《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用

1、一元二次方程复习经典讲义基础知识1、一兀二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax" 4bx + c = 0 = 的一般形式，我们把这样的方程 叫一元二次方程。其中ax" bx, c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常 数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。如：2-4x +1 = 0满足一般形式 ax2 +bx + c = 0 (aO), 2k -4x,1 分 别是二次项、一次项和常数项，2, 4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母 的取值范围。2.一元

2、二次方程求根方法(1)直接开平方法形如六二m (m之0)的方程都可以用开平方的方法写成x=_Ym,求出它的 解，这种解法称为直接开平方法。(2)配方法通过配方将原方程转化为(mN。J的方程，再用直接开平方法求 解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平 方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为 1(3)公式法求根公式：方程a/+bx：c = O (a = 0)的求根公式x = -b±Vba-4ac（b_4ac>0）2a步骤:1）把方程整理为一般形式:2）计算式子b； -4队的值= O Sh

3、O),确定 a b、c。3）当时，把a、b和b? -4削的值代入求根公式计算，就可以求 出方程的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二 次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转 化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当/4处。时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程 以、机+ £工0（鼻瑛0）只有当系数、入、匕满足条件 内之力-4.皂0时才有实数根.这里/比叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在

4、实数范围内，一元二次方程 占、加的根由其系数口、鼠白确 定，它的根的情况（是否有实数根）由 & = 确定.设一元二次方程为 苏+取十。,OSO）,其根的判别式为：Av* 加白则h + yh2 - 4日仁立“口方程加4依有两个不相等的实数根 飞 五b立方程mfef + C0（"0）有两个相等的实数根 r 2a院0二方程加4版+。&-0）没有实数根.若巴生。为有理数，且小为完全平方式，则方程的解为有理根；若以为完全平方式，同时此是%的整数倍，则方程的根为整数根.说明:用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，

5、有两个相等的实数根时，八二口；没有实数根时，在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式小二川-4处判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）.当 川4第=0时，方 程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.当门、。时O抛物线开口向上 O顶点为其最低点；当口 时O抛物线开口向下 O顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解

6、的代数模型，解几何存在性问 题，最值问题.6、韦达定理b £如果小""匚=4"0）的两根是玉，工二，则十匹 以,耳”中.（隐含的条件：特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1时，设玉，/是方程丁*班 的两个根，则玉+当-P,7、韦达定理的逆定理以两个数，毛为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是一般地，如果有两个数 玉,叫满足1'1 入那么玉，町必定是加+加的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在八三步 4依2口的条件下，我们有如下结论：-0-0当。 时，方程的两根必一正一负.若 以 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若"，则此方程的正

7、根小于负根的绝对值.-0工 o当。 时，方程的两根同正或同负.若 二，则此方程的两根均为正-0根；若修 ,则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若再，当是代+笈+ "火"0）的两根（其中以），且切为实数，当2。时， 般地：您-区igoc*看那伏出0且仇刚）«力。04。与相伏出0且仇与潴特殊地：当和二口时，上述就转化为 依、版+00（学0）有两异根、两正根、两 负根的条件.其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根 废则必有一根“"（。，力为有理 数）.若6y。，则方程M+"+c'W"胖0）必有实数根.若方程的口 *.+

8、63;.“）不一定有实数根.若。+力十?-3则 u 板+£'=W"0）必有一根h=i .若, 一 “一（）,贝（仆口+力¥+000鹏°）必有一根丫 = 一1.9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把 某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的A . 一些考试中，往往利用这一点设置陷阱1

9、0、整数根问题对于一元二次方程 公、加°）的实根情况，可以用判别式 人=犷4於 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理 根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一 些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程 加、加"廿二有整数根，那么必然同时满足以下条 件：（1） A = " -4m为完全平方数；"r/ + %后-4退'三2例或5-迎”-43=2编，其中k为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中、久白均为有

