机械制图3_立体的投影

1、第三章第三章 立体的投影立体的投影3.1 平面立体平面立体 由平面围成的立体称为平面体，其表面由若干多边形围由平面围成的立体称为平面体，其表面由若干多边形围成。相邻两表面的交线称为棱线。绘制平面体的投影就是成。相邻两表面的交线称为棱线。绘制平面体的投影就是把组成立体的所有平面和棱线表示出来，可见的棱线画成把组成立体的所有平面和棱线表示出来，可见的棱线画成实线，不可见的画成虚线。实线，不可见的画成虚线。一一 棱柱棱柱2 2 棱柱的三视图棱柱的三视图3 3 棱柱表面上取点棱柱表面上取点1 1 棱柱的组成棱柱的组成 两个底面是平行且相等的多边形，两个底面是平行且相等的多边形，侧面为若干个平行四边形。

2、侧面为若干个平行四边形。 一面投影为反映底面实形的一面投影为反映底面实形的多边形，另外两面投影轮廓为多边形，另外两面投影轮廓为矩形。矩形。 主要利用表面的积聚性进主要利用表面的积聚性进行作图。行作图。 a a a (b ) b b 二二. .棱锥棱锥2 2 棱锥的三视图棱锥的三视图3 在棱锥表面上取点在棱锥表面上取点1 1 棱锥的组成棱锥的组成 底面为多边形，侧面为三角形。底面为多边形，侧面为三角形。所有的侧棱线交于顶点。所有的侧棱线交于顶点。 当棱锥表面的投影没有当棱锥表面的投影没有积聚性时，可利用平面积聚性时，可利用平面上的辅助线进行作图。上的辅助线进行作图。 一面投影反映底面实形。一面投

3、影反映底面实形。另外两面投影轮廓为三角形另外两面投影轮廓为三角形 s s b a c abc a (c )b s R111rr22（2）平面与立体表面相交，即立体被平平面与立体表面相交，即立体被平面截切，此平面称为截平面，截平面截切，此平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。面与立体表面的交线称为截交线。 任何截交线都具有下列两个基本性任何截交线都具有下列两个基本性质：质：（1 1）截交线一定是一个封闭的平面）截交线一定是一个封闭的平面图形。图形。（2 2）截交线既在截平面上，又在立）截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线是截平面和立体体表面上，截交线是截平面和立体表面的共有线。

4、截交线上的点都是表面的共有线。截交线上的点都是截平面与立体表面上的共有点。截平面与立体表面上的共有点。所以求作截交线的实质，就是求出所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体表面的共有点。截平面与立体表面的共有点。三三 棱柱被平面截切的截交线棱柱被平面截切的截交线求截交线步骤：求截交线步骤： 1 求截平面与棱线的交点求截平面与棱线的交点 2 求截平面之间的交线求截平面之间的交线 3 连接成截面图形并判别可连接成截面图形并判别可 见性见性四四 棱锥被截切的截交线棱锥被截切的截交线3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 43 3 求截交线求截交线 分

5、析棱线的投影分析棱线的投影检查截交线投影的类似性检查截交线投影的类似性123(4)1”3”4”1243 例例1 求求做做立体被截切后的投影立体被截切后的投影例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与体的截平面与体的几个棱面相交？几个棱面相交？截交线在俯、截交线在俯、左视图上

6、的形左视图上的形状？状？我们采用的是我们采用的是哪种解题方法？哪种解题方法？棱线法！棱线法！例例3 3：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1 (2(2 ) )、两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上。上。三面共点：三面共点：2 2 1 1 注意：注意： 要逐个截平面分析和要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交为整体被截切，求出截交线后再取局部。线后再取局部。12(3)4(5)6(7)6”7”1”3”2”5”4”67例例4 补全俯视图和左视图的投影

7、补全俯视图和左视图的投影 例例 5: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影3.2 3.2 回转体及截交线回转体及截交线一一 回转体的投影回转体的投影 1 1 圆柱的投影圆柱的投影 A1AOO1 圆柱表面上取点圆柱表面上取点( )( )A(D)CB直接

8、利用直接利用积聚性在积聚性在圆周上取圆周上取点点1 1 圆锥的投影圆锥的投影OO1 圆锥表面上取点圆锥表面上取点2 2、圆锥表面上取点、圆锥表面上取点 在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素在圆锥表面上求点，有两种方法：一种是素线法，一种是辅助圆法。线法，一种是辅助圆法。方法一：素线法方法一：素线法 过过M M点及锥顶点及锥顶S S作作一条素线一条素线S,S,先求先求出素线出素线SS的投影的投影, ,再求出素线上的再求出素线上的M M点。点。XZY圆锥的三面投影图HVWacdbACBSabcdss”c”d”a”(b”)mmm”M 已知圆锥表面的点M的正面投影m,求出M点的其它投影。 过ms作圆

