第5章第1节因素模型与APT

1、2010年年贺莉萍贺莉萍.第五章第五章 因素模型与因素模型与APTAPT第一节第一节 因素模型因素模型.v在第三章，为得到有效边界，要知道：在第三章，为得到有效边界，要知道： 各证券期望收益率各证券期望收益率 各证券收益率的方差和协方差各证券收益率的方差和协方差 无风险利率无风险利率v估计量和计算量随着证券种类的增加以估计量和计算量随着证券种类的增加以指数级指数级增加增加v引入因素模型可大大简化计算量引入因素模型可大大简化计算量估计估计Markowitz有效集的有效集的艰巨任务艰巨任务得到大大简化得到大大简化引子引子.Fama-French Fama-French 三因素模型三因素模型市值比风

2、险收益账面与规模相关的风险收益市场风险收益期望收益率321fr 法玛与弗兰齐法玛与弗兰齐 (K. French)(K. French)等人对等人对CAPMCAPM提出了批评，认为应提出了批评，认为应引入新的解释变量来解释证券的收益率引入新的解释变量来解释证券的收益率大量研究表明，股票收益除与市场相关外，还与上市公司的大量研究表明，股票收益除与市场相关外，还与上市公司的一些特征相关。小市值和高帐面价值一些特征相关。小市值和高帐面价值- -市值比股票的收益率市值比股票的收益率系统性地较高系统性地较高.vRossRoss在在19761976年建立的年建立的APTAPT理论，从另一角度理论，从另一角度

3、探讨了资本资产定价问题探讨了资本资产定价问题 因素模型因素模型+ +无套利均衡无套利均衡 = APT= APT一、一、APTAPT与因素模型与因素模型.v因素模型：由威廉因素模型：由威廉.夏普于夏普于1963年提出，是描述年提出，是描述证证券收益率生成过程券收益率生成过程的模型，的模型，是一种假设证券回报率是一种假设证券回报率是与一些因素或指标的运动有关的经济模型是与一些因素或指标的运动有关的经济模型v建立在证券关联性的基础上建立在证券关联性的基础上观点：观点：证券间的关联性证券间的关联性是由于某些共同因素的作用所致是由于某些共同因素的作用所致，不同证券对其有不同敏感度，不同证券对其有不同敏感

4、度因素模型企图抓住这些共同因素，并用一种因素模型企图抓住这些共同因素，并用一种线性关系线性关系来来表达证券表达证券收益率与这些因素间的关系收益率与这些因素间的关系二、二、APTAPT模型的逻辑起点模型的逻辑起点 因素模型因素模型.因素模型的特点因素模型的特点v第一、第一、因素因素模型中的因素应该是系统影响所有证券模型中的因素应该是系统影响所有证券价格的经济因子价格的经济因子v第二、在构造的因素模型中，我们假设两个证券的第二、在构造的因素模型中，我们假设两个证券的回报率相关（一起运动），仅仅是因为它们对因素回报率相关（一起运动），仅仅是因为它们对因素运动的共同反应所致运动的共同反应所致v第三、证

5、券回报率中第三、证券回报率中不能由因素模型解释的部分不能由因素模型解释的部分是是该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部分无关分无关.v因素模型中的因素常以指数形式出现，又因素模型中的因素常以指数形式出现，又称为称为指数模型指数模型v可分为单因素模型和多因素模型可分为单因素模型和多因素模型.三、单因素模型三、单因素模型v单因素模型假设单因素模型假设只有单个系统因素影响证券收只有单个系统因素影响证券收益率益率，或者说其它因素的影响并不显著。，或者说其它因素的影响并不显著。并进并进一步假设其余的不确定性是公司所特有的一步假设其余的不确定性是公司所特有

6、的如可以建立以如可以建立以GDPGDP的预期增长率的预期增长率为自变量，以证券为自变量，以证券预期回报率为因变量的单因素模型预期回报率为因变量的单因素模型.（一）单因素模型的一般形式（一）单因素模型的一般形式iiiirab fe（5.1）v单因素模型认为只有一个因素单因素模型认为只有一个因素 f 对所有证券的收益产生广泛对所有证券的收益产生广泛影响，影响，这种影响通过建立如下方程来反映：这种影响通过建立如下方程来反映：v其中：其中： f 是共同因素的是共同因素的预期值预期值 ai 为零因子为零因子 bi 是证券是证券i对共同因素对共同因素f的敏感度的敏感度 ei 为证券为证券i的特有回报的特有

7、回报v一般通过一般通过回归分析回归分析得到单因素模型得到单因素模型.（二）单因素模型的基本假设（二）单因素模型的基本假设v 随机误差项的期望值为零随机误差项的期望值为零v因素对非系统风险不产生影响因素对非系统风险不产生影响v一个证券的非系统风险对其它证券的非系统风险不一个证券的非系统风险对其它证券的非系统风险不产生影响，产生影响，两种证券的回报率仅仅通过对因素的共两种证券的回报率仅仅通过对因素的共同反应而相关联同反应而相关联否则随机误差项否则随机误差项不完全代表不完全代表非系统风险非系统风险0iE e.（三）单因素模型下的收益风险计算（三）单因素模型下的收益风险计算证券证券i的期望收益率为：的

