第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动

1、多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分振型分析析 目前，只介绍了离散系统的自由振动，并在第目前，只介绍了离散系统的自由振动，并在第5.4节中讨论了如何用振型分析方法来确定一个节中讨论了如何用振型分析方法来确定一个n自由度无自由度无阻尼系统对初始条件的响应。阻尼系统对初始条件的响应。 振型分析振型分析能够用来导出无阻尼系统对任意激励的能够用来导出无阻尼系统对任意激励的响应，在某些情况下，也可以导出有阻尼系统的响应。响应，在某些情况下，也可以导出有阻尼系统的响应。 不计阻尼时，不计阻尼时，n自由度系统的强迫振动微分方程为自由度系统的强迫振动微分方

2、程为 tttMqKqF(5.6-1)式中式中M和和K为为nn阶的质量矩阵和刚度矩阵，阶的质量矩阵和刚度矩阵，n维向量维向量q(t)和和F(t) 分别表示广义坐标和广义力。分别表示广义坐标和广义力。 方程方程(5.6-1)构成了构成了n个联立的个联立的常系数的常微分方常系数的常微分方程组。程组。虽然这些方程是线性的，但求解也并非是件容易虽然这些方程是线性的，但求解也并非是件容易的事。的事。 用用振型分析振型分析来求解就要方便得多，振型分析的基来求解就要方便得多，振型分析的基本思想就是将联立的方程组变换成为互不相关的方程组，本思想就是将联立的方程组变换成为互不相关的方程组，其其变换矩阵就是振型矩阵

3、变换矩阵就是振型矩阵。 为了用振型分析去求解方程为了用振型分析去求解方程(5.6-1)，首先必须求解首先必须求解特征值问题特征值问题，即，即2KuMu(5.6-2)式中式中u为振型矩阵，为振型矩阵， 2是固有频率平方的对角矩阵。振是固有频率平方的对角矩阵。振型矩阵可以正则化，使其满足型矩阵可以正则化，使其满足TT, I2u Muu Ku (5.6-3)多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分振型分析析 引入正则坐标，作如下的线性变换引入正则坐标，作如下的线性变换式中式中 (t)为系统的为系统的正则坐标正则坐标。 因为因为u是一个常数矩阵是一个常

4、数矩阵,所以所以 和和 之间存在着之间存在着同样的变换。把式同样的变换。把式(5.6-4)代入方程代入方程(5.6-1)，得，得( ) tq ( ) t ttqu(5.6-4) tttMuKuF(5.6-5)方程方程(5.6-5)左乘以左乘以uT，有，有 TTTtttu Muu Kuu F(5.6-6)考虑到方程考虑到方程(5.6-3)，得到得到 ttt2 N(5.6-7)式中式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量是与广义坐标向量 (t)相应的相应的n维广义力维广义力向量，即向量，即正则激励正则激励。 多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型

5、分振型分析析 因为因为 2是对角矩阵，故方程是对角矩阵，故方程(5.6-7)表示一组互不相表示一组互不相关的方程，即关的方程，即 tNttrrrr2 ), 2 , 1(nr(5.6-8)方程方程(5.6-8)具有与单自由度系统的运动微分方程相同的具有与单自由度系统的运动微分方程相同的结构，可作为结构，可作为n个独立的单自由度系统来处理。个独立的单自由度系统来处理。 设广义坐标设广义坐标q(t)的初始条件为的初始条件为 000,0qqqq(5.6-9)由式由式(5.6-4)的变换的变换 (t)=u-1q(t)，有有 1100000,0u qu q(5.6-10)多自由度无阻尼系统对任意激振的响应

6、求解推导多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分振型分析析也可以在坐标变换式也可以在坐标变换式(5.6-4)两边同时左乘两边同时左乘uTM，得，得TT0000,u Mqu Mq(5.6-11) 由初始条件引起方程由初始条件引起方程(5.6-8)的的齐次解齐次解为为 tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nr (5.6-12)式中式中 和和 为第为第r阶模态在正则坐标中的初始条件。阶模态在正则坐标中的初始条件。 0r0r 任意激励任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即的特解可以由卷积积分给出，即 trrrrtNt 0 dsin1), 2 , 1(nr(5.6-13)

