勾股定理培优

1、精品文档第 19 讲勾股定理考点·方法·破译1会用勾股定理解决简单问题.2会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典·考题·赏析【例1】 ( 达州 ) 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形. 若正方形A、B、 C、 D 的边长分别是3， 5， 2，3，则最大正方形E 的面积是 ()A13B26C47D94【解法指导】观察勾股树，发现正方形A、B 的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角

2、边. 此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形 A、 B、C、 D四个面积之和，故选 C【变式题组】01 ( 安徽 ) 如图，直线 l过正方形 ABCD的顶点 B，点 A， C到直线 l 的距离分别是1和 2，则正方形的边长是 _.DACCA2l11BlBl 2第1题图第 2题图第 3题图l 302( 浙江省温州 ) 在直线 l上的依次摆放着七个正方形( 如图所示 ) ，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1， 2， 3，正放置的四个正方形的面积依次是S，S，S ，S，则 S12341S2 S3 S4 _.03 (

3、浙江省丽江 ) 如图，已知ABC中， 90°，三角形的顶点在相互平行ABCABBC的三条直线l、l、l上且l、l之间的距离为2，l、l之间的距离为3，则的1231223长是 ()2 17B2 5C4 2D7BA【例 2】 ( 青岛 ) 如图，长方体的底面边长分别为1 和 3，高为6cmcmcm6cm. 如果用一根细线从点A 开始经过4 个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 _；如果从点A开始经过 4 个侧面缠绕n圈到cmA3cm1cm达点 B，那么所用细线最短需要_ cm.【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短. 画出

4、线路，然后利用勾股定理解决，应填10， 2916n2.【变式题组】。1欢迎下载精品文档01 ( 恩施 ) 如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是()A5 21B25C10 55D35吸管BBCAAD210FMAN15106BEC第 1题5第 2题图02 ( 荆州 ) 如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6× 10( 单位 : cm) ，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为 1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸

5、管后露在盒外面的长为，则h的最小值大约为hcm_cm.( 精确到个位，参考数据 :2 1 4，317:5 22)03 ( 荆州 ) 若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_cm.( 铁丝粗细忽略不计 )【例 3】( 荆州 ) 如图，将边长为8 的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，cmABCDBC点 A 落在 F 处，折痕为 NM，则线段 CN的长是 ( )A3cmB4cmC5cmD6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设CN x，DN NE8 x. 在 Rt CEN中， (8 x) 2 42 x2 x 5. 故选 C 【变式题组】0

6、1在四边形ABCD中， B90°， AB 4， BC 3， CD13， AD 12求 S四边形 ABCDDACB02如图， ABC中， AB 13，AD 6， AC 5 ，D为 BC边的中点 . 求 SABC03如图， ABC中， ACB90°， AD平分 CAB， BC4， CD 3 . 求 AC2。2欢迎下载精品文档【例 4 】（四川省初二数学联赛试题 ) 如图，直线 OB是一次函数y2x的图象，点 A的坐标为 (0 ， 2) ，在直线 OB上找点 C，使得 ACO为等腰三角形，求点 C坐标 .【解法指导】求 C点坐标需分类讨论 .y(1) 若以 O为顶点， OA为腰，

7、则 C在以 O为圆心， OA的长为y2x半径的圆与 y 2x 的交点处 .A(2) 若以 A为顶点， AO为腰，则 C 在以 A 为圆心， AO的长为半径的圆与 y2x 的交点处 .Ox(3) 若以 C为顶点，则 C在 OA的中垂线与 y2x 的交点处 .B【解】若以O为顶点， OA为腰，如图设C( t ， 2t ) ，则在 RtyCOD中，OC ODCD 4 t ( 2t )25 t 4t 25CA222225D Ox25，4525，45 C(），C(）152555若以 A 为顶点， AO为腰，如图，设C( t ， 2t ) ，在 Rt ACE中y222222t 0（舍去）， t 8CEAA