8、期望收益率为： 其回报率的方差其回报率的方差2222iifeib因素风险因素风险非因素风险非因素风险证券风险分为两部分：依赖于因素变化的部分和不依证券风险分为两部分：依赖于因素变化的部分和不依赖于因素变化的部分赖于因素变化的部分iiirab f（5.2）（5.3）.v证券证券i的总风险的总风险v组合的总风险组合的总风险 证券证券i i的因的因素风险素风险证券证券i i的非的非因素风险因素风险2222epfppb2222eifiib.2cov( , )cov(,)ijijiiijjjijfr rab fe ab febb在单因素模型中，计算在单因素模型中，计算证券间的协方差证券间的协方差变得十变

9、得十分简单分简单：可见：两个公司可见：两个公司收益率的相关性收益率的相关性的唯一的唯一来源来源就是就是因素因素f f的变动的变动.（三）分散化投资的效用（三）分散化投资的效用v不失一般性，我们假设不失一般性，我们假设 则，则， 分散化使系统风险分散化使系统风险平均化平均化 分散化分散化显著减少显著减少非系统风险非系统风险niiniiipnw111n1iWnnnwnieinieinieiiep12122122211.( (四四) ) 市场模型市场模型夏普单指数模型夏普单指数模型v在实际应用中，常用在实际应用中，常用市场指数的回报率市场指数的回报率来作来作为影响证券收益率的单因素，此时的单因素为影

10、响证券收益率的单因素，此时的单因素模型被称为模型被称为市场模型市场模型v市场模型实际上是单因素模型的市场模型实际上是单因素模型的一个特例一个特例v 或或 imiiierbar iIiiierbar.市场模型与市场模型与CAPMCAPM的比较的比较v市场模型的市场模型的b bi i与与CAPMCAPM模型的模型的i i含义相同含义相同单因素模型中的协方差：单因素模型中的协方差：Cov(ri，rm)= Cov(ai+birm+ei，rm)= Cov(ai，rm)+ biCov(rm，rm)+ Cov(ei，rm) =bi2m 可得：可得： bi= Cov(ri，rm)/2m .v不同点不同点市场模

11、型采用的是更为特殊和直观的市场模型采用的是更为特殊和直观的市场指数市场指数，CAPMCAPM采采用用市场组合市场组合市场模型不是均衡模型，它具有非均衡性特征市场模型不是均衡模型，它具有非均衡性特征v CAPM CAPM对应着对应着 a=0 a=0 时的市场模型时的市场模型miifmifimiiiRRrrrrrbar即)(.（五）单因素模型的估计（时间序列法）（五）单因素模型的估计（时间序列法）下表反映了公司下表反映了公司i i的股票收益率的股票收益率 和和GDPGDP增长率（简记为因子增长率（简记为因子）和通胀率（简记为因子）和通胀率（简记为因子I I）年的统计情况）年的统计情况年度年度 5.

12、7% 1.1% 14.3% 2 6.4% 4.4% 19.2% 3 7.9% 4.4% 23.4% 4 7.0% 4.6% 15.6% 5 5.1% 6.1% 9.2% 6 2.9% 3.1% 13.0%irir.v假设证券的回报率生成过程仅包含一个影假设证券的回报率生成过程仅包含一个影响因素，例如认为证券的回报率只与响因素，例如认为证券的回报率只与GDP的增长率的增长率有关，则：有关，则：这一关系可用下图表示，图上每一点表示给定年份这一关系可用下图表示，图上每一点表示给定年份i的回报率与的回报率与GDPGDP增长率增长率24201612844826.v为阐明图中反映的数量关系，用为阐明图中反

13、映的数量关系，用一元回归分析一元回归分析做一做一条直线来条直线来拟合拟合图中的点。则直线的回归方程为图中的点。则直线的回归方程为: : r rt t= = 4% 4% + + 2 2I IGDPtGDPtv较高的预期较高的预期GDPGDP增长率与较高的证券收益率相关联增长率与较高的证券收益率相关联v证券的实际回报率由于证券的实际回报率由于含有非因素回报含有非因素回报，位于拟合，位于拟合直线的上方或下方。因此对二者关系的完整描述为：直线的上方或下方。因此对二者关系的完整描述为：4%2tG D P ttrIer.v从方程可看出，任何一个证券的收益由三部分构成：从方程可看出，任何一个证券的收益由三部

14、分构成： 因素值为零时的期望收益因素值为零时的期望收益aiai 系统性风险收益系统性风险收益 bifbif 非系统性风险收益非系统性风险收益 eiei.（六）单因素模型的优点（六）单因素模型的优点v以一种简单的方式来计算协方差，可大大简化均以一种简单的方式来计算协方差，可大大简化均值值- -方差模型中的计算量方差模型中的计算量v假定需分析假定需分析n n种股票构建的组合，则种股票构建的组合，则 均值方差模型：均值方差模型：(n(n2 2-n)/2 -n)/2 个协方差个协方差 单因素模型：单因素模型：n n个个b bi i ，一个因素，一个因素f f 方差方差 ，共，共n n1 1个估计值个估