7、多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分振型分析析自由振动初始条件的响应自由振动初始条件的响应所以第所以第r阶模态的全解是由激励阶模态的全解是由激励Nr(t)引起的响应和初始引起的响应和初始条件引起的响应之和条件引起的响应之和广义坐标广义坐标q(t)的响应是广义坐标的响应是广义坐标 (t)的响应的叠加，则有的响应的叠加，则有因此，将正则坐标的全解因此，将正则坐标的全解(5.6-14)代入方程代入方程(5.6-15)就可就可以得到无阻尼以得到无阻尼n自由度系统的全部响应。自由度系统的全部响应。 1nrrrtttquu(5.6-15)(5.6-14

8、) trrrrrrrrrtNttt 0 00dsin1sincos多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分振型分析析例题：单位阶跃激励初始条件的响应例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例（例5.6-1） 例例5.6-1 考虑图考虑图5.6-1所示系统，在系统上作用有激所示系统，在系统上作用有激励向量励向量F(t)=0 F0u(t)T，u(t)为单位阶跃函数。求在零初为单位阶跃函数。求在零初始条件下系统的响应。始条件下系统的响应。 解：解：系统的运动微分方程系统的运动微分方程为了用振型分析方法求解，为了用振型分析方法求解，首先首先要解特征值问题要解

9、特征值问题，得，得 11220102102120qqmkqqF u t 111 0000000.796226,1 366025.k.mu图图 5.9-1 221 0000001 538188,0 366025.k.mu对振型向量进行正则化对振型向量进行正则化，而后把振型向量排列成振型矩，而后把振型向量排列成振型矩阵阵0.4597010.88807410.6279630.325057mu利用振型矩阵作线性变换利用振型矩阵作线性变换 T00.6279630.325057Fu tmN tu F t例题：单位阶跃激励初始条件的响应例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例（例5.6-1） tmFtumFtt

10、1210 0 1101cos10.627963dsin1627963. 0 tmFtumFtt2220 0 2202cos10.325057dsin1325057. 0将上式代入方程将上式代入方程(5.6-14)，得，得例题：单位阶跃激励初始条件的响应例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例（例5.6-1）那么广义坐标那么广义坐标q(t)的响应为的响应为 tmk.tmk.kFttmFtq5381881cos112200907962260cos14552950 cos11325057. 0888074. 0cos11627963. 0459701. 0022212101 tmk.tmk.kFttmF

11、tq5381881cos104465807962260cos16219450 cos11325057. 0cos11627963. 002222121202例题：单位阶跃激励初始条件的响应例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例（例5.6-1） 例例5.6-2 若图若图5.6-1所示系统的作用力向量为所示系统的作用力向量为F(t)=0 F0sin tT，求系统的响应。，求系统的响应。 解：解：根据前题，利用振型矩阵根据前题，利用振型矩阵u进行变换的正则激进行变换的正则激励向量为励向量为 T00.627963sin0.325057FtmN tu F t将上式代入将上式代入(5.6-14)，得，得 d

12、sinsin1627963. 0 0 1101ttmFt2121121011sinsin0.627963ttmF例题：受简谐激励系统的响应例题：受简谐激励系统的响应（例（例5.6-2）最后，得最后，得 dsinsin1325057. 0 0 1202ttmFt2222222011sinsin325057. 0ttmF 21211210111sinsin1455295. 0ttmFtq222222211sinsin1122009. 0tt例题：受简谐激励系统的响应例题：受简谐激励系统的响应（例（例5.6-2）可见，由方程可见，由方程(5.6-14)得到的解，包含由外加激得到的解，包含由外加激励作

13、用于系统引起的稳态响应和瞬态响应。励作用于系统引起的稳态响应和瞬态响应。当存当存在阻尼时，瞬态响应将很快衰减。若只考虑强迫在阻尼时，瞬态响应将很快衰减。若只考虑强迫振动的稳态响应，振动的稳态响应，则只取则只取sint项。项。 21211210211sinsin1621945. 0ttmFtq222222211sinsin1044658. 0tt例题：受简谐激励系统的响应例题：受简谐激励系统的响应（例（例5.6-2）多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼阻尼概述阻尼概述 在工程实际中，在工程实际中，阻尼总是存在的阻尼总是存在的( (如摩擦、如摩擦、速度平方阻尼、材料阻尼、结构阻尼、粘性阻尼速度平方