8、C CEAE2 t ( 2t 2)5816 )1Ox3(若C为顶点，C在的中垂线上 . 4(C5，OAC， 1)52【变式题组】01若 （3， 2），B为x轴上一点，O为坐标原点 . 若是等腰三角形 . 求B点坐标 .AAOB02如图，在平面直角坐标系中，A(4 ， 0) ， B 为 y2x 上一点，若 AOB为等腰三角形 . 求B点坐标 .yy 2xOA(4,0)x03如图 . 在平面直角坐标系中，A(0 ， 4) ， B为 y2x 上一点，若 AOB为直角三角形 . 求 B点坐标 .yy2xAOx。3欢迎下载精品文档【例 5】 ( 福建省漳州 ) 几何模型：条件：如下左图，A、 B 是直线

9、 l 同旁的两个定点.问题：在直线l 上确定一点P，使 PA PB的值最小 .方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A' ，连接 A' B交 l 于点 P，则 PA PBA' B 的值最小 ( 不必证明 ).模型应用：如图 1，正方形 ABCD的边长为 2，E 为 AB的中点， P 是 AC上一动点 . 连接BD，由正方形对称性可知， B 与 D关于直线 AC对称 . 连接 ED交 AC于 P，则 PB PE的最小值是_ ；(2) 如图 2， AOB 45°， P 是 AOB内一点， PO 10，Q、 R 分别是 OA、 OB上的动点，求 PQR周长的最小值

10、 .BBP1BBRPERPAPlAPCAOQQAAOD图 2P2【解】图 1(1) 5(2) 如图 2，作 P关于 OB的对称点 P1，关于 OA的对称点 P2，连接 P1P2，交 OB于 R，交 OA于 Q，则 PRQ的周长最小，且此时PRQ的周长为PR RQQP P1P2连接 OP1， OP2， 1 2， 3 4， 2 3 45° P1OP2 90°， OP1 OP OP2，222在 Rt OP1P2 中， P1P2 OP1 OP2 ， P1P2 10 2【变式题组】01 ( 荆门 ) 一次函数y kxb 的图象与 x、y 轴分别交于点A（ 2，0）， B（0， 4）

11、.求该函数的解析式；O为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C、 D，P 为 OB上一动点，求PC PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标 .yBPDOCAx02（四川联赛试题 ) 已知矩形 ABCD的 AB 12，AD 3，E、 F 分别是 AB，DC上的点，则折线长的最小值为 _.AFEC03 ( 陕西 ) 如图，在锐角中，4 5，45°，的平分CABCABBACBAC线交 BC于点 D， M、N分别是 AD和 AB上的动点，则BM MN的最小值是MD_.ANB【例 6】求 x24 8 x216 的最小值 .。4欢迎下载精品文档【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数

12、不是CF完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点22222 42均为平方和结构，由此2EBx 4x 2 ，(8 x) 16(8 x)Ax H8x4x 222x2联想到勾股定理，题目就是求以，842为D斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决.【解】如图，作AB 8， AC AB， BD AB， AC 2， BD 4. E 是 AB 上一动点 . 设 AE x.则 BE 8x. CEx 222，DE8242. 所以求代数式最小值问题转化为在xAB上求一点 E，使 CE DE值最小 . 根据线段公理，连接CD交 AB于 H，则 CD为所求 . 作 C

13、F 交延长线于. 在Rt中，22 10. 所求最小值为10.DBDBFCDFCDCFDF【变式题组】1. （恩施自治州）如图， C为线段 BD上一动点，分别过点 B、D作 AB BD， ED BD，连接AC、 EC已知 AB 5， DE 1，BD 8，设 CD x.用含 x 的代数式表示 AC CE的长；请问点 C满足什么条件时， AC CE的值最小 ?x24 1229 的最小值根据中的规律和结论，请构图求出代数式xABCDE02 ( 咸宁 ) 问题背景 :在 ABC中， AB、 BC、AC三边的长分别为5 、10 、13 ，求这个三角形的面积 .小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(

14、 每个小正方形的边长为1) ，再在网格中画出格点ABC(即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处) ，如图1 所示.这样不需求 ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.请你将的面积直接填写在横线上 _；ABC思维拓展 :我们把上述求面积的方法叫做构图法. 若三边的长分别为52 2ABCABCa、a、17 a( a 0) ，请利用图2 的正方形网格( 每个小正方形的边长为a) 画出相应的ABC，并求出它的面积；探索创新 :若 ABC三边的长分别为m216n2 、9m24n2 、 2 m2n2 （ m0，n 0，且 m n），试运用构图法 求出这三角形的面积 .【例 7】.( 天津 ) 已知 Rt

