第5讲 用MATLAB求解微分方程及微分方程组

1、1. 微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始条件初始条件, 自变量自变量) 运行结果：u = tan(t-c)用用MATLAB求解微分方程求解微分方程解解 输入命令：dsolve(Du=1+u2,t) 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)运行结果为 : y =3e-2xsin（5x）解解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(

2、x) % 将x化简 y=simple(y) z=simple(z)运行结果为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 2. 用用Matlab求常微分方程的数值解求常微分方程的数值解t，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程写成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格-库塔-

3、芬尔格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格-库塔-芬尔格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3, 绝对误差10-6),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差. 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成. 2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.注意注意: 例例 4 0)0( ; 2)0(0)1 (1000222xxxdtdxxdtxd 解解: 令 y1=x，y2=y11、建立m-文件vdp1

4、000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，输入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、结果如图050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)

5、=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、结果如图024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.导弹追踪问题导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导

6、弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一解法一（解析法）又根据题意，弧 OP 的长度为AQ的 5 倍， 即 tvdxydsxx002051 (2) 由(1),(2)消去t得：两边对x求导得模型:(3) 151)1 (2yyx201(1)1 5xx yyy dx解法二解法二(数值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2. 取x0=0，xf=1.5，建立主程序ff6.m如下： x0=0;xf=1.5; x,y=ode45(eq1,x

7、0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:.2; plot(1,y,b*) 结论结论: 导弹大致在（导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰）处击中乙舰2151 )1 (yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y,y2=y1，将方程（3）化为一阶微分方程组。轨迹图如下例：例： 饮酒模型饮酒模型模型1：快速饮酒后，胃中酒精含量的变化率Myykdtdy)0(1模型2：快速饮酒后，体液中酒精含量的变化率0)0(112xMekxkdtdxtk即tkMey1用Matlab求解模型2：syms x y k1 k2 M tx=dsolve(Dx+k2*x=

8、k1*M*exp(-k1*t),x(0)=0,t)运行结果：M*k1/(-k1+k2)*exp(-k2*t+t*(-k1+k2)-exp(-k2*t)*M*k1/(-k1+k2)即：)(12211tktkeekkMkx用以下一组数据拟合上述模型中的参数k1、k2：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774M=64000/490 =130.6122 （毫克百毫升） 建立函数文件：function f=curvefun1(k

9、,t)f=k(1)*64000/490*(exp(-k(2)*t)-exp(-k(1)*t)/(k(1)-k(2) 输入拟合数据： t=0 0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16; c=0 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;任取k1、k2的一组初始值：k0=2,1;输入命令：k=lsqcurvefit(curvefun1,k0,t,c) 运行结果为： k = 1.3240 0.2573作图表示求解结果：t1=0:0.1:18;