10、理数）11、一元二次方程的应用1.求代数式的值；2.可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验3.列方程解应用题步骤：审、设、歹h解、验、答经典讲评板块一一元二次方理的定义夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数， 一次项系数和常数项。(1) 2y7(2) & + 1-"+k = 0(3) (x + 5)(x-5) = O(4) 0yH)(2y-l) = y1-5(5)(m2f in-rnx = O(x是未知数)例2已知关于工的方程3-2)/一.=/-1是一元二次方程，求s

11、的取值范围.例3若一元二次方程伸" =)的常数项为零，则加的值 为-能力提升例4关于x的方程=1是什么方程？它的各项系数分别是什 么？例5已知方程力"/ /，0是关于左的一元二次方程，求以、力的化例6若方程(m-1) x2+x=1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是( )A. m 1B m> 0C m> 0且m 1D m为任何实数培优训练例7M为何值时，关于工的方程的一 )”一5+4嗣是一元二次方程.例8已知方程史-就二。是关于工的一元二次方程，求以、人的值.例9关于x的方程（m+3） xm2-7+ （m-3） x+2=0是一元二次方程，则 m的 值为解：

12、.该方程为一元二次方程，. m2-7=2 ,解得m=± 3 ;当m=-3时m+3=0,则方程的二次项系数是0,不符合题意；所以m=3 .例10 （2000?兰州）关于x的方程（m2-m-2） x2+mx+1=0是一元二次方程的 条件是（）A. m-1B. m 2c m-1 或 m 2D m-1 且 m2课后练习1、山为何值时，关于工的方程佃一也27所+9=4.是一元二次方程.2、已知关于某的方程（*2）妙-也*-1是一元二次方程，求卫的取值范围.3、已知关于x的方程（工-43-2y是一元二次方程，求的取值范围.4、若一'-3工0 '1是关于工的一元二次方程，求仃、内的

13、化5、若一元二次方程%2）,/ 4而"5）"城4R的常数项为零，则小的值为板块二一元二次方程的解与解法_ . . . 夯实基础例1、（2012?鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为A. 3B. -3C. 9D. -9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0,变形得，2a2-a=3,故 6a2-3a=3 X 3=9 故选 C.例2 (2011?哈尔滨)若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个 解.则m的值是()A. 6B. 5C. 2D. -6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0 , 解得m=6 .故选

14、A例3用直接开平方法解下列方程(1)3x9 = 0 (x I 2F-3 = 0 2(3" 1)、18(4)-(5) / 一 三'坦不一二：6)1-例4先配方，再开平方解下列方程(1) x?-4x-4 = 0 (2)1 = 0 (3) 2代=3-7x 1 I .X 4X- V » j !* JZ ,(4) 1:(5)一 "'(6) ；工例5用公式法解下列方程(1) xJ=+2 = Q (2) 2x-1=W(3)(x+l>= 3x(4)；，”(5) ：:(6).'例6用因式分解法解下列方程(1)3=0 2-45，-450 = 0(3) 一

15、2而+2 = 0能力提升例7 (2011?乌鲁木齐)关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+|a|-1=0的一个根 是0,则实数a的值为(A )A. -1B. 0C. 1D. -1 或 1例8关于x的一元二次方程（a-1） x2+ax+a2-1=0的一个根是0,则a值为（C ）A. 1B. 0C. -1D. ± 1例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0 （aw。有相同的根a,则d-b霹智：第：*方程xTsk+MO与（，卢u）有相同附艮口， 人u同时翱足方程球4的+=。和*464上3卢c），f _a +aa+b=Q CD+ca+d=O 殖 ®由-，得01+1-4=0

16、=即(i-c)畔-k+d.例10已知a、B是方程x2-2x-4=0的两个实数根，贝U a3+80 +6的值为(DA. -1B. 2C. 22D. 30黯 j解!方程*J'7=o解是史手追，即1 士 6, 曜方程/-笠-4=口的两个实数根，二当的1十后，-晅时，工怔附B,=口+眄）址（1-45）+e,= 16+8范珀-8 桶l+6,=30 S当E1-亚,丹1 +方时，-如 f 1+画 +6,=lLSg+8+B 后+6,=30.故选D.例11关于x的一元二次方程（m-2） xmA-2+2mx-1=0的根是斛答:解:根据一元二次方程的定义，得ui-1= D1x2 ,口鼎得m=-2*用恰方程T