15、 ABC中， ACB 90°，CA CB，有一个圆心角为 45°，半径的长等于 CA的扇形 CEF绕点 C。5欢迎下载精品文档旋转，且直线、分别与直线AB交于点、 .CE CFM N当扇形 CEF绕点 C在 ACB的内部旋转时，如图2221，求证： MN AM BN；【思路点拨】考虑222MN AMBN 符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将 ACM沿直线 CE对折，得 DCM，连接 DN，只需证 DN BN， MDN 90°就可以了 .请你完成证明过程 :当扇形绕点C旋转至图2 的位置时，关系式222 是否仍然成立 ?若成立，GEFMN AMBN请

16、证明；若不成立，请说明理由 .【解法指导】观察求证的结论容易发现222MN AM BN 符合匀股定理的结构形式 . 因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角形 .【解】 ( l ) 证明 : 将 ABM沿直线 CM对折，得 DCM，连 DN. ACM DCM 1 2， ACCD， A MDC AC BC CDBC MCN 45°， 1 4 2 3 3 4在 DCN和 BCN中，CD CB3 4， 45°，CDNCBNCDNBBN DNCN CN222222 MDN 90°在 Rt DMN中， MNDMDN NM AM BN将 ACM沿直线 CM对折，得 GCM，连接

17、 GN. GCM ACM， CGM CAM 135°， 1 2， AM GM BCN 90° 3 90° (45 ° 1) 45° 1 45° 2 CGN 1 3 245° 2 BCN CGN在 BCN和 GCN中CN CN BCN CGN BCN GCN， CGN B 45 °，GN BNCB CG222，222 MGN 135° 45° 90°，在 Rt MGN中， MNMG GN MN AMBN【变式题组】01在Rt中， 90°，D为AB边的中点，. 求证：222ABC

18、CDEDFEFAEBF02我们给出如下定义: 若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称_；如图 1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；如图 2，将 ABC绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°，得到 DBE，连接 AD、DC， DCB 30° . 求证：四边形 ABCD是勾股四边形 .。6欢迎下载精品文档03( 台州 ) 如图 1，Rt ABC Rt EDF， ACB F 90°， A

19、E 30°. EDF绕着边AB的中点 D旋转， DE、 DF分别交线段 AC于点 M、 K.观察 : 如图 2、图 3，当 CDF 0°或 60°时， AM CK_MK( 填“”、“”或“” ). 如图 4，当 CDF 30°时， AMCK_MK（只填“”或“”).猜想 : 如图 1，当 0° CDF 60°时， AM CK_MK，证明你所得到的结论.222MK如果 MK CK AM，请直接写出CDF的度数和的值 .AM演练巩固·反馈提高01如图，小正方形边长为 1，连接小正方形的三个顶点，可得 ABC，则 AC边上的高为（

20、）A3 2B 35C 35D 45AB2105502 ( 哈尔滨 ) 如图，长方形纸片中， 8 ，把长方形纸片沿直线折CABCDABcmACEBEAE25的长为 ()DFC叠，点落在点处，交于点，若，则DCFAFcmAD4A4cmB5cmC6cmD7cmAB03 ( 滨州 ) 已知 ABC中， AB 17，AC 10， BC边上的高AD为 8，则边 BC的长为 ( )A21B15C6D21 或 904在同一平面内把边BC 3， AC 4， AB 5 的三角形沿最长边AB翻折后得到 ABC'，则CC' 的长等于 ()A 12B 13C 5D 245565。7欢迎下载精品文档05一

21、个三角形三边长度之比为3:4:5 ，则这个三角形的三边上高的之比为()A3:4:5B5:4:3C20:15:12D9:16:2506 ( 山西 ) 如图，在Rt ABC中， ACB 90°， BC 3， AC 4， AB的垂直平分线DE交 BC的延长线于点E，则 CE的长为 ()A3B7C25D226607( 湖州 ) 如图，在正三角形ABC中，AB 1，D、E、F 分别是 BC、AC、AB上的点， DE AC，EF AB， FD BC，则 DEF面积为 _.08( 安顺 ) 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的 . 若 AC 6，BC 5，将四

