多元复合函数的求导法则_第1页
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文档简介

1、第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 一、多元函数与一元函数复合一、多元函数与一元函数复合定理定理4.4.设设( , )zf u v可微，可微， ( ),( )uu t vv t可导可导 ，则复合函数，则复合函数( ( ), ( )zf u t v t可导，且可导，且dzz duz dvf duf dvdtu dtv dtu dtv dt(8) tt, ,u v z,uvz证：设证：设有增量有增量，则，则相应地获得增量相应地获得增量， zvutt因为因为f可微，所以可微，所以 ， ( )ffzuvouv22uv，其中，其中.22( )( )ouvottt，222200(

2、)( )limlim00ttoouvdudvtttdtdt.所以所以0000( )limlimlimlimttttzfufvotutvtt ，故故 dzf duf dvdtu dtv dt（8）式称为全导数公式）式称为全导数公式.vzu2sin ,ut vtdzdt例例16 设设，若，若, 求求.解：由于解：由于 1,vzvuulnvzuuvsin ,ut2vt而而 , 从而从而cos ,dutdt2 ,dvtdt因此由（因此由（8）式得）式得dzz duz dvdtu dtv dt1cos2 (ln )vvvutt uu2221(sin )cos2 (sin ) lnsintttttttt二

3、、二、 多元函数与多元函数的复合多元函数与多元函数的复合 定理定理5 ( , )zf u v( , )uu x y( , )vv x y 设设可微可微, ,存在偏导数存在偏导数, 则复合函数则复合函数( ( , ), ( , )zf u x y v x y存在偏导数存在偏导数,且且zzuzvfufvxuxvxuxvx（9） zzuzvfufvyuyv yuyv y （10） zvuyxyx22ln ,zuv uxyvxy,zzxy例例17 设设 求求.解解: 由由(9)与与(10)分别可得分别可得zzuzvxuxv x 22ln(2 )2 lnuxyvxyxxyvx例例18 设设 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 求求， ln(2 )zzuzvuvyxyuyv yv 222 lnxyyxyy=. f2(,),zf xy xy.xyz 122,xzxfyf12,ff2,xy xy解解: 注意到注意到还是变量还是变量的函数的函数, 所以所以 12111221222(2

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