14、阻尼、材料阻尼、结构阻尼、粘性阻尼等等) )，并对系统的振动产生影响。，并对系统的振动产生影响。 由于各种阻尼的机理比较复杂，在线性系由于各种阻尼的机理比较复杂，在线性系统振动分析计算中，需统振动分析计算中，需将各种阻尼简化为粘性阻将各种阻尼简化为粘性阻尼，其阻尼力的大小与速度的一次方成正比尼，其阻尼力的大小与速度的一次方成正比。 阻尼系数须阻尼系数须由工程上各种理论与经验公式由工程上各种理论与经验公式给出，或直接根据实验数据确定。给出，或直接根据实验数据确定。多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼阻尼矩阵的特点及几种常用的阻尼阻尼矩阵的特点及几种常用的阻尼 对于一般粘性阻尼的多自由度系统，在外

15、激励的作对于一般粘性阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，系统的运动微分方程为用下，系统的运动微分方程为 ttttMqCqKqF(5.7-1) 式中质量矩阵式中质量矩阵M、刚度矩阵、刚度矩阵K和外激励向量和外激励向量F(t)的意义与的意义与前面相同，而阻尼矩阵前面相同，而阻尼矩阵C的形式为的形式为ijCcnji, 2 , 1,(5.7-2) 阻尼矩阵阻尼矩阵C一般为正定或半正定的对称矩阵。一般为正定或半正定的对称矩阵。 1. .比例阻尼：比例阻尼：若阻尼矩阵若阻尼矩阵C恰好与质量矩阵恰好与质量矩阵M或刚或刚度矩阵度矩阵K成正比，或者成正比，或者C是是M与与K的某种线性组合，即的某种线性组合，即

16、abCMK (5.7-3)式中式中a和和b为正的常数，称这种阻尼为比例阻尼。为正的常数，称这种阻尼为比例阻尼。 多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼 对这种比例阻尼来说，当广义坐标转换成正则坐标对这种比例阻尼来说，当广义坐标转换成正则坐标时，时，在正则坐标中的阻尼矩阵将是一个对角矩阵在正则坐标中的阻尼矩阵将是一个对角矩阵，即使，即使用无阻尼系统的正则振型矩阵用无阻尼系统的正则振型矩阵u可以使可以使C对角化，即有对角化，即有TTTT21222nuababababababCuuMK uu Muu KuI(5.7-4)几种常用的阻尼几种常用的阻尼1 比例阻尼比例阻尼多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻

17、尼称称 r为为振型比例阻尼振型比例阻尼。可以看出，令。可以看出，令a=0，而，而b0有有 这意味着在各个振型振动中，这意味着在各个振型振动中，阻尼正比于该振型所对阻尼正比于该振型所对应的固有频率应的固有频率。令令22rrrab (5.7-5)或写成或写成22rrrab(5.7-6)2rrb(5.7-7)几种常用的阻尼几种常用的阻尼2 振型比例阻尼振型比例阻尼多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼 适当地选取适当地选取a和和b的值，就有可近似地反映实际振的值，就有可近似地反映实际振动中出现的倾向性。动中出现的倾向性。几种常用的阻尼几种常用的阻尼2振型比例阻尼振型比例阻尼2rra(5.7-8)这意味

18、着在各个振型振动中，这意味着在各个振型振动中，阻尼反比于该振型所对应阻尼反比于该振型所对应的固有频率。的固有频率。 若若b=0，而，而a0，有，有多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼 再讨论方程再讨论方程（5.7-1）的解耦问题。可以看到，是否的解耦问题。可以看到，是否能利用正则坐标变换进行解耦，关键在于阻尼矩阵是否能利用正则坐标变换进行解耦，关键在于阻尼矩阵是否能对角化。能对角化。 有阻尼振动系统解耦问题有阻尼振动系统解耦问题 uTCu一般不是对角阵。一般不是对角阵。在工程实际的振动系统中，在工程实际的振动系统中，经常遇到的是阻尼比较小的情况，经常遇到的是阻尼比较小的情况，这时，由这时，由u

