指对数运算及指数对数函数专题

1、指对数运算及幂指对函数专题本专题重点：指数幂的运算性质、对数的运算性质；指数函数、对数函数的概念、图象和性质。指数函数和对数函数的性质与底数的取值有关，在求解含有参数的指数函数、对数函数、幂函数问题时，常运用划归思想，将复杂的问题化为较简单的问题，应注意分类讨论、数形结合、类比、换元等数学思想和方法的灵活应用。1（1）计算：；（2）化简：。解：（1）原式=；（2）原式=。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运

2、算的顺序。2（1）已知，求的值解：，又，。点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。对数运算 1计算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。2设、为正数，且满足 （1）求证：；（2）若，求、的值。证明：（1）左边；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，从而。指数、对数方程1(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R的函数是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.解 （1） 因为是R上的奇函数，所以从而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在R上为减函数

3、，又因是奇函数，从而不等式等价于 因是R上的减函数，由上式推得即对一切从而解法二：由（1）知又由题设条件得即 整理得，因底数2>1，故 上式对一切均成立，从而判别式2、设，若函数，有大于零的极值点，则（ B ）ABCD【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.第三节 幂函数、指数函数及对数函数2013.3中学数学若函数是指数函数，则 。已知当时，有，则的大小关系是 。已知，函数，若实数满足，则的大小关系是 。若关于的方程有正根，求的取值范围.若函数有两个零点，求的取值范围.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则 .典例1

4、已知，求实数取值范围。分析：左右两边幂的形式中，底数不同，幂指数相等。 可利用幂函数是上的单调增函数的性质得到实数的取值范围。 练习1、 已知，求实数取值范围。答案：注意取值范围。答案：2、 已知，求实数取值范围。分析：幂函数在上单减，在上单减。 或 或故实数取值范围。3、 已知，求实数的取值范围。分析：考察幂函数和的图像，得到实数的取值范围是4、（05江西理10）已知实数a, b满足等式下列五个关系式0<b<aa<b<00<a<bb<a<0a=b其中不可能成立的关系式有（ B ）A1个B2个C3个D4个【解答】均大于零时，要满足等式，必有；均小

5、于零时，要满足等式，必有；时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为，选B5、设（ ）A0 B1 C2 D3解：C；，。典例2 函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ C ） 练习Oxy1、函数互质）图像如图所示，则（ ）A均为奇数B一奇一偶C均为奇数D一奇一偶解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在上单调递减，此时只需保证，即，有；同时函数只在第一象限有图像，则函数的定义域为，此时定为偶数，即为偶数，由于两个数互质，则定为奇数答案：选项为B。2、（06陕西理4）设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a1)的

6、图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( C )A.6 B.5 C.4 D.3解：反函数的图像过点(2,8)，则原函数的图像过点(8,2),故: 故选C另解：函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，则，或(舍)，b=1，a+b=4，选C3、方程的解为，方程的解为，求的解。答案：4、（09辽宁理12）若满足，满足，则+=（ C ） 【解析】：，即，作出，的图像（如图），与的图像关于对称，它们与的交点A、B的中点为与的交点C，+=。5、（09湖南理8）设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数 取函数。若对

7、任意的，恒有，则【 D 】AK的最大值为2 BK的最小值为2CK的最大值为1 DK的最小值为1 解: 由恒成立知,故K有最小值，可排除A,C,因此只需求f(x)的最大值。由直觉知所以时f(x)的最大值，代入原函数得知；或推理计算，又由得时，并且由知函数f(x)在处取得唯一的极大值，排除B,因此选D.6、（07山东理6）给出下列三个等式：， ，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ B ）ABCD7、（06天津理10）已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称，记若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（D） A B C D 解：已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,则，记=当a>1时，若在区间上是增函数，为增函数，令， t, ，要求对称轴，矛盾；当0<a<1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t,，要求对称轴，解得,所以实数的取值范围是,选D.2012.1、2上半月设是实数,.(1)试证明：对于任意，在上为增函数；(2)试确定的值，使为奇函数.已知且，.(1