第六章离散系统的Z域分析

1、第六章：离散系统的第六章：离散系统的z域分析域分析Chapter6本章要点本章要点FFFFFF Z变换变换Z变换的性质变换的性质反反Z变换变换Z域分析域分析FF 与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进行分析。与连续系统类似，离散系统也可用变换域法进行分析。差分方程Z变换代数方程6.1 Z变换一一 Z变换的定义变换的定义 1、 由抽样信号的拉氏变换引出由抽样信号的拉氏变换引出z变换定义。变换定义。)(tft0t)(10TT2)(tT)(tfst0kTkTtt)()(kTskTttfttftf)()()()()(kskTsbekTfsF)()(kkTskTtkTfkTttfttftf)()()(

2、)()()()(6.1 Z变换令令z = esT，上式为复变量，上式为复变量z的函数，用的函数，用F(z)表示；表示；f(kT)f(k) ，得，得kkzkfzF)()(称为序列称为序列f(k)的的双边双边z变换变换0)()(kkzkfzF称为序列称为序列f(k)的的单边单边z变换变换两边取双边拉普拉斯变换，得两边取双边拉普拉斯变换，得 平面间的对应关系平面和、zs2 j平面sImz平面zRez通常记为通常记为 F zZf k 1f kZF z或或 f kF z6.1 Z变换若若f(k)为为因果序列因果序列，则单边、双边，则单边、双边z 变换相等，否则不等。变换相等，否则不等。jTjTTjsTe

3、zeeeez)(TezT,变换的收敛域二、 z取值范围。收敛的变换的收敛域：使、zzkfzFzkk)()(16.1 Z变换 z变换定义为一无穷幂级数之和，显然当该幂级数收敛，即变换定义为一无穷幂级数之和，显然当该幂级数收敛，即kkzkf)( z变换才存在。上式称为变换才存在。上式称为绝对可和条件绝对可和条件，序列，序列f(k)的的z变换变换存在的存在的充分必要条件充分必要条件。 比值判据：、判别级数收敛方法 2kkkkkaaa1lim级数通项，且若有不定时，级数发散，时，级数收敛，当111例例1求以下有限序列的求以下有限序列的z变换变换 k=0 (1) f1(k)= (k) (2) f2(k)

4、=1 , 2 , 3 , 2,1 解解(1) 1)()()(01kkkkzkzkzF其单边、双边其单边、双边z变换相等。与变换相等。与z 无关，所以其收敛域为无关，所以其收敛域为整个整个z 平面平面。 (2)f2(k)的双边的双边z 变换为变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2 收敛域收敛域为为0 z 0 对有限序列的对有限序列的z变换的收敛域一般为变换的收敛域一般为0 z ，有时它在，有时它在0或或/和和也收敛。也收敛。 6.1 Z变换例例2 求求因果序列因果序列 0,0, 0)()(kakkakfkky的的z变换（式中变换（式中a为常数）。为常数）。 解：

5、解：代入定义代入定义 1110101)(1lim)(lim)(azazazzazFNNNkkNkkky可见，仅当可见，仅当 az-1 a 时，其时，其z变换存在。变换存在。 azzzFy)(RezjImz|a|o收敛域收敛域为为|z|a|6.1 Z变换例例3 求求反因果序列反因果序列 的的z变换。变换。解解 ) 1(0, 00,)(kbkkbkfkkfzbzbzbzbbzzFNNmmkkf111111111)(lim)()()(可见，可见， b-1z 1,即即 z b 时，其时，其z变换存在，变换存在， bzzzFf)(收敛域收敛域为为|z| |b|b|RezjImzo6.1 Z变换例例4 双

6、边序列双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)= 解解 0,0,kakbkk的的z变换。变换。bzzazzzFzFzFfy)()()( 可见，其收敛域为可见，其收敛域为 a z b （显然要求（显然要求 a 2 f2(k)= 2k ( k 1)F2(z)=2zz, z 2 （2）对单边对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省略。的区域。可以省略。 6.1 Z变换 f k F z k k1zz kakzza kekzze6543 2 1 z平面1 收敛域序号常用序列的Z变换 ( k 1)1zzaZ bzzbk ( k 1)bZ 1Ze

7、Z 1Z6.1 Z变换一、线性一、线性 6.2 z变换的性质变换的性质 本节讨论本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边也适用于双边z变换。变换。 若若 f1(k)F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(k) 2 z 11cos2)cos(2zzzz)(21)(coskeekkkjkj解：由于21)(cosjjezzezzkkZ二、移位（移序）特性二、移位（移序）特性 单边、双边差别大！单边、双边差别大！双边双边z变换的移位：变换的移位： 若若 f(k) F(z) , z 0，则，则 f(k m) z mF(z), z ，且有整