17、st J=l1R j即1） 看, 1故答案为：町=h片-$例12解方程：.（而斗山例13解方程小（而2M 碗=。培优训练例14 （新思维）阅读下面的例题：解方程：解：（1）当工之。时，原方程化为一*”。,解得* -2,三T （不合题意，舍去），（2）当x<0时，原方程化为2 = 0.解得4= L （不合题意，舍去），k .原方程的根是请参照/*77 = °,则方程的根是例15解方程：/+2卜+2卜I例16 （新思维）设x1、x2是方程= 0的两个实数根，求代数式“一5通工41b的值.例17 （新思维）先请阅读材料：为解方程3 1）§（一卜人"，我们可以将，-

18、1视为一个整体，然后设 /1 = '则（/TA。原方程化为产-4±0,解得乂 =为=4.当尸I时，得上二及5；当F = 4时，二1 ,得工二石；故原方程的解为q;凡三二也三二匕二的.在解方程的过程中，我们将 /T用y替换，先解出关于y的方程，达到了降 低方程次数的目的，这种方法叫做 换元法”，体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程：(1)-/-，6 = 0；(-X-3-己-1-1=0(2) 22.心3例18已知关于x的方程/+收-2 = 0的一个解与方程1 的解相同.(1)求k的值；(2)求方程/斗丘-2 = 0的另一个解.例19 (新思维)若x、y是实数，且酬

19、4号+6V4”4y确定m的最小卜+2y t = 6例20 (新思维)已知x、v、z为实数，且满足十射=3,则F+V 的最小值为课后练习一、填空：1 .一元二次方程的一般形式是。2 .一元二次方程3” =5乂+ 6的一般形式是 2a= b= c=3 .关于x的方程（m M）x'+ 2mx3 = °是一元二次方程，则m的取值范围是 _4 .关于x的方程（m，4）x'» m 二 °是一元二次方程时，m的取值范围是 3一元一次方程时，m的取值范围是-5 、下列方程中，是一元二次方程的为（）21A. x2+3x=0B. 2x+y=3C KD. x （x2+2

20、） =0三、用两种方法解下列方程：-i = 0 士 d-15=0,1.I 2.34. 1、5：一r65TfM7%. ','''5._7i ,孱 « xi 3x- 07.；，一8.9.3 - 了吟了，、1l7Q'-*L-"-"l；4、解关于工的方程：（脚耐43 DC 3叫五、解关于工的方程：工7心3 1） = （4 1）4六、（新思维）4ABC中，三边KC 一瓦AB =£且满足£” +" Ac" ="工2试判定4ABC的形状七、(新思维)设x、y为实数，求代数式5/14/ 既”

21、2m. 4的最小化板块二 一元二次方程根的判别式夯实基础例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。(1) 8X2?-5) = -25(2)3-11-2公7/14) = ° (x是未知数)例2如果关于工的一元二次方程 叱一6/基9-0有两个不相等的实数根，那么 上 的取值范围是()A 广电匕。c. k< HOd d例3已知巴 牝心为正数，若二次方程 "中独小心=。有两个实数根，那么方程 八、八斗的根的情况是()A.有两个不相等的正实数根 B.有两个异号的实数根C.有两个不相等的负实数根 D.不一定有实数根例4若关于x的方程力H-6,+ 9=0有两个不

22、相等的实数根，求k的取值范例5求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程 麻工+岳:+e=。一定有两个 不等实根。例6已知“、入、1cp是MB匚的三边的长，且方程 一曲。打1加做。三°有 两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状.能力提高例7关于工的方程(入6卜J&1 + 6-0有实数根，则整数”的最大值是.例8酬为给定的有理数，为何值时，方程，*4(17小+切/-2酬+"0的根 为有理数？例9上为何值时,方程体由/毋3 = 0有实数根.例10已知关于x的方程(吁2H 2(拼-1口 +携I 1 = 0在下列情况下，分别 求m的非负整数值。(1)方程只有一个实数根(2)