19、TCu的非对的非对角项引起的耦合很少出现大于或者远大于对角项的情况。角项引起的耦合很少出现大于或者远大于对角项的情况。因此，略去因此，略去uTCu非对角线元素组成的各阻尼项，即令非对角线元素组成的各阻尼项，即令uTCu的所有非对角线元素的值为零，不会引起很大的误的所有非对角线元素的值为零，不会引起很大的误差。差。 多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼 对应正则坐标的阻尼矩阵就可以表为对角矩阵，即对应正则坐标的阻尼矩阵就可以表为对角矩阵，即1122T222nn u Cu(5.7-9)因此，就可以把振型叠加法有效地推广到有阻尼的多自因此，就可以把振型叠加法有效地推广到有阻尼的多自由度系统的振动问题

20、的分析求解。由度系统的振动问题的分析求解。 有阻尼的多自由度系统的正则坐标的运动微分方程有阻尼的多自由度系统的正则坐标的运动微分方程为为 22rrr t t tN t(5.7-10)有阻尼振动系统解耦问题有阻尼振动系统解耦问题多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼 实践经验表明，它一般实践经验表明，它一般适用于振型阻尼比适用于振型阻尼比r不大不大于于0.2的弱阻尼系统。的弱阻尼系统。或展开为或展开为(5.7-11) 22rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1 若系统的阻尼较大，不能用无阻尼系统的振型矩若系统的阻尼较大，不能用无阻尼系统的振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵阵使方程解耦，即阻尼矩阵

21、C不能对角化，也有一般的不能对角化，也有一般的理论适用于这种情况，它将包含复特征值和复特征向量，理论适用于这种情况，它将包含复特征值和复特征向量，这个问题已超出了本书的范围。这个问题已超出了本书的范围。 有阻尼振动系统解耦问题有阻尼振动系统解耦问题有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法 对于有阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，对于有阻尼的多自由度系统，在外激励的作用下，系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为 Mq tCq tKq tF t 假设有粘性阻尼系统的运动微分方程中的阻尼矩阵假设有粘性阻尼系统的运动微分方程中的阻尼矩阵C可以实现对角化，可以实现

22、对角化，利用正则坐标变换解耦后，得到利用正则坐标变换解耦后，得到有有阻尼系统的运动微分方程为阻尼系统的运动微分方程为 22rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1根据式根据式(5.7-9)得振型阻尼比得振型阻尼比 r为为 T2rrrruCunr, 2 , 1(5.8-1)多自由度有阻尼系统对任意激振的响应求解推导多自由度有阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分振型分析析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法对应第对应第r阶正则坐标阶正则坐标 r(t)模态力向量为模态力向量为 TrrNtuF tnr, 2 , 1(5.8-2) 激励类型：激励类型：简谐激励

23、；简谐激励；周期激励；周期激励；任意激励。任意激励。多自由度有阻尼系统对任意激振的响应求解推导多自由度有阻尼系统对任意激振的响应求解推导振型分振型分析析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法1简谐激励简谐激励 假定一个具有粘性阻尼的多自由度系统，它的各广假定一个具有粘性阻尼的多自由度系统，它的各广义坐标上有同频率、同相位的简谐激励作用。义坐标上有同频率、同相位的简谐激励作用。令令将方程将方程(5.7-11)写程复数形式写程复数形式 sint0F tF(5.8-3) 202sin()rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1(5.8-4)式中式中 T0rrN

24、0uF(5.8-5)多自由度有阻尼系统对多自由度有阻尼系统对简谐激振简谐激振的响应求解推导的响应求解推导振型分振型分析析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法式中式中这里这里Hr()，r和和r分别为相应于正则坐标的放大因子，分别为相应于正则坐标的放大因子，相位角和频率比。相位角和频率比。 则正则坐标的稳态响应为则正则坐标的稳态响应为 02sin(-)rrrrrNtHt (5.8-6) 222112rrrrH (5.8-7)122tg1rrrr (5.8-8)rr(5.8-9)多自由度有阻尼系统对多自由度有阻尼系统对简谐激振简谐激振的响应求解推导的响应求解推导