22、个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_.09( 安徽 ) 长为 4m的梯子搭在墙上与地面成45°角， 作业时调整为60°角 ( 如图所示 ) ，则梯子的顶端沿墙面升高了_m.10 ( 滨州 ) 某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB 4 米， BAC 30°， C 90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为_.11( 湖州 ) 如图，已知在 Rt ABC中， ACB 90°， AB 4，分别以 AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S 、 S 则 S S 的值等

23、于 _.121212( 呼和浩特 ) 如图，四边形 ABDC中， ABD 120°，ABAC，BD CD，AB 4，CD 53 ，则该四边形的面积是_.13已知等腰三角形的底边 20，是腰上一点，且 12， 16，则ABCABcm PACAPcm BPcm腰长是 _.14 ( 沪州 ) 如图，中， 2，90°，D是的中点，且它关于的对ABCAB BCABCBCAC称点为 D，则 BD_.15如图，点 A在反比例函数y6 的图象上， OA 4，AC x 轴，OA的中垂线交 x 轴于 B求xy ABC的周长 .。8欢迎下载x精品文档16有一人字形屋架 ( 等腰三角形 ) ，其顶

24、角为 120°，两腰长均为 4 米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架， 试问将屋架的第三边改为多少时， 新的三角架为直角三角形 ?17 ( 牡丹江 ) 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地 8m长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长 .18如图 A(3 ，4) ，B( a，1) ， AB 5，C、 D分别为 x 轴、 y 轴上的两动点. 求四边形ABCD周长的最小值 .yA(3,4)B(a,1)O)x19如图，在正ABC中， DC4， DB 3， DA 5，求 CDB20如图，在 Rt A

25、BC中， ACB 90°， AC BC， D 为三角形内一点， DC 2， DB1， DA 3求 CDB培优升级 ?奥赛检测01如图，在 RtABC中， AB AC， D、 E 在斜边 BC上且 DAE 45°，将 ADC绕点 A 顺时针旋转，使 AC与 AB重合，得。9欢迎下载精品文档到，连接，则下列结论 : ；AFBEFAED AEFABEACDBEDC DE222)BE DC DE其中正确的是 (AB CD02 ( 四川联赛试题 ) BD是 ABC的中线， AC 6 且 ADB45°， C 30°，则 AB()A 6B2 2C3 2D603（江西竞

26、赛）若将三条高线长度分别为x、y、z 的三角形记为 ( x，y，z) ，现在以下四个三角形 (6 ， 8， 10) ， (8 ， 15，17) ， (12 ， 15， 20) ， (20 ， 21， 29) 中，直角三角形的个数为 ()A1 个B2 个C3 个D4 个04 ( 北京竞赛 ) 如图，是一张长方形纸片，将，折起、使 、B两点重合于CDABCDAD BCA边上的 P 点，然后压平得折痕EF与 GH.若 PE 8cm， PG 6cm，EG 10cm，则长方形纸2片 ABCD的面积为（） cmA105.6B110.4C115.2D124.805如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB

27、、 CD、 EF、 GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )ACD、 EF、 GHBAB、 CD、 EFCAB、 CD、 GHDAB、 EF、GHAACFHSQEBPDBCG第5题图R第 6题图06 ( 四川省初二数学联赛试题) 如图，等边三角形ABC内有一点P，过点 P 向三边作垂线，垂足分别为S、 Q、 R，且 PQ 6， PR S， PS 10，则 ABC的面积等于 ()A 1903B 1923C1943D196307( 四川省初二数学联赛试题) 如图所示， 在 ABC中， BAC120°，ABAC 103 cm，一动点 P从 B 向 C以每秒 2cm的速度移动，当P 点移动 _秒时， PA与腰垂直 .AA242BC P第7题图BDC第8题图08如图，在 ABC中，D是 BC边上一点， AB AD 2，AC 4，且 BD: DC 2:3 则 BC _.09 ( 黑龙江竞赛 ) 小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20 ，宽为 8cm的长方cm形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形， 并使其一个顶点在长方形的一边上