8、数且有整数m0, 则则f(k-1) z-1F(z) + f(-1)f(k-2) z-2F(z) + f(-2) + f(-1)z-1 10)()()(mkkmzmkfzFzmkf6.2 Z变换的性质变换的性质证明证明：Zf(k m)= 0)(kkzmkf上式第二项令上式第二项令k m=n)()()()(10100zFzzmkfzznfzmkfmmkkmmknnkmmkmkmkkzzmkfzmkf10)()()(f(k+1) zF(z) f(0)zf(k+2) z2F(z) f(0)z2 f(1)z 10)()()(mkkmmzkfzFzmkf特例特例：若若f(k)为因果序列，则为因果序列，则

9、f(k m) z-mF(z)6.2 Z变换的性质变换的性质单边单边z变换的左移位：变换的左移位： 若若 f(k) F(z), |z| ，且有整数且有整数m0, 则则例例3：求周期为求周期为N的有始周期性单位序列的有始周期性单位序列的的z变换。变换。 0)(mmNk00)(mmNmzmNk解：解： z 16.2 Z变换的性质变换的性质1)(k由根据移位性质得根据移位性质得mNzmNk)(由线性性质得由线性性质得111NNNzzz例例4：求求f(k)= k(k)的单边的单边z变换变换F(z). （法一）（法一）解解f(k+1)= (k+1)(k+1) = (k+1)(k) = f(k) + (k)

10、 对上式两端分别取对上式两端分别取Z变换，根据移位性质得变换，根据移位性质得 zF(z) z f(0) = F(z) + 1zzF(z)=2) 1( zz6.2 Z变换的性质变换的性质6.2 Z变换的性质变换的性质变换。的：求序列例zkkkf)4()()(51)(zzk) 1(1)4(3zzk)1(11)(3zzzkf根据移位性质得根据移位性质得 由线性性质得由线性性质得三、序列乘三、序列乘ak(z域尺度变换域尺度变换) 若若 f(k) F(z) , z 且有常数且有常数 a 0 ,则则akf(k) F(z/a) , a z a 证明证明：Zakf(k)= kkkzkfa)(6.2 Z变换的性

11、质变换的性质kkazkf)()(azF6.2 Z变换的性质变换的性质变换。的：求序列例zkkak)(cos71cos2)cos()(cos2zzzzkk解：由于根据尺度变换性质得根据尺度变换性质得 1cos2)()cos()(cos2azazazazkkak22cos2)cos(aazzazz四、卷积定理四、卷积定理 若若 f1(k) F1(z) 1 z 1, f2(k) F2(z) 2 z 2 则则 f1(k)*f2(k) F1(z)F2(z) 对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列其收敛域一般为其收敛域一般为F1(z)与与F2(z)收敛域的相交部分。收敛域的相交部分。 6.2

12、 Z变换的性质变换的性质6.2 Z变换的性质变换的性质22) 1() 1(zzkk）变换。）的求）已知例zkkkkkk(,() 1(*(. 8解：故又222) 1(1) 1() 1(zzzzzzkkkkk）22) 1(11(*(zzzzzzkk）1(zzk）2) 1(zzkk）（法二）（法二）五、序列乘五、序列乘k（z域微分）域微分） 若若 f(k) F(z) , z 则则 )(dd)(zFzzkkf, z 6.2 Z变换的性质变换的性质)(dd)(zFzzkfkmm)(dddd)(2zFzzzzkfk例例9：求求f(k)= k(k)的的z变换变换F(z). （法三）（法三）解解：1)(zzk

13、1dd)(zzzzkk6.2 Z变换的性质变换的性质2) 1() 1(zzzz2) 1( zz六、序列除六、序列除(k+m)(z域积分）域积分） 若若 f(k) F(z) , z 0， 则则zmmdFzmkkf1)()(, z 0，则，则 zdFkkf)()(6.2 Z变换的性质变换的性质例例10：求序列求序列 的的z变换。变换。 )(11kk解解1)(zzkdzkkz2) 1()(116.2 Z变换的性质变换的性质dzz)111(zz)1ln()1ln(zzz七、七、k域反转域反转(仅适用双边仅适用双边z变换变换） 若若 f(k) F(z) , z 则则 f( k) F(z-1) , 1/

14、z a求求a k ( k 1)的的z变换。变换。 解解11) 1(11zazzzkakazkak111) 1(，|z| a，|z| 1/a由线性性质得由线性性质得 azakak1) 1(，|z| 1/a6.2 Z变换的性质变换的性质6.3 逆逆z变换变换 一般而言，双边序列一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列可分解为因果序列f1(k)和反因果和反因果序列序列f2(k)两部分，即两部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k) (k 1) + f(k) (k)相应地，其相应地，其z变换也分为两部分变换也分为两部分F(z) = F2(z) + F1(z)， |z| F2(z)=