23、方程有两个相等的实数根(3)方程有两个不相等的实数根例11 (新思维)已知一元二次方程/ (4*.2江：4-三°有两个不相等的实 数根.则k的最大整数值为-例12 (新思维)如果一直角三角形的三边长分别为 a、b、c, /B=90° ,那 么，关于x的方程以/TA2cm N/41) = °的根的情况是().A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定培优训练例13 (新思维)已知关于x的方程/依*2)“2# = 0(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b、c恰好是这个方程的两 个

24、根，求 ABC的周长.卜二一和y - kx-+ 0)例14 (新思维)已知函数. 广(1)若这两个函数的图象都经过点(1, a),求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？例15 (新思维)若x0是一元二次方程依、""=火"°)的根，则判别式A二 一4口叫平方式M =(2出1+冷；的大小关系是().A.盘> Mb A = Mc A vMd.不能确定解：把 x0 代入方程 ax2+bx+c=0 中得 ax02+bx0=-c , .(2ax0+b) 2=4a2x02+4abx0+b2 , .(2ax0+b) 2=4a (ax02+b

25、x0) +b2=-4ac+b2= , . M=A.故选B1例16 (新思维)关于x的方程工T 一 ”仅有两个不同的实根，则实数a的取 值范围是().A. u>Ob. S4c. 2c"<4d.课后练习1、一元二次方程2，一I二U的根的情况为()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2、若关于z的一元二次方程加二°没有实数根，则实数m的取值范 围是()A. m<lB. m>-1C. m>lD. m<-13、关于x的方程的两根同为负数，则()A "0且"加 0且公。C小且牙0口 ”0且

26、4、不解方程，判断下列各方程根的情况(1) ./+1 = 0 .4/-4r + l = 0 (3) .2-7jt-3 = 025、k为何值时,方程注T)x-20-73+ ”42二0的两个根相等？6、k为何值时，方程3TMi=0有两个不相等的实根？7、已知晓心，心,判断关于x的方程*J从*士 = °的根的情况，并给出 必要的说明.8、已知关于K的方程式加+ 1»十疗+“0有两个不相等的实数根，化简：11-/n | Nfff 4/?i 149、已知关于工的方程（万 研/ 2雌门°有两个不相等的实数根.求加的取值范围；2a _3口h若用为整数，且 ,。是上述方程的一个根

27、，求代数式4的化10、在等腰MM中，5 上从”的对边分别为X、百、j 已知b二；,h+ tJtx + 2am 0和。是关于工的方程2的两个实数根，求仁的周长.11、如果关于*的方程a+a）（H+B）+（Kb）a+M+（"取,+"）=0 （其中, 匕。均为正数）有两个相等的实数根.证明：以口，办，。为长的线段能够组成一 个三角形，并指出三角形的特征.12、k为何值时，方程工5 2金-（4匕。*没有实根？13、板块二一元二次方程的应用夯实基础x + 2 3k + 10 c一 -i - 口例1解方程冀-2 x -4例2一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每

28、天能 多加工15个，一共用了 6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个 数。例3某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划 多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原计划每天销售多少台？例4甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作，6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天,问两队单独工作各需多少天完成？例5如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正 方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%,求所截去小正 方形的边长.例6某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且 从2005年到2007年

29、，每年盈利的年增长率相同.（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008年盈利多少万元？例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2 1 .在温室 内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道.当矩形温 室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是 288m2?能力提高例8 （新思维）如图，在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道 路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为 540m2,求道路 的宽（部分参考数据：322=1024, 522=2704, 482=2304 ）.例9 （新思维）

30、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利 6000元，同时又要使顾 客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解答匚解：设辑千克水果应张价乂元，（1分）依题意得方程，500-200 （10+x） =6000, （4分）整理，得常6）例这个方程，得九二5，空10,（6分）要使顾客得到实惠，应助k巧.仃分）答:每千克水果应抽价5元.（粉）例10 （新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应 城镇市场，这时需要用长为24米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可

