一阶微分方程的初等解法

1、2.1 变量分离方程与变量变量分离方程与变量2.2 线性方程与常数变易线性方程与常数变易2.3 恰当方程与积分因子恰当方程与积分因子 2.4 一阶隐方程与参数表示一阶隐方程与参数表示中，我们曾用中，我们曾用 表示表示 的原函数族的原函数族一个约定一个约定：对于函数对于函数 ，在数学分析课程，在数学分析课程( )f x dx( )f x，里面含有一个任意常数。但在微分方程中，里面含有一个任意常数。但在微分方程中，我们常用我们常用 表示表示 的某一个原函数的某一个原函数( )f x dx( )f x( )f x。例如：。例如： 等。等。22 xdxx 一、变量分离方程一、变量分离方程 二、可化为变

2、量分离方程的类型二、可化为变量分离方程的类型 三、应用举例三、应用举例 先看一些简单的例子：先看一些简单的例子：1.,xydyyedx 222.1 ,dyxydx 3.,xydyeyedx 当当 时，它可以写成时，它可以写成 ，且称这样的微分方程为变量已分离的微分方程。且称这样的微分方程为变量已分离的微分方程。这种方程的特点是：右端只含变量这种方程的特点是：右端只含变量 ，而左端，而左端只含变量只含变量 。即即 , ,则称这样的微分方程为则称这样的微分方程为变量 可以写成可以写成 的形式的形式,定义一定义一：如果一阶微分方程：如果一阶微分方程 中的中的(y)dyf xdx，(y)f x，(y)

3、( ) ( )f xg x h y，( ) ()dyg x h ydx( )0h y （可）分离的微分方程。（可）分离的微分方程。xy只含只含 的函数乘积。一般假设的函数乘积。一般假设 分别分别为为yx， 这种方程的特点是：右端是只含这种方程的特点是：右端是只含 的函数和的函数和xy( ), ( )g xh y的连续函数。的连续函数。dy= g(x)dxh(y)dy= g(x)dxh(y)对对于于变变量量已已分分离离的的微微分分方方程程，我我们们有有以以下下结结果果：1( )H(y),G(x)h y设设是是的的一一个个原原函函数数命命题题一一：g(x)H(y)=G(x)+C是是的的一一个个原原

4、函函数数，则则为为dydy= g(x)dx= g(x)h(y)h(y)dx，从从而而为为的的C（隐隐式式）通通解解，其其中中 为为任任意意常常数数。dyg( x)h( y )dx附附由由此此结结果果可可知知，为为求求 注注一一：，dyg( x)dxh( y )即即的的通通解解，只只需需各各自自求求1dyg(x)dxh(y)与与，再再加加上上任任意意常常数数即即可可。先先看看一一个个简简单单的的例例子子 221dyxydx求求解解方方程程 22:1dyx dxy 第第一一步步 分分解解离离变变量量22:1dyx dxCy 第第二二步步 两两边边积积分分31:arctan3yxC所所求求通通解解为

5、为221?11ydydxx 求求 微微 分分 方方例例程程 的的 通通 解解2211解解 ： 将将 变变 量量 分分 离离 ， 得得 到到dydx,- y- x22111两两 边边 积积 分分 ， 即即 得得dydxC ,- y- x1即即 arcsin yarcsinxC22111或或 ysin arcsinxCx-CC- x1为为所所求求的的通通解解，其其中中为为属属于于中中的的任任意意常常数数。CsinC-1,1上上面面我我们们在在求求的的通通解解时时，是是假假设设了了。但但有有时时往往往往会会碰碰到到在在某某些些点点使使得得。对对于于这这种种情情形形，显显然然也也是是解解，且且称称这这

