平面向量基本定理及坐标表示

1、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数1、2，使a1e12e2，其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)

2、，其中b0，a、b共线x1y2x2y10.选择题：设e1，e2是平面内一组基底，那么()A若实数1，2使1e12e20，则120B空间内任一向量a可以表示为a1e12e2(1，2为实数)C对实数1，2，1e12e2不一定在该平面内D对平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2) Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10) De1(2，3)，e2解析两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab等于()A(2，1) B(2,1) C(1,0) D(1

3、,2)解析a(，)，b(，)，故ab(1,2)已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Aab B.ab Cab Dab解析设cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则等于()A. B. C1 D2解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A. B. C. D.解析由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)，c.已知向量(k,12)，(4,5)，(k,10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A B. C. D.解析(4k，7)

4、，(2k，2)，A，B，C三点共线，共线，2×(4k)7×(2k)，解得k已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量A同方向的单位向量为()A. B. C. D.解析AOO(4，1)(1,3)(3，4)，与A同方向的单位向量为.已知点A(1,5)和向量a(2,3)，若3a，则点B的坐标为()A(7,4) B(7,14) C(5,4) D(5,14)解析设点B的坐标为(x，y)，则(x1，y5)，由3a，得解得已知向量a(1,2)，b(3，m)，mR，则“m6”是“a(ab)”的()A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件解析由题意得ab(2

5、,2m)，由a(ab)，得1×(2m)2×2，m6，则“m6”是“a(ab)”的充要条件，故选A已知在ABCD中，(2,8)，(3,4)，则()A(1，12) B(1,12) C(1，12) D(1,12)解析四边形ABCD是平行四边形，(1,12)在ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs等于()A. B. C3 D0解析2，()，则rs0已知点M是ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且2，则向量()A. B. C. D.解析如图，2，()在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(2,7) B(6,21) C(2，7)

6、 D(6，21)解析33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若，则等于()A. B. C. D.解析()22，.填空题：已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b_.解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1×m2×(2)，即m4.从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)已知向量a(x,1)，b(2，y)，若ab(1，1)，则xy_.解析(x,1)(2，y)(1，1)，解得xy3.已知向量a(1,2)，b(0,1)，设uakb，v2ab，若uv，则实数

7、k的值为()A1 B C. D1解析u(1,2)k(0,1)(1,2k)，v(2,4)(0,1)(2,3)，又uv，1×32(2k)，得k已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_解析a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)又uv，3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_解析(a1,3)，(3,4)，根据题意，4(a1)3×(3)，即4a5，a在ABCD中，AC为一条对角线，(2,

8、4)，(1,3)，则向量的坐标为_解析，(1，1)，(3，5)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_解析设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_解析在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_解

9、析：设k，kR.kk()k()(1k)，且m，1km，解得k，m.在ABCD中，e1，e2，则_(用e1，e2表示)解析如图，2()e2(e2e1)e1e2如图，已知a，b，3，用a，b表示，则_解析()ab若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值为_解析(a2，2)，(2，b2)，则(a2)(b2)40，即ab2a2b0，.设(2,4)，(a,2)，(b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_解析由题意得(a2，2)，(b2，4)，又，(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，(2ab)()(3)(32)(当且仅当b

10、a时，等号成立)已知A(7,1)，B(1,4)，直线yax与线段AB交于点C，且2，则实数a_.解析设C(x，y)，则(x7，y1)，(1x,4y)，2，解得C(3,3)又C在直线yax上，3a·3，a2.已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1×(k1)2k0，解得k1.设0，向量a(sin2，cos)，b(cos，1)，若ab，则tan_.解析ab，sin2×1cos20，2sinc

11、oscos20，0，cos0，2sincos，tan解答题：已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解析(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)已知点O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充

12、要条件为t20且t12t20.(2)证明当t11时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，与共线，又有公共点A，A，B，M三点共线能力提升题组已知向量a(2,3)，b(1,2)，若(manb)(a2b)，则等于()A2 B2 C D.解析由题意得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，(manb)(a2b)，(2mn)4(3m2n)0，已知|1，|，·0，点C在AOB内，且与的夹角为30°，设mn(m，nR)，则的值为()A2 B. C3 D4解析·0，以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，(1,0)，(0，)，

13、mn(m，n)tan 30°，m3n，即3如图，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且B2P，则()Ax，y Bx，y Cx，y Dx，y解析由题意知OOB，又B2P，OOBO(OO)OO，x，y.已知点A(1,2)，B(2,8)，则的坐标为_解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由题意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)，有和解得和点C，D的坐标分别为(0,4)，(2,0)，从而(2，4)已知向量a(1,1)，b(1，1)，c(cos，sin)(R)，实数m，n满足manbc，则(m3)2n2的最大值为_解析由manbc，可得故(mn)2(mn)22，即m2n21，故点M(m，n)在单位圆上，则点P(3,0)到点M的距离的最大值为|OP|1314，故(m3)2n2的最大值为4216