高考数学一轮复习讲练测江苏版：专题2.12函数模型及其应用讲

1、【最新考纲解读】内 容 要 求备注ABC函数概念与基本初等函数函数模型及其应用 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题. 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【考点深度剖析】解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；建模：把自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；求模：求解数学模型，得出数

2、学结论；还原：将数学结论还原为实际问题的意义【判一判】判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.( )(2)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻.( )(3)幂函数增长比直线增长更快.( )(4)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，当x(4，)时，恒有h(x)f(x)g(x).( )答案只有(4)对【练一练】小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，则下列图象与以上事件吻合得最好的是_(填序号).答案解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排

3、除.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除.后来为了赶时间加快速度行驶，排除.故符合. 【经典例题精析】考点1 一次函数与二次函数模型【1-1】 某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差_元 【答案】10【1-2】将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个_元【答案】95【基础知识】1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为

4、常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同【思想方法】 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出

5、错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题【温馨提醒】 1易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域2注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性考点2 分段函数模型【2-1】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车

6、流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式 (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)【答案】(1) v(x)(2) 当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值f(x)max3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时 【2-2】某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完公司

7、对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由【答案】(1) f(t) g(t)t26t(0t40) (2) 上市后的第30天 (2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为h(t)故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的关系为F(t)当0t2

8、0时，F(t)3tt324t2，F(t)t248tt0，F(t)在0,20上是增函数，F(t)在此区间上的最大值为F(20)6 0006 300.当20t30时，F(t)60.由F(t)6 300，得3t2160t2 1000，解得t(舍去)或t30.当30t40时，F(t)60.由F(t)在 (30,40上是减函数，得F(t)0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快

9、越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同【思想方法】(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解(2) 分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)【温馨提醒】构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏考点3 指数函数模型【3-1】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的

10、.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？【答案】(1) x1 (2) 5(3)15.【3-2】某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，判定该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用).【答案】略有亏损【解析】设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(110%)na1.1n，经历n次跌停后的价格为a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99na0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常

11、数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同【思想方法】(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型(3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解【温馨提醒】解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性【易错题型大揭秘】数学实际应用问题，一定要正确理解题意，选择适当的函数模型；合理确定实际问题中自变量的取值范围；必须验证答案对实际问题的合理性如：如图所示，在矩形中，已知，（）在、上分别截取、都等于，当为何值时，四边形的面积最大？求出这个最大面积【分析】设四边形的面积为，则，由图形知函数的定义域为，若，即时，使面积取得最大值；若，即时，函数在上是增函数，此时当时，有最大值为综上可知，若，当时，四边形的面