6、种种常常函函数数的的解解为为定定解解。下下面面分分两两种种情情形形：000dy= g(x)h(y)dxh(y)0yh(y )= 0y = y0y= yH(y)= G(x)+CC(1)若若可可由由中中取取适适当当的的常常数数得得到到，则则这这样样的的解解已已包包含含在在通通解解中中；2附附注注 ：0y = yH(y)= G(x)+CCdy= g(x)h(2(y)x)d若若不不可可由由中中取取适适当当的的常常数数得得到到，则则这这样样的的解解不不包包含含在在通通解解中中。对对这这样样的的解解要要特特别别注注意意，在在求求的的所所有有解解时时，这这样样的的解解必必须须予予以以补补上上。1?dyydx

7、 求求解解微微分分方方程程例例 2 2101解解：当当即即时时，将将变变量量分分离离，得得到到yy 1dydx,y11两两边边积积分分，得得到到 lnyxC ,1即即x yCe10为为方方程程的的通通解解，其其中中为为非非 的的任任意意常常数数。CCe 111001另另外外，也也是是的的解解，且且此此解解可可在在通通解解取取得得到到，即即如如果果在在通通解解中中允允许许任任意意常常数数 取取 ，则则已已含含在在通通解解中中。xdyyydxyCeCCy 1因因此此原原方方程程的的解解为为，其其中中 为为任任意意常常数数。xyCeC求求微微分分方方程程 的的解解. .例例3 32(1)tan0yx

8、dxdy解解：原原方方程程即即21（）dy ytan x ,dx22101当当即即时时，将将变变量量分分离离，得得到到yy 21dytanxdx,y两两边边积积分分，即即得得2111ylnlncos xCy 化化简简得得方方程程的的通通解解：22Ccos xyCcos x 10其其中中为为非非 的的任任意意常常数数。CCe :求求微微分分方方程程的的通通解解与与求求微微分分方方程程的的解解或或求求解解微微分分方方注注程程是是有有区区别别的的. .22221100111yyCcosxCyCcosxCyyCCcosxyCCcosxy 另另 外外 ，也也 是是 方方 程程 的的 解解 ， 且且可可

9、在在 通通 解解 中中取取得得 到到 ， 即即 如如 果果 在在 通通 解解中中允允 许许， 则则已已 含含 在在 通通 解解 中中 。 但但不不 可可在在 通通 解解 中中 取取 适适 当当 的的得得 到到 ， 因因 此此 原原 方方 程程 的的 解解 为为 ：通通 解解， 其其 中中为为 任任 意意 常常 数数 ， 及及 一一 个个定定 常常 解解上面我们得到方程的通解含有常数上面我们得到方程的通解含有常数C，是一族，是一族积分曲线积分曲线( ,)yy x C ( , ,)0L x y C 或或下下面面再再看看一一个个例例子子2cos4?(0)1dyyxdxy 求求柯柯西西问问题题的的特特

10、解解例例2解解：先先求求方方程程的的通通解解：dyy cos xdx20当当时时，将将变变量量分分离离，得得到到 ，dyycos xdxy两两边边积积分分，即即得得1= sinx+C,y因因而而，通通解解为为1y.sinxC 0其其中中 为为任任意意常常数数，另另外外也也是是方方程程的的解解且且不不能能在在通通解解中中取取适适当当的的常常数数C C得得到到。Cy 01再再求求C Ca au uc ch hy y问问题题的的特特解解：以以代代入入通通解解中中以以决决定定任任意意常常数数C C，得得到到C C= =- -1 1。所所以以，所所求求的的x,y特特 解解 为为11y.sin x附注附注

11、4 4：我们已经知道变量分离方程总是可用我们已经知道变量分离方程总是可用初等解法求解。另外，对有的微分方程，虽初等解法求解。另外，对有的微分方程，虽然表面上看不是变量分离的微分方程，但若然表面上看不是变量分离的微分方程，但若能通过一次或几次变量变换化为变量分离的能通过一次或几次变量变换化为变量分离的微分方程，则原方程也可用初等解法求解。微分方程，则原方程也可用初等解法求解。下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换下面介绍几种典型的可通过适当的变量变换化为变量分离的微分方程的类型。化为变量分离的微分方程的类型。111122223123(2)(,a xb ycdyfa adxa xb yca b b