9、锥表面上的素线，延长交底圆为1。111”mm”a(b)圆锥的投影及表面上的点ss”abcdc”d”sabc(d)m 求出素线的水平投影s1及侧面投影s”1”。 求出M点的水平投影和侧面投影。111mma(b)ssabcdcdsabc(d)mXZY圆锥的三面投影图HVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBS方法二：辅助圆法方法二：辅助圆法 过过M M点作一平行与底点作一平行与底面的水平辅助圆，该圆面的水平辅助圆，该圆的正面投影为过的正面投影为过mm且平且平行于行于abab的直线的直线2323，它们的水平投，它们的水平投影为一直径等于影为一直径等于2323的圆，的圆，m m在圆周上，由

10、此在圆周上，由此求出求出m m及及m”m”。mMmm”XZYHVWacdbabcdss”c”d”a”(b”)ACBSmMmm”m圆锥的投影及表面上的点sss”aabbc”d”mm” 以s为中心，以sm为半径画圆， 已知圆锥面上M点的水平投影m，求出其m和m”。 作出辅助圆的正面投影23。2323 求出m及m”的投影。ms ss a ab bc d mm 232 3 mmmnn()n() 已知圆锥表面上点已知圆锥表面上点M M及及N N的正面投影的正面投影mm和和nn，求求它们的其余两投影。它们的其余两投影。在圆锥表面上定点 a a (a”)1 1 圆球的投影圆球的投影OO1圆球表面上取点圆球表

11、面上取点(1)222 圆环面是由一个完整的圆环面是由一个完整的圆圆绕轴线回转一周而形成，绕轴线回转一周而形成，轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。主、左视图是极限位主、左视图是极限位置素线（图）和内、置素线（图）和内、外环分圆的投影；外环分圆的投影；俯视图是上、下的投俯视图是上、下的投影。影。kkkmm（n）（n）回转体截切的基本形式截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）。二二 回转体的截交线回转体的截交线

12、1 1圆柱的截交线圆柱的截交线111548883254452323解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为正垂面，截截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；为椭圆；2 2求出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、 、 ；3 3求出若干个一般点求出若干个一般点、 、；4 4光滑且顺次地连接各点，作光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性出截交线，并且判别可见性5 5整理轮廓线。整理轮廓线。7667671234解题步骤解题步骤1 1 分析分析 截交线的水平投截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；投影为矩形；2 2 求

13、出截交线上的特殊点求出截交线上的特殊点、； 3 3 顺次地连接各点，作出顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；截交线并判别可见性；4 4 整理轮廓线。整理轮廓线。12341324虚实分界点虚实分界点2 2 圆锥的截交线圆锥的截交线3 3 圆球的截交线圆球的截交线平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都截交线的形状都是圆，但截平面是圆，但截平面与投影面的相对与投影面的相对位置不同，其截位置不同，其截交线的投影可能交线的投影可能为圆、椭圆或积为圆、椭圆或积聚成一条直线。聚成一条直线。解题步骤解题步骤1 1分析分析 截平面为正平面，截截平面为正平面，截交线为双曲线；截交线的水平交线为双曲线；

14、截交线的水平投影和侧面投影已知，正面投投影和侧面投影已知，正面投影为双曲线并反映实形；影为双曲线并反映实形；aaacbbcc3 3求出一般点求出一般点C C2 2 求截交线上特殊点求截交线上特殊点A A. .B B4.光滑且顺次地连接各点光滑且顺次地连接各点作出截交线，并判别可见作出截交线，并判别可见性性b水平面截圆球的截交线的投影，水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。俯视图上积聚为直

15、线。R4 4 组合的截交线组合的截交线首先分析其由哪些基本回转体组成以及它们的连首先分析其由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，接关系，然后分别求出这些基本体的截交线，并然后分别求出这些基本体的截交线，并依次将其连接。依次将其连接。例例1 1、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截、如图所示，圆锥被正垂面截切，求出截交线的另外两个投影。交线的另外两个投影。平面与圆柱相交 此种截交线为一椭圆。由于圆锥前后对称，故椭圆也前后对称。椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线正平线，椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线。正平线正垂线正平线正垂线平面与圆锥相交具体步骤如下：（1）先作出截交线上的特殊点。12121