15、计值 若若n n5050，前者为，前者为12251225，后者为，后者为51512f.v单因素模型过于简单、笼统，仅是一个单因素模型过于简单、笼统，仅是一个便于大家理便于大家理解的简化模型解的简化模型v多因素模型：将影响证券收益的系统性因素扩展到多因素模型：将影响证券收益的系统性因素扩展到多个多个v先考虑两因素模型，这意味着假设收益率生成过程先考虑两因素模型，这意味着假设收益率生成过程中包含有两个影响因素中包含有两个影响因素四、多因素模型四、多因素模型.两因素模型两因素模型v收益率与两因素的线性关系收益率与两因素的线性关系：1 122iiiiirab fb fe0, cov(,)0iijE e

16、ee其 中 ，12cov( ,)0,cov( ,)0iiefef.证券证券i i的期望回报率：的期望回报率： 1122iiiirab fb f其回报率的方差：其回报率的方差：122222221212122cov(,)iififiieibbb bff证券证券i i对因素对因素1 1的敏感度的敏感度.对于证券对于证券I I 和和 j j，其协方差为：，其协方差为：11221122cov( ,)cov(,)ijijiiiijjjjr rab fb feab fbfe22111222122112()cov( ,)ijfijfijijb bb bb bb bf f.v前例：把前例：把G G和和I I两个

17、因素的影响都考虑在内，可构两个因素的影响都考虑在内，可构建一个建一个二元线性方程二元线性方程来解释证券来解释证券i i回报率的生成回报率的生成，这一方程表达为：，这一方程表达为：v回归结果：用第六年的实际数据代入，可算出公司的收益是10%，则证券的特有回报率是iiiiieIbGbar217 . 0, 2 . 2%,8 . 521iiibba.多因素模型多因素模型v考虑到多种因素对证券回报率的影响，可进考虑到多种因素对证券回报率的影响，可进一步将因素模型进行拓展，从而形成多因素一步将因素模型进行拓展，从而形成多因素模型模型ikikiiiiefbfbfbar 2211 .五、因子识别五、因子识别v

18、因子识别因子识别：选取影响证券收益的因素的过程：选取影响证券收益的因素的过程v主要考虑那些对证券价值和收益有较强解释能力主要考虑那些对证券价值和收益有较强解释能力的宏观经济因子的宏观经济因子v两个典型的多因素模型两个典型的多因素模型.v法马与弗伦奇的法马与弗伦奇的3 3因素模型因素模型v罗尔和罗斯的罗尔和罗斯的5 5因素模型：因素模型：5因素为：行业生产增长率因素为：行业生产增长率IP、预期通胀率、预期通胀率EI、非预期通、非预期通胀率胀率UI、长期公司债券对长期政府债券的超额收益、长期公司债券对长期政府债券的超额收益CG和和长期政府债券对短期国库券的超额收益长期政府债券对短期国库券的超额收益

19、GBRi=ai+ i1IP + i2EI + i3UI + i4CG + i5GB + ei.v当以共同因素当以共同因素f f的的非预期变化非预期变化来解释证券的回报来解释证券的回报率时，则：率时，则：可视为该证券的初始期望收益率可视为该证券的初始期望收益率模型演变成了一个特殊的因素模型模型演变成了一个特殊的因素模型共同因素的非预期变化共同因素的非预期变化F的的期望值为零期望值为零因素的意外变化（共同因素的意外变化（共同因素对其预期值的偏离）因素对其预期值的偏离）预期的回报预期的回报六、特殊的因素模型六、特殊的因素模型iiiiiiieFbrEefEfbrEr)()()(.v证券回报可用证券回报

20、可用预期到的回报预期到的回报和和未预期到的未预期到的回报回报两部分来解释两部分来解释. 练习一练习一1 1、假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。一个、假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。一个投资基金分析了投资基金分析了450450只股票，希望从中找出均方有只股票，希望从中找出均方有效有效组合。它需要计算（效有效组合。它需要计算（ ）个期望收益和（）个期望收益和（ ）个方差。个方差。2 2、假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。一个、假设股票的市场收益并不遵从单指数结构。一个投资基金分析了投资基金分析了120120只股票，希望从中找出均方有只股票，希望从中找出均方有效有效组合。它需要计算（效有效组合。它需要计算（ ）个协方差。）个协方差。.练习二练习二v假设股票的市场收益遵从单指数结构。一假设股票的市场收益遵从单指数结构。一个投资基金分析了个投资基金分析了250250只股票，希望从中找只股票，希望从中找出均方有效组合。它需要计算（出均方有效组合。它需要计算（ ）个期）个期望收益估计值的，以及（望收益估计值的，以及（ ）个对宏观经）个对宏观经济因素的敏感性系数的估计值。济因素的敏感性系数的估计值。.练习三练习三v考虑单指数模型，某只股票的阿尔法值为考虑单指数模型，某只股票的阿尔法值为0%，市场指数的收益为市场指数的收益