微分方程复习题

1、 常微分方程复习题一、填空题1微分方程的阶数是_. 答：12形如_ 的方程称为齐次方程. 答： 3方程的基本解组是 答：.1. 二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2. 方程的基本解组是 答：3. 若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是 。4.一阶微分方程是全微分方程的充分必要条件是 。5. 方程有只含的积分因子的充要条件是 。有只含的积分因子的充要条件是 。6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点处 的切线斜率为，则曲线方程为 。7. 称为n阶齐线性微分方程。8. 常系数非齐线性方程(其中是m次多项式)中，则方程有形如 的特解

2、。9. 二阶常系数线性微分方程有一个形如 的特解。10. 微分方程的一般解为 。9. 微分方程的阶数为 。10. 若为齐次线性方程的n个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 .11. 设为非齐次线性方程的一个特解, 是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 .12. 若是齐次线性方程的个解，为其朗斯基行列式，则满足一阶线性方程 。答：13. 函数 是微分方程 的通解.14. 方程的基本解组是 15. 常系数方程有四个特征根分别为(二重根)，那么该方程有基本解组 16. 一定存在一个基解矩阵，如果是的任一解，那么 。17.若是的基解矩阵，则向量函数= 是的满足初始

3、条件的解；向量函数= 是的满足初始条件的解。18. 设分别是方程组，的解，则满足方程的一个解可以为 。19. 设为非齐次线性方程组的一个特解, 是其对应的齐次线性方程组的基解矩阵, 则非齐线性方程组的所有解可表为 .20.方程组的个解线性无关的充要条件是 .21. 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别是，那么矩阵= 是常系数线性方程组的一个基解矩阵。二、单项选择题1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个 （A）； （B）-1； （C）+1； （D）+2.2一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解； （B）是非齐

4、次微分方程组的解； （C）是其对应齐次微分方程组的解； （D）是非齐次微分方程组的通解.3若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ） （A）； （B）；（C）； （D）.4下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) (c为常数）.5. 下列微分方程是线性的是（ ）(A) ； (B) ； (C)； (D).6. 方程特解的形状为( )(A)； (B)；(C)； (D).7. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) ； (B)； (C)； (D).8. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)； (B)； (C)(c为

5、常数)； (D).9. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)； (B)； (C)； (D).10. 方程特解的形状为( )(A) ；(B) ；(C) ；(D).11. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A); (B)；(C)； (D).12. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)； (B)；(C)； (D)(c为常数).13. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)； (B)； (C)； (D) .14. 方程特解的形状为( )(A) ； (B) ； (C)； (D).15. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) ； (B)； (C) ； (D) y=c1cost+c2sint (c1,

6、c2为常数).16. 下列微分方程是线性的是（ ）(A) ； (B)； (C) ； (D). 17. 方程特解的形状为( )(A)； (B) ；(C)； (D).18. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 4-t, 2t-3, 6t+8.19. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A) x3+1=0； (B)； (C)； (D) .20. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)； (B)； (C) ； (D) xdx+ydy=0.21. 方程特解的形状为( )(A) ； (B)； (C) ； (D).22. 下列函数组在定义域内线性无关的是（ ）(A)；

7、(B)； (C)； (D).23. 微分方程y''-3y'+2y=2x-2ex的特解y*的形式是 ( )(A) (ax+b)ex (B) (ax+b)xex (C) (ax+b)+cex (D) (ax+b)+cxex24. 微分方程的通解是y=( )(A)； (B) ； (C) ； (D) .25. 设是线性非齐次方程的特解，则 ( )(A) 是所给微分方程的通解；(B) 不是所给微分方程的通解；(C) 是所给微分方程的特解；(D) 可能是所给微分方程的通解 也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解.26. 微分方程的特解的形式是y=（ ）(A)； (B)； (C