12、 b 形形如如 其其中中均均为为常常数数) )的的方方程程. .(1)齐齐次次方方程程二二. . 可可化化为为变变量量分分离离方方程程的的类类型型2nf ( x, y )tRf ( tx,ty )tf ( x, y ),f ( x, y )x, yn： 设设为为 二二 元元 函函 数数 ， 若若 对对 任任 意意 的的使使 得得则则定定称称为为 变变 量量的的次次义义齐齐 次次函函 数数 。22322222223f( x,y )x yxyf(tx,ty )t ( x yxy ),f( x,y )x yxy对对于于函函数数，因因为为所所以以为为 次次齐齐例例如如：次次函函数数。00特特别别的的，

13、若若，即即对对任任意意的的使使得得，则则称称为为变变量量的的 次次齐齐次次函函数数。ntRf (tx,ty )f ( x,y )f ( x,y )x,y2222202xy- yf( x,y),f(tx,ty)f( x,y)xxyxy- yf( x,y)xxy，对对于于函函数数因因为为，所所以以为为例例如如次次齐齐次次函函数数。0关关于于 次次齐齐次次函函数数，我我们们有有下下面面的的命命题题：011yf(x,y)f(x,y)= f,xxf(x,y)= f,yyxx2y设设为为 次次齐齐次次函函数数，则则或或即即本本质质上上f f可可写写命命成成关关于于一一个个变变元元或或题题 ：的的函函数数。

14、222222212122例例 如如 ，或或 yyx yyxxf( x , y )yxx yxxx yyyf( x , y )xx yyxxy30f ( x,y )x,ydyf ( x,y )dx若若为为变变量量的的 次次齐齐次次函函数数，定定义义 ：则则称称微微分分方方程程为为齐齐次次方方程程。222例例如如，是是齐齐次次方方程程。dyxyydxxxy1111下下面面给给出出齐齐次次方方程程的的初初等等解解法法：设设为为齐齐次次方方程程，则则由由命命题题2 2，或或我我们们仅仅讨讨论论的的初初等等解解法法。至至于于的的讨讨论论是是类类似似的的。dyf(x,y)dxdyyydyxxf,gf,h.

15、dxxxdxyydyyyf,gdxxxdyxxf,hdxyy1对对 于于 方方 程程， 做做 变变 量量 变变 换换dyyyyf,gu,dxxxx即即于于 是是d yd uyxu ,xu ,d xd x则则 原原 方方 程程 变变 为为duxug( u )dx整整理理后后，得得到到dug( u )udxx0此此即即为为变变量量分分离离方方程程。若若可可求求得得通通解解(u,x,C ),0于于是是得得到到原原方方程程的的通通解解为为y,x,C.xtandyyydxxx 求求程程 例例解解微微5 5分分方方解解：这这是是齐齐次次方方程程。令令，则则原原方方程程变变为为yuxduuxutanu,dx

16、0化化简简并并变变量量分分离离（当当时时），得得到到tanu dxcotudu.x两两边边积积分分，得得到到 ln sinuln xC.化化简简并并用用代代入入，得得到到通通解解其其中中yyusinCxxx00。另另外外，即即也也是是方方程程的的CyCetanu,sinx 解解。如如果果在在通通解解中中允允许许C C= =0 0，则则ysinCxx0也也包包含含在在中中。因因此此原原方方程程的的解解yysinsinCxxx为为，其其中中 为为任任意意常常数数。ysinCxCx2(0)6dyxxyyxdx 求求解解方方程程 例例解解：将将原原方方程程改改写写为为220 xydyyyy.(x)dxxxxx 这这是是齐齐次次方方程程。令令，则则此此方方程程变变为为yux2duuxuu.dx0化化简简并并变变量量分分离离（当当时时），得得到到u 12dudx,xu两两边边积积分分，得得到到 uln( x)C.2化化简简并并用用代代入入，得得到到通通解解yuyx ln( x)C,x000其其中中另另外外，即即也也是是方方程程ln( x)C.u,y2的的解解，且且它它不不包包含含在在通通解解中中。yx ln( x)C2因因此此原原方方程