25、振型分振型分析析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法因此因此系统对简谐激励的稳态响应系统对简谐激励的稳态响应可以表示为可以表示为(5.8-10) 02222sin12rrrrrrrNtt 则则原广义坐标的稳态响应原广义坐标的稳态响应为为 1T022221sin12nrrrrrnrrrrrrtt q tuuuF(5.8-11)多自由度有阻尼系统对多自由度有阻尼系统对简谐激振简谐激振的响应求解推导的响应求解推导振型分振型分析析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法 不难看出，当外激励频率不难看出，当外激励频率与系统第与系统第

26、r阶固有频率阶固有频率r值比较接近时，即值比较接近时，即r=/r1，这时第，这时第r阶正则坐标阶正则坐标r(t)的稳态强迫振动的振幅值就会很大，这与单自由度系统的稳态强迫振动的振幅值就会很大，这与单自由度系统的共振现象是完全类似的。的共振现象是完全类似的。 2周期激励周期激励 如果系统各坐标上作用的外激励为具有同一周期的如果系统各坐标上作用的外激励为具有同一周期的周期力，则可将各外力周期力，则可将各外力先按傅里叶级数先按傅里叶级数展开，即展开，即 10sincos2jjjrtjbtjaatN(5.8-12)式中系数式中系数a0，aj和和bj可用第三章可用第三章3.2节给出的公式计算。节给出的公

27、式计算。有阻尼系统对有阻尼系统对一般周期激振一般周期激振的响应求解推导的响应求解推导振型分析振型分析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法 把外激励各简谐分量所引起的系统各稳态强迫振动把外激励各简谐分量所引起的系统各稳态强迫振动解分别求出，然后将各解叠加起来，就得到系统在这种解分别求出，然后将各解叠加起来，就得到系统在这种周期力作用下的响应周期力作用下的响应 102sincos21jrjjrjjrjrrtjbtjajHat(5.8-13)式中式中 2222112rjrrrHjjj(5.8-14)1222tg1rrrjrjj(5.8-15)rr(5.8-16)

28、有阻尼系统对有阻尼系统对一般周期激振一般周期激振的响应求解推导的响应求解推导振型分析振型分析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法 对于任意阶正则坐标响应对于任意阶正则坐标响应r(t) (r=1,2,n)，是由是由各个不同频率的激励引起的响应叠加而成。各个不同频率的激励引起的响应叠加而成。 因而，就一般周期性激励函数来说，产生共振的因而，就一般周期性激励函数来说，产生共振的可能性要比简谐函数大的多。所以很难预料各振型中哪可能性要比简谐函数大的多。所以很难预料各振型中哪一振型将受到激励的强烈影响。一振型将受到激励的强烈影响。 但是，当激励函数展成傅里叶级数之后

29、，每一个但是，当激励函数展成傅里叶级数之后，每一个激励频率激励频率j 可以和每个固有频率可以和每个固有频率 r相比较，从而预先推相比较，从而预先推测出强烈振动所在。测出强烈振动所在。 有阻尼系统对有阻尼系统对一般周期激振一般周期激振的响应求解推导的响应求解推导振型分析振型分析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法原坐标的稳态响应为原坐标的稳态响应为 10211cos2sinnrrrrnrjjrjrjrjrjtaHjaj tbj tq tuu(5.8-17)3任意激励任意激励 对于外力是一般任意随时间变化的激励，用振型叠对于外力是一般任意随时间变化的激励，用振型叠加法也很容易求出各广义坐标的响应。加法也很容易求出各广义坐标的响应。 有阻尼系统对有阻尼系统对一般周期激振一般周期激振的响应求解推导的响应求解推导振型分析振型分析有阻尼系统对任意激励的响应有阻尼系统对任意激励的响应-振型叠加法振型叠加法 000 0ecossin1e