高数下重修 D9_2偏导数

1、目录 上页 下页 返回 结束 .第二节偏导数与高阶偏导数目录 上页 下页 返回 结束 .一、一、 偏导数定义及其计算法偏导数定义及其计算法引例引例:研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是),(txu0 xOxu中的 x 固定于 x0 处,求一阶导数与二阶导数.),(txu),(0txu),(0txu关于 t 的将振幅目录 上页 下页 返回 结束 .定义定义1.),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,xyxyxfz对在点),(),(00的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf

2、)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy. ),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:目录 上页 下页 返回 结束 .0),(dd0yyyxfy同样可定义对 y 的偏导数 lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y或

3、y 偏导数存在 ,yzyfyz目录 上页 下页 返回 结束 .),(zyxfx例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为目录 上页 下页 返回 结束 .二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线

4、斜率.是曲线0 xyTyxzOxT0y对 y 轴的0M),(00yx目录 上页 下页 返回 结束 .例例1 . 求223yyxxz解法解法1xz)2, 1 (xz解法解法2) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz目录 上页 下页 返回 结束 .例例2. 设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏导数 . 解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz222

5、22zyxx2rxrzzr,ry目录 上页 下页 返回 结束 .二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:目录 上页 下页 返回 结束 .类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(x

6、zxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1偏导数为11nnxz目录 上页 下页 返回 结束 .22exy例例5. 求函数2exyz.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.2exy22exy2exy22exy22exy24exy的二阶偏导数及 目录 上页 下页 返回 结束 .0,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy例如例如,),(yxfx)0 , 0(yxf

7、xfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)0 , 0(0二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx目录 上页 下页 返回 结束 .例例6. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0目录 上页 下页 返回 结束 .,),(

8、)()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有而初等证明 目录 上页 下页 返回 结束 .,)(xuuf习题习题 设, )(ufz 方程)(uu( )dxyp tt确定 u 是 x , y 的函数 ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp连续, 且, 1)( u求.)