轴向拉伸和压缩4

1、直杆在轴向拉伸时，将引起轴向尺寸的增大和直杆在轴向拉伸时，将引起轴向尺寸的增大和横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下，横向尺寸的缩小。反之，在轴向压力作用下，将引起轴向尺寸的缩短和横向尺寸的增大。将引起轴向尺寸的缩短和横向尺寸的增大。FFll bb杆件在轴线方向的伸长为杆件在轴线方向的伸长为lll 纵向线应变纵向线应变ll2.6 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形杆件在横向的变形为杆件在横向的变形为bbb bb 横向线应变横向线应变2.6 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形FFll bb杆件横截面上的正应力为杆件横截面上的正应力为NFFAA工程上使用的大多数材料，其应力与

2、应变关工程上使用的大多数材料，其应力与应变关系的系的初始阶段都是线弹性初始阶段都是线弹性的。即当应力不超的。即当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，过材料的比例极限时，应力与应变成正比，即即胡克定律胡克定律。可写成。可写成ENF lFllEAEA 式中的式中的弹性模量弹性模量E 随材料而不同。随材料而不同。llNFFAAE2.6 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形NF lFllEAEA 从上式看出，对长度相同，受力相同的杆从上式看出，对长度相同，受力相同的杆件，件，EA越大则变形越大则变形l 越小，即抵抗变形的能越小，即抵抗变形的能力越强。力越强。2.6 轴向拉伸或压缩时的

3、变形轴向拉伸或压缩时的变形即：即：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长当应力不超过比例极限时，杆件的伸长l与拉力与拉力F和杆件的原长度和杆件的原长度l成正比，与横截面面成正比，与横截面面积积A、E成反比成反比。这是。这是胡克定律胡克定律的另一表达形的另一表达形式。对于轴向压缩的情况，只要把轴向拉力改式。对于轴向压缩的情况，只要把轴向拉力改为压力，把伸长为压力，把伸长l看作是缩短就可以了。看作是缩短就可以了。EA抗拉抗拉(或抗压或抗压)刚度。刚度。试验结果表明：试验结果表明：当应力不超过比例极限时，有当应力不超过比例极限时，有llbb / 称为称为横向变形因数横向变形因数或或泊松泊松(Poisso

4、n, Simeon-Denis）（17811840）法国数学家)比比，是一，是一个量纲一的量。个量纲一的量。因为当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩因为当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短时横向增大，所以短时横向增大，所以 和和 的符号总是相反的。的符号总是相反的。 和和 的关系可以写成的关系可以写成 了解了解P27:表表2-22.6 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形谁首先提出弹性定律谁首先提出弹性定律? 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一一1703)首先

5、提出来的，所以通常叫做首先提出来的，所以通常叫做胡胡克定律克定律。其实，在胡克之前。其实，在胡克之前1500年，我国早就年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。有了关于力和变形成正比关系的记载。 东汉经学家郑玄东汉经学家郑玄(127200)对对考工记考工记弓弓人人中中“量其力，有三均量其力，有三均”作了这样的注释：作了这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。”例例1 如图所示杆系由两根钢杆如图所示杆系由两根钢杆1和和2组成。组成。已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成已知杆端铰接，两

6、杆与铅垂线均成 30的角度，长度均为的角度，长度均为2 m，直径均为，直径均为25 mm，钢的弹性模量为，钢的弹性模量为E210 GPa。设。设在在A点处悬挂一重物点处悬挂一重物 P100 kN，试求，试求点点A的位移的位移 A。A BC解：列平衡方程，考虑销钉解：列平衡方程，考虑销钉A的受力的受力，求两杆求两杆的轴力的轴力AxyFN2FN1N2N10,sinsin0 xFFFN1N20,coscos0yFFFPN1N22cosPFF两杆的变形为两杆的变形为N1122cosF lPlllEAEA 是伸长变形。是伸长变形。A BCA BC变形的变形的几何相容条件几何相容条件是：变形后，两杆仍应铰

7、是：变形后，两杆仍应铰结在一起。结在一起。以两杆伸长后的长度以两杆伸长后的长度BA1和和CA2为半径作圆弧为半径作圆弧相交于相交于A，即为，即为A点的新位置。点的新位置。AA就是就是A点点的位移。的位移。AA1l1A2l2AA AA1l1A2l2 因变形很小，故可过因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂分别做两杆的垂线，相交于线，相交于 A , 则则A12cos2cosAlPlAAEA 24dA39224 100 1020.001293m1.293mm( )2 210 100.025cos 30A 切线代弧线原理切线代弧线原理A BCA注注 意意变形图中杆件的伸长变形图中杆件的伸长(

8、(或缩短或缩短) )与拉与拉力（或压力）一定要对应。力（或压力）一定要对应。例例2 如图所示圆锥形杆，两端受轴向力如图所示圆锥形杆，两端受轴向力F 作用。作用。设轴长为设轴长为l ，左右端的直径分别为，左右端的直径分别为d1与与d2，试计，试计算杆件的伸长量。算杆件的伸长量。d1d2l)(xdx解：如图，设任一截面的直径为解：如图，设任一截面的直径为d(x) :则该截面面积为则该截面面积为:ddd xdxl211( ) =( )4ddA xdxl2211()截面的轴力为截面的轴力为F在在x处取长为处取长为dx的段，在该段上可认为截面不的段，在该段上可认为截面不变，则杆件的伸长量为：变，则杆件的