8、)； (D).27. 下列方程中为常微分方程的是（ ）(A)； (B) ；(C) ； (D).28. 下列微分方程是线性的是（ ）(A)； (B); (C)； (D).29.设是二阶线性非齐次微分方程的三个线性无关解，是任意常数，则微分方程的通解为( )(A); (B);(C); (D).30. 若连续函数满足关系式，则为（ ）(A); (B); (C) (D).31. 若，则它们所满足的微分方程为（ ）(A); (B); (C); (D).32. 设是二阶线性微分方程的三个不同的特解，且不是常数，则该方程的通解为（ ）(A) ; (B);(C); (D).33. 设是方程的两个特解，则（为任

9、意常数）（ ）(A)是此方程的通解; (B)是此方程的特解; (C)不一定是该方程的解; (D)是该方程的解.34. 微分方程的一个特解形式为（ ）(A); (B); (C); (D).35. 方程是全微分方程的充要条件是（ B ）(A); (B); (C); (D).36. 表达式是某函数的全微分，则（ ）(A); (B); (C); (D).37. 方程是特解的形式为（ ）(A); (B);(C); (D).38. 方程的特解的形式为（ ）(A) ; (B); (C); (D).39. 已知与是微分方程的解,则是（ ）(A)方程的通解; (B)方程的解, 但不为通解; (C)方程的特解;

10、(D)不一定是方程的解.40. 方程的特解的形式为（ ）(A) ； (B); (C); (D).41. 方程特解的形式为（ ）(A) ; (B);(C); (D).42. 方程特解形状为（ ）(A); (B);（C); (D).43. 方程的特解形状为（ ）(A); (B); (C); (D).44. 方程的特解形状为（ ）(A); (B);(C); (D).45. 方程的积分因子为（ ）(A); (B); (C); (D).46. 方程的积分因子为（ ）(A); (B) ; (C); (D) .47. 方程的积分因子为（ ）(A) ; (B); (C) ; (D) .48. 方程的积分因子为

11、（ ）(A); (B); (C); (D).49. 方程的积分因子为（ ）(A) ; (B); (C) ; (D).50. 方程的积分因子为（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) .51. 方程的积分因子为（ ）(A); (B); (C); (D).52. 方程的积分因子为（ ）(A); (B); (C); (D).53. 方程的积分因子为（ ）(A) ; (B); (C); (D).54. 方程的一个基本解组是( ). (A) ; (B); (C); (D).55. 方程是( ) . (A)可分离变量方程; (B)齐次方程; (C)全微分方程; (D)线性非齐次方程.三、证明题1.

12、 在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数证明： 设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在上有定义，且又由刘维尔公式 ， （5分） 由于，于是对一切，有 或 故 是上的严格单调函数 （10分） 2设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数证明: 如果和是二阶线性齐次方程 的解，那么由刘维尔公式有 现在，故有 3设矩阵函数，在区间I上连续，试证明，若方程组与在区间I上有相同的基本解组，则，.证明：因为方程组与在区间I上有相同的基本解组，所以可设是其基本解矩阵。从而有： ， ， 所以 ， 又由于是其基本解矩阵，所以，即

13、可逆，故，.4设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点证明：因和是两个线性无关解，故它们的朗斯基行列式 (*) 反证。假如它们有共同零点，那么存在一个点，使得 于是 这与(*)式矛盾所以它们不能有共同的零点5给定方程,其中在上连续,设是上述方程的两个解, 证明极限存在. 证明: 由条件知,是齐次线性方程的解, 因为 的特征方程是 ,特征根是, 所以 的基本解组为 从而可由基本解组线性表示, 即 所以极限存在.6设是n阶齐线性方程的任意n个解，它们所构成的朗斯基行列式为，证明： (1) 满足；(2) .证明：(1) 设是n阶齐次线性方程的任意n个解，它们所构成的朗斯基行列式为 由行列式的求导公式得 所以 把这个行列式的第1行、第2行、第n行分别乘以后加到最后一行上，最后一行全部变成0，所以.(2)当时，等式当然成立。当时，两端取x0到x的定积分，得7设为区间I上的连续实矩阵，为方