16、”2”34345665（2）再作一般点。（3）依次光滑连接各点，即得截交线的水平投影和侧面投影。（4）补全侧面转向轮廓线。3”4”5”6”78787”8”平面与圆锥相交例2、如图所示，圆锥被水平面截切，求出截交线的另外两个投影。3421532(4)1(5)4”3”2”1”（1）先求特殊点。（2）再求一般点。（3）依次光滑连接各点。5”31524具体步骤如下：例例3:求圆锥被截切后的正面投影求圆锥被截切后的正面投影.分析分析:截交线的正面投影为双曲线截交线的正面投影为双曲线.作图作图:1 求特殊点。求特殊点。最高点最高点最低点最低点2 求一般点。求一般点。3 连线。连线。1(2)(4)3(6)5

17、(8)79 (10)2”1”433”4”655”6”(12)1111”12”787”8”91010”9”12已知立体的正面投影，试完成已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影两面投影 平面与圆球相交，平面与圆球相交，截交线的形状都是圆截交线的形状都是圆，但根，但根据截平面与投影面的相对位置不同，据截平面与投影面的相对位置不同，其其截交线的投截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。平面与球相交例例1 1：求半球体截切后的俯视图和左视图。：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在

18、侧视图上部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。积聚为直线。 两个侧平面截圆球的两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。视图上积聚为直线。例2、如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。具体步骤如下：（1）先求特殊点。（2）确定截交线与转向轮廓线的交点。（3）依次连接各点的水平投影。平面与球相交1123443211234432566565561234平面与球相交1123443211234432566565561234 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，的

19、连接关系，然后然后分别求出这些基本回转体的截交线，并分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。依次将其连接。例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图 例例1 求吊环的截交线 。例例2 2 求求球切槽的侧面投影和水平投影。 分析：分析： 槽是由两个侧平面和一个水平面截切球形成的，左右对称。两个侧平截面与球面的截交线均为一段圆弧，与水平截平面的交线为正垂线，其侧平面投影反映实形。水平截面与球面的截交线是两段圆弧，其水平投影反映实形。 121,221343,43412,3112323例例3 3：求圆锥被截切后的水平及侧面投影：求圆锥被截切后的水平及侧面投影2,323234,545454,554

20、457,667678889,10910109例例4 已知切口圆锥的正面投影已知切口圆锥的正面投影,求其余两个投影。求其余两个投影。 （2 2）求截交线的投影。）求截交线的投影。解题步骤：解题步骤：(1)(1)画出完整圆锥的投影。画出完整圆锥的投影。平面体与回转平面体与回转体相贯体相贯回转体与回转体相贯多体相贯多体相贯 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做线叫做相贯线相贯线。 本节主要讨论常用不同立体相交时其本节主要讨论常用不同立体相交时其表面表面相贯线的投影特性及画法。相贯线的投影特性及画法。 立体表面相交有三种形式立体表面相交有三种形式, ,一种是立体的

21、一种是立体的外表面外表面相交相交; ;一种是一种是外表面与内表面外表面与内表面相交相交; ;一种一种是是内表面与内表面内表面与内表面相交相交. .相贯线实实相贯实虚相贯虚虚相贯 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共共有点有点的投影。的投影。 共有性共有性 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。相贯线是相贯线是两立体表面的共有线两立体表面的共有线。 封闭性封闭性 相贯线一般是相贯线一般是封闭的空间折线封闭的空间折线（通常由直线和（通常由直线和曲线组成）曲线组成）或空间曲线或空间曲线。 相贯线是相贯线是由若干段平面曲线由若干段平面

22、曲线 (或直线或直线)所组成的所组成的空间折线空间折线，每每一段是平面体的棱面与回转体表一段是平面体的棱面与回转体表面的交线面的交线。 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。定交线的形状。 求出各棱面与回转体表面的截交线。求出各棱面与回转体表面的截交线。 连接各段交线，并判断可见性。连接各段交线，并判断可见性。 求交线的实质是求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线求各棱面与回转面的截交线。 相贯线一般为相贯线一般为光滑封闭的空间曲光滑封闭的空间曲线线，它是两回转体表面的共有线它是两回转体表面的共有线。2.2.作图方法作图方法 表面取点法

23、表面取点法 利用投影的积聚性直接找点。利用投影的积聚性直接找点。 用辅助平面法用辅助平面法。一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、大小及其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影大小及其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。的特点，从而选择适当的方法作图。3、作图步骤、作图步骤 （1）先作出特殊点的投影。）先作出特殊点的投影。 （2）求作一般点）求作一般点 （3）光滑连接各点）光滑连接各点回转体相贯的三种基本形式回转体相贯的三种基本形式两外表面相贯两外表面相贯外表面与内表面相贯外表面与内表面相贯