31、用长度 a是10 米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.（1）求x与S的函数关系式；（2）若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）花圃的面积能达到48m2吗？如果能，请求出此时 AB的长；如果不 能，请说明理由.解答；解：（门设喇长是工米,（24-5s） x=45,解备a当产帮寸，长方形花圃的长为四气15,又墙的最大可用长度自是1口巾，故舍去， 当上与时，长方形花囿的长为刊7M心符合题意；，业的长为（2）花圃的面也为（泻-3x） *=-3 （x-4）?+43».，当屈长为小，宽为1%时，有最大面积，为4坪方米.故乱国的面眼能达到蜡尸

32、，此时，死的长力.例11某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的 珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一 定的门票收入.因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方 法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系.在 这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多 少？门票价值应是多少元？解答：超；设每周台视人数与票价之间的一次函数关系式为度0+b把(10, 7000) ( 15, 4506代入产值+b中得 1C. .LL5k+ti=a5Q0 一尸0。12000.'.y=

33、-SOOsHZOOO根据确保用周4万元的门票收入，得灯=如见。即.(-500r+12000) =40000*乙24工+制二口茶弟产口勺二4把就尸2口，工了4分别代入y=-5口口Jt+imOO中得2口口0, 丁尸0000因为控制管观人数r所以取质勿，y=sooo答：每周应限定参耽人数是20m人，门票价格应是比元/人.培优训练二、列方程解应用题1 .从一块长为80cm,宽为60cm的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长方 形四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？2 .某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件8470个，该车间这两个 月生产零件平均每月增长的百分率是

34、多少？板块二 一元二次方程根与系数的关系夯实基础例i若方程-一取“二°的一个根为2y 则方程的另一根为c=例2已知方程-31一5二。的两根为x1、x2,则父例3如果%、X1是一元二次方程a/+bx + c=保注工的两根，那么，bcx r广二一、 一，一， .一&,a.这就是著名的韦达定理.现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2-6k+3=0的两根。(1)填空：m411M,mn=-1 +1(2)计算m门的值.例4 (2011?厦门)已知关于x的方程(-2x-2n=0有两个不相等的实数 根.(1)求n的取值范围；(2)若n<5,且方程的两个实数根都是整数，求 n的

35、值.例5 (2011?孝感)已知关于x的方程X，-21k -1 ) 乂 4必=0有两个实数根 Xi，X?(1)求k的取值范围；(2)若 (.0把2代入已知方程，得 22化简，得.故所求方程为y、2y-4 = 0.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为换根法”.-+XJ = X-1 求 k 的化例6 (2011?十堰)请阅读下列材料：问题：已知方程 好+ k-1 = 0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方 程根的2倍.vX =解：设所求方程的根为y,则y=2x所以 2.请用阅读村料提供的 换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：(1)已知方程x'k-2 = 0,求一

36、个一元二次方程，使它的根分别为己知方 程根的相反数，则所求方程为：。(2)己知关于x的一元二次方程a + bx + c=O有两个不等于零的实数根，求 一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数.例7 (2011?南充)关于的一元二次方程 Y+2K+k + l = U的实数解是X1和亏 .(1)求k的取值范围；(2)如果且卜为整数，求k的化例8 (2010?淄博)已知关于x的方程(2 (：k-3) x + k1-4k-l=O.(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；(2)若这个方程有一个根为1,求k的值；(3)若以方程-2 U-3) x+4k-1二0的两个根为横坐标、纵坐标的点my =一

37、恰在反比例函数r的图象上，求满足条件的 m的最小值.能力提升例1已知：关于x的一元二次方程kx2+ (2k3)x+k3=0有两个不相等实数 根(k<0) .0)用含k的式子表示方程的两实数根；(")设方程的两实数根分别是二七(其中七)跖)，若一次函数y=(3k b1)x+b与反比例函数丫="的图像都经过点(x1 , kx2),求一次函数与反比例函数 的解析式.例2 (昌平)已知：关于 工的一元二次方程 去”1 2H2-4二°.(1)若原方程有实数根，求七的取值范围； (2)设原方程的两个实数根分别为当收取哪些整数时，而，再均为整数;利用图象，估算关于土的方程