9、伸长量为：12d44lF xFllddEd dEdxl 02211()( )4ddA xdxl2211()d1d2ld( )xxdx2.9 应变能的概念应变能的概念 固体受外力作用而变形。在变形过程中固体受外力作用而变形。在变形过程中, 外外力所作的功将转变为储存于固体内的能量。当力所作的功将转变为储存于固体内的能量。当外力逐渐减小时外力逐渐减小时, 变形逐渐恢复变形逐渐恢复, 固体又将释放固体又将释放出储存的能量而作功。出储存的能量而作功。固体在外力作用下因变固体在外力作用下因变形而储存的能量称为应变能形而储存的能量称为应变能。 例如内燃机的气阀开启时例如内燃机的气阀开启时, 气阀弹簧因受压

10、气阀弹簧因受压力作用发生压缩变形而储存能量。当压力逐渐力作用发生压缩变形而储存能量。当压力逐渐减小减小, 弹簧变形逐渐恢复时弹簧变形逐渐恢复时, 它又释放出能量为它又释放出能量为关闭气阀而作功。关闭气阀而作功。2.9.1 应变能应变能设受拉杆件上端固设受拉杆件上端固定，作用于下端的拉力定，作用于下端的拉力由零开始缓慢增加。拉由零开始缓慢增加。拉力力F与伸长与伸长l的关系如图的关系如图a所示。在逐渐加力的过所示。在逐渐加力的过程中程中, 当拉力为当拉力为F时，杆时，杆件的伸长为件的伸长为l。如再增。如再增加一个加一个dF，杆件相应的，杆件相应的变形增量为变形增量为d(l)。于是。于是已经作用于杆

11、件上的已经作用于杆件上的F因因位移位移d(l)而作功，且所而作功，且所作的功为作的功为 dd()WFldW等于图等于图b中画阴中画阴影线的微面积。影线的微面积。 2.9.2 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能把拉力看作是一把拉力看作是一系列系列dF的积累，则的积累，则拉拉力所作的总功力所作的总功W应为应为上述微面积的总和上述微面积的总和, 它等于它等于F-l 曲线下面曲线下面的面积，即的面积，即 10d()lWFl在在应力小于比例极限应力小于比例极限的范围内的范围内, F与与l的关系是的关系是一条斜直线，故有一条斜直线，故有12WF l2.9.2 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能2122

12、F lVWF lEA 省略动能、热能等能量的变化省略动能、热能等能量的变化, 可认为杆可认为杆件内只储存了应变能件内只储存了应变能V, 其数量就等于拉其数量就等于拉力所作的功。力所作的功。在线弹性范围内在线弹性范围内2.9.2 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能单位体积内的应变能称为单位体积内的应变能称为应变能密度应变能密度。12v2.9.3 应变能密度应变能密度对于等直杆，由于在轴向拉伸或压缩时，杆内对于等直杆，由于在轴向拉伸或压缩时，杆内各部分的受力和变形情况都相同，故可将杆件各部分的受力和变形情况都相同，故可将杆件的应变能除以杆的总体积的应变能除以杆的总体积Al，得到杆在单位体，得到杆

13、在单位体积内的应变能，称为积内的应变能，称为比能比能，以，以v表示，其计算表示，其计算式可表示为式可表示为由胡克定律由胡克定律 EE，上式可写成，上式可写成221222EvEBPCD4575例例3 简易起重机如图所示。简易起重机如图所示。BD杆为无缝钢管杆为无缝钢管, 外外径径90 mm, 壁厚壁厚2.5 mm, 杆长杆长l = 3 m。弹性模量。弹性模量E = 210 GN/m2。BC是是两条两条横截面面积为横截面面积为171.82 mm2的钢索的钢索, 弹性模量弹性模量E1 = 177 GPa。若不考虑。若不考虑立柱的变形立柱的变形, 试求点试求点B的的垂直位移垂直位移。设。设P = 30

14、 kN。解：从三角形解：从三角形BCD中解出中解出BC和和CD的长度分别是的长度分别是 12.20 m,1.55 mBClCD算出算出BC和和BD两杆的横截面两杆的横截面面积分别为面积分别为 212222 171.82344 mm(9085 )687mm4AAN1N21.411.93FPFP由由BD杆的平衡求得钢索杆的平衡求得钢索BC的的拉力和拉力和BD杆的压力为杆的压力为 把简易起重机看作是由把简易起重机看作是由BC和和BD两杆组成的简单弹性杆系两杆组成的简单弹性杆系, 当载荷当载荷P从零开始缓慢地作用从零开始缓慢地作用于杆系上时于杆系上时, P与点与点B垂直位垂直位移移d d 的关系也与右图一样的关系也与右图一样, 是是一条斜直线。一条斜直线。P所完成的功为所完成的功为 12WPdBPCD457522N1 1N2112296961222(1.41 )2.2(1.93 )32 177 10344 102 210 10687 10F lF lPE AEAPPdP所完成的功在数值上应等于杆系的变形能所完成的功在数值上应等于杆系的变形能, 亦亦即等于即等于BC和和BD两杆变形能的总和。故两杆变形能的总和。故 由此求得由此求得229696831.412.21.933177 10344 10210 10687 1014.9