24、两内表面相贯两内表面相贯。 二二 表面取点法求相贯线表面取点法求相贯线方法：方法：1 1 先找特殊点先找特殊点2 2 再找一般点再找一般点3 3 最后光滑连接最后光滑连接使用条件：使用条件：两相贯体之两相贯体之一为轴线垂一为轴线垂直于投影面直于投影面的圆柱的圆柱yyyy( a )( b )( c )( d )( a )( b )( c )( d )( a )( b )( c )( d )( a )( b )( c )( d )当圆当圆柱柱直径变化时，相贯线的变化趋势直径变化时，相贯线的变化趋势：三三 利用辅助平面法求相贯线利用辅助平面法求相贯线 根据三面根据三面共点的原理，共点的原理，利用辅助

25、平利用辅助平面求出两回面求出两回转体表面上转体表面上的若干共有的若干共有点，从而画点，从而画出相贯线的出相贯线的投影投影。用辅助平面法求中间点的作图方法： 假想用辅助平面截切两假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回回转体，分别得出两回转体表面的截交线转体表面的截交线。由于两截交线的交点，由于两截交线的交点，就是两回转体表面上的就是两回转体表面上的交点，因而是相贯线上交点，因而是相贯线上的点。的点。yyP14yy4 P23P351112 22453 35 解题步骤解题步骤1 1 分析分析2 2 求特殊点求特殊点3 3 求一般点求一般点4 4 光滑且顺光滑且顺次地连接各次地连接各点，并且判点，并

26、且判别可见性；别可见性；5 5 整理轮廓整理轮廓线线四四 特殊情况下的相贯线特殊情况下的相贯线1 1 两个回转体具有公共轴线时，相贯线为与轴线垂直的圆，两个回转体具有公共轴线时，相贯线为与轴线垂直的圆，3 3 两圆柱轴线平行相贯，两圆柱轴线平行相贯，相贯线是两条平行直线。相贯线是两条平行直线。2 2 两圆锥共锥顶相贯，两圆锥共锥顶相贯，相贯线是直线相贯线是直线4 两回转体公切于一圆球两回转体公切于一圆球时，时，相贯线是椭圆，投影为相贯线是椭圆，投影为通过两轴线交点的直线通过两轴线交点的直线五五 相贯线的近似画法相贯线的近似画法: : 如对相贯线的准确性无特殊要如对相贯线的准确性无特殊要求，当两

27、圆柱正交且有一定直径差时，可采用圆弧代替求，当两圆柱正交且有一定直径差时，可采用圆弧代替相贯线的近似画法。用大圆柱的半径作圆弧来代替。相贯线的近似画法。用大圆柱的半径作圆弧来代替。 D/2D/2DD1DD1六六 平面体与圆柱体相贯平面体与圆柱体相贯当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。交线向大圆交线向大圆柱一侧弯柱一侧弯交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）例例1：补全主视图补全主视图 空间分析：空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直柱轴线平行，截交线

28、为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。直，截交线为两段圆弧。 投影分析：投影分析： 由于相贯线是两立体表由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。水平投影积聚在矩形上。例例2：求作主视图：求作主视图例例3 平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影平面立体与曲面立体相贯，完成相贯线的投影 解题步骤解题步骤1 1分析分析 相贯线为相贯线为圆弧和双曲线的组圆弧和双曲线的组合；相贯线的侧面合；相贯线的侧面投影已知，可利用投影已知，可利用表面取点法求共有表面取点

29、法求共有点；点；2 2求出相贯线上的求出相贯线上的特殊点特殊点、 、；3 3求出一般点求出一般点 ; ;4 4光滑且顺次地连光滑且顺次地连接各点，作出相贯接各点，作出相贯线，并且判别可见线，并且判别可见性；性；5 5整理轮廓线。整理轮廓线。例例4 4 相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。求圆柱与半球的相贯线求圆柱与半球的相贯线作图步骤：1）求特殊点：4141”4”12）求一般点：PvPvPwPw2”6”26QvQvQwQw3”5”352(6)3）判断可见性，依次光滑连接各点： 4）补画水平转向轮廓线。 3(5)例5、求圆柱与圆锥相贯线的投影，如图所示。 分析：分析： 由投影图可知，圆柱与圆锥的轴线垂