在钝角ABC中，ADBC，垂足为D点，且Ad与DC的长度为方程的两个根，O是ABC的外接圆，如果BD长为.求ABC的外接圆O的面积.16（2003烟台）在直角坐标系中，有以A（1，1），B（1，1），C（1，1），D（1,1）为顶点的正方形，设正方形在直线yx上方及直线y=x+2a上方部分的面积为S，（1）求时，S的值.（2）a在实数范围内变化时，求S关于a的

14、函数关系式.17(2004黄冈)在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，4），C（1，0），点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边）点N在原点的右边，作MPBN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合）直线MP与y轴交于点G，MGBN.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式.（2）求点M的坐标.（3）设ONt，MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.（4）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由.变式思考答案1解：（1）方程有实数

15、根.当k0时，原方程变为，方程有实数根.当时，解之得，故k的取值范围是.（2）若b=c，则，解得，此时方程的根为bc2，又a3，满足三角形三边关系，若a=b或a=c，则，此时方程另一根为：，满足三角形三边关系，.2（1）当点P运动2秒时，AP2cm，由A60°，知AE1，PE. （2）（i）当0t6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQt，AF，QF，APt+2，AG1+，PG.此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.（ii）当6t8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动，设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQt，AF，DF4，Q

16、F，BPt6，CP10t，PG（10t）.而BD，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.（iii）当8t10时，点P和点Q都在BC上运动，设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ202t，OF（202t），CP10t，PG（10t）.此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为.故S关于t的函数关系式为（附加题）当0t6时，S的最大值为；当6t8时，S的最大值为.当8t10时，S的最大值为所以当t8时，S有最大值为.3解：（1）当x0时，y4.当y0时，x3.M（3，0），N（0，4）（2）当点在y轴上，并且在N点的下方时，设与直线相切于点A，连接A，则AMN.ANMON90

17、6;，NA=MNO，ANMON，在RtOMN中，OM3，ON4，MN5.又，点坐标是（0，0）点在x轴上，并且在M点的左侧时，同理可得点坐标是（0，0）当在x轴上，并且在M点的右侧时，设与直线相切于点B，连接，则OA/.OA，.，点坐标是（6，0）当点在y轴上，并且在点N上方时，同理可得.点坐标是（0，8）综上，P点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）.4解：（1）可设.交y轴于点C（0，3），316a1，.抛物线的解析式为，即.（2）存在当y0时，则，A（2，0），B（6，0）.设P（0,m），则OP.在AOC与BOP中，若OCAOBP，则BOPCOA，.OP，.若OCAOPB，则BOP

18、AOC，.，.存在符合题意的点P，其坐标为（0，4）、（0，4）、（0，9）或（0，9）中考零距离答案一、选择题1C 2D 3C 4C 5D二、填空题615°或105°714或28394或5101112三三、解答题程13解：若，则可知为方程的两实数根，由韦达定理得a+b2，ab2.若，则解关于a，b的方程分别得.14解：分三种情况计算：（1）当AEAF10cm时，（如图1），（2）当AEEF10cm时（如图2），（3）当AEEF10cm时（如图3），第15题图.15解：AD与DC的长度为的两根有两种情况AD3，DC4AD4，DC3由勾股定理：求得AC5，连接AO并延长交O于E点，连接BEABE90°又ECABEADC，16解：（1）当时，如图1，直线的交点是（2）当时，如图2，ADC的面积就是S，当1a0时，如图3，直线的交点是E（，）EG（1）1+aAF2（1+a）当0a1时，如图4，直线的交点是E（a，a）EG1aCF2（1a）当a1时，如图5，S0S关于a的函数关系式为17（1）