15、Zf(k) (k 1)= 1)(kkzkf，|z| )和和F2(z)( z 2 (2) z 1 (3) 1 z 2，故，故f(k)为因果序列为因果序列 )()2(32) 1(31)(kkfkk(2) 当当 z 1，故，故f(k)为反因果序列为反因果序列 ) 1()2(32) 1(31)(kkfkk(3)当当1 z 2， ) 1()2(32)() 1(31)(kkkfkk6.3 逆逆z变换变换例例2：已知象函数已知象函数 )3)(2)(1)(21()1294()(23zzzzzzzzzzF,1 z 1， 后两项满足后两项满足 z , f(k)=2 K1kcos( k+ ) (k)若若 z 1)，

16、则逆变换为，则逆变换为 razz)( 若若 z ,对应原序列为对应原序列为 )()!1()2).(1(1karrkkkrk6.3 逆逆z变换变换azKazKazKzzFrrr111211)()()(azriiizzFazdzdiK)()()!1(1111azzKazzKazzKzFrrr111211)()()(以以 z 为例：为例：当当r=2时，为时，为 kak-1 (k)当当r=3时，为时，为 )() 1(212kakkk可这样推导记忆可这样推导记忆： Zak (k)=azz两边对两边对a求导得求导得 Zkak-1 (k)= 2)(azz再对再对a求导得求导得Zk(k-1)ak-2 (k)=

17、3)(2azz故故Z0.5k(k-1)ak-2 (k)=3)(azz6.3 逆逆z变换变换例例3：已知象函数已知象函数323) 1()(zzzzF， z 1的原函数。的原函数。解解1) 1() 1() 1()(1321231132zKzKzKzzzzzF2)() 1(1311zzzFzK3)() 1(dd1312zzzFzzK1)() 1(dd21132213zzzFzzK1) 1(3) 1(2)(23zzzzzzzFf(k)=k(k-1)+3k+1 (k)6.3 逆逆z变换变换6.4 z域分析域分析 一、差分方程的变换解一、差分方程的变换解 mjjmniinjkfbikya00)()(设设f

18、(k)在在k=0时接入，系统初始状态为时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。 取单边取单边z变换得变换得 mjjjmkniikiinzFzbzikyzYza0010)()()(mjjjmniniikkiniinzFzbzikyazYza00010)()()()(6.4 z域分析域分析 A(z)-M(z)B(z)mjjjmniniikkiniinzFzbzikyazYza00010)()()()()()()()()()()()(000010zFzAzBzAzMzFzazbzazikyazYniiinmjjjmniiinniikkinYzi(z)Yzs(z)A(z)、 B(z)

19、的系数仅与差分方程的系数有关。的系数仅与差分方程的系数有关。M(z)的系数与的系数与an-i 和初始状态有关，而与激励无关。和初始状态有关，而与激励无关。例例1：若某系统的差分方程为若某系统的差分方程为y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统的。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。 解解 方程取单边方程取单边z变换变换 6.4 z域分析域分析 Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z) )(212121)2(2) 1()21

20、()(212211zFzzzzzyyzzY122) 1)(2(4)(2zzzzzzzzzYzi12312122)(zzzzzzzYzs12224 2222zzzzzzzzz)() 1()2(2)(kkykkzi)(23) 1(212)(1kkykkzs例例2：某系统，已知当输入某系统，已知当输入f(k)=( 1/2)k (k)时，其零状态响应时，其零状态响应 )()21(29)31(4)21(23)(kkykkkzs求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。和描述系统的差分方程。 解解31221361612)()()(22zzzzzzzzzFzYzHzsh(k)=3

21、(1/2)k 2( 1/3)k (k) ) 1(2)()2(61) 1(61)(kfkfkykyky)()()()()(zAzBzFzYzHzs令令称为系统函数称为系统函数 h(k)H(z) 二、系统函数二、系统函数6.4 z域分析域分析 三、系统的三、系统的z域框图域框图 f (k)Df (k -1)F(z)z1)(1zFz另外两个基本单元：数乘器和加法器，另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域和域和z域框图相同。域框图相同。6.4 z域分析域分析 例例3： 某系统的某系统的k域框图如图，已知输入域框图如图，已知输入f(k)= (k)。求系统的单位序列响应求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应和零状态响应yzs(k)。(1) 若若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应，求零输入响应yzi(k)DDf (k)y(k)1332解解:(1)画画z域框图域框图z-1z-1F(z)Yzs(z)设中间变量设中间变量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)()231 ()(21zXzzzF6.4 z域分析域分析 21223323131)()()(22211zzzzzzzzzzzzFzYzHzsh(k) = 2 (2)k (k)当当f(k) = (k)时，时，F(z)= z/(z-1