38、用+十*-1=°的解.例3 (顺义)已知：关于工的一元二次方程+=(1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；Y Y |巧一勺| 一 1+巴匕二(2)若方程的两个实数根 知 心满足 1 融-1 ,求的的值.例4海淀09 模).已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 的根为正实数, 二次函数 y=ax2-bx+kc(cwQ的图象与x轴一个交点的横坐标为1.(1)若方程的根为正整数，求整数k的值；(2)求代数式温 的值；(3)求证:关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0®必有两个不相等的实数根.例5知关于x的一元二次方程了 + 2dx +方=0 , Q > 0

39、,8 > °.(1)若方程有实数根，试确定a, b之间的大小关系；(2)若 a b=2 ,且 Uf=2 求 a, b 的值；解：(1) .关于x的一元二次方程2废*方' 二°有实数根，."'-靖' 0,有 a2-b2>0, (a+b) ( a-b) >0. a+b>0,a-b> 0.-a>h.分2(2) .a b=2 ：3设 丁 '、'、.解关于x的一元二次方程 炉+4日+3户三。，得，.；.当工-3太时，由"一马.=2得& 2. 二当册=-3区与=*时，由2M-&

40、; = 2得5 (不合题意，舍去)."±4力 之24,分.5培优训练例1设关于x的二次方程(代八义卜8gM 6火 m、4的两根都是整 数，求满足条件的所有实数k的值。例2、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x + 2a2-13a + 15=0(其中a是非负整数) 至少有一个整数根，求a的值.例3、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x +1 =0有有理 根，求m的值例4、关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数， 求a的化例5、已知关于x的方程x2 + (a-6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.例6、求

41、所有有理数r,使得方程rx2+(r+1)x +(r-1)=0的所有根是整数.例7、已知关于x的一元二次方程x2 + (m+3)x + m+1 = 0.(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)当m为何整数时，原方程的根也是整数.解：(1)证明：八腕去措4(附+ 1)1 6用卜 9 4m 42m 5=(加以44的川-川(熠 I 1)7+4>0.无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根 分(2)解关于x的一元二次方程x2+(m + 3)x +m +1 =0,tn 3 i /盟 +1)* + 4X 二得2分要使原方程的根是整数，必须使得(掰1)144是完全平方数.设的

42、可4 =。则 二a+ffj+J a-m-l的奇偶性相同，« + ;« +1 = 2, w+m -Fl =-2,可得储-eT = 2或I"一创T = -2,4= 2.=解得丽f或加-L 允fn 3±+1)”+4 将m= 1代入2,得用=-2%=。符合题意.分.当m= 1时，原方程的根是整数 分例8知关于x的方程优一1)，+垢+3。(1)若方程有两个不相等的实数根，求 k的取值范围；(2)当方程有两个相等的实数根时，求关于 y的方程/+ m-4A"4" + l = °的 整数根(以为正整数).解：(1)4d)(h+3)二3一小一

43、第+忆=-8儿+12分1方程有两个不相等的实数根，aaO.即应#12.5k<-.A的取值范围是2且女中1.分.3(2)当方程有两个相等的实数根时，= 一状412=0.2.分4.关于y的方程为铲1'' 11：|'.- i '- . 一W-32.由a为正整数，当是完全平方数时，方程才有可能有整数根.设尸32 二】/ (其中m为整数)，32- 七(尸、可均为整数)，M 济* = 32 .即 s -8 + 砌g-8-m)=32 .Ja8 +加_.十寸十16不妨设1”一8一用二两式相加，得. -R +研与("i。的奇偶性相同，32 可分解为 2x16, 4x ( 2)x(16) ( 4)x(-g)尸:18或12或一虫或一 12"一】7或14或-1 (不合题意，舍去)或2=-11±7当© : 17时，方程的两根为2,即5分_-8±2当"=14时，方程的两根为y 2 ，即为二-3,8=-5.6分412当叱2时，方程的两根为)F,即凹=3,外=1.办例9 (011西城二模)阅读下列材料：若关于 x的一元二次方程b _c血 "工" =()(£5的两个实数根分别为x1, x