第四讲 微分方程(2013基础班第四章)

1、第四讲第四讲 微分方程微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念1.定义定义含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程yxy 23xyyye2()0yx dyxdx0yy20yx0y 微分方程中必须含有导数或微分！微分方程中必须含有导数或微分！2.微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶（一阶）（一阶）（一阶）（一阶）（二阶）（二阶）（二阶）（二阶）（二阶）（二阶）（三阶）（三阶）第四讲第四讲 微分方程微分方程3.微分方程的解微分方程的解代入微分方程能

2、使方程成为恒等式的代入微分方程能使方程成为恒等式的函数函数称为微分方程的解称为微分方程的解4.微分方程的通解微分方程的通解如如 都是都是 的解的解333,3 ,333xxxyyx yC20yx微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的且任意常数的个数与微分方程的阶数相同阶数相同如如 是是 的通解的通解3123xyC xC20yx5.微分方程的特解微分方程的特解确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解如如 都是都是 的特的特解解33,333xxyyx20yx第四讲第四讲 微分方程微分方程6.初始条件（初值问题）初始条件（初值问题）用来确定任

3、意常数的条件，从而求出微分方程的特解（唯一的）用来确定任意常数的条件，从而求出微分方程的特解（唯一的）求微分方程求微分方程 满足满足 的特解的特解20yx(0)0(0)1yy3123xyC xC由前面可知由前面可知 是是 的通解的通解20yx带入带入 ，得，得(0)0y20C 又又21yxC 带入带入 ，得，得(0)1y11C 33xyx所以满足所给初始条件的特解为所以满足所给初始条件的特解为第四讲第四讲 微分方程微分方程例例 已知一曲线上任一点已知一曲线上任一点 处的切线斜率等于处的切线斜率等于 ，且该，且该曲线通过点曲线通过点 ，求该曲线的方程，求该曲线的方程.( , )P x y2x(0

4、,1)解：解：设所求曲线方程为设所求曲线方程为 ， ( )yf x(0)1f2yx dx2yx 313yxC由导数的几何意义，得由导数的几何意义，得这是一个微分方程，它满足初始条件这是一个微分方程，它满足初始条件将上述微分方程两边取积分，得将上述微分方程两边取积分，得则则代入初始条件代入初始条件(0)1f得得1C 即所求曲线方程为即所求曲线方程为3113yx注：通过上面这个简单的例子，我们可以发现在求解微分方程注：通过上面这个简单的例子，我们可以发现在求解微分方程 的时候，利用求积分是一个简单有效的方法，这是因为微的时候，利用求积分是一个简单有效的方法，这是因为微 分和积分原来就是一个分和积分

5、原来就是一个“互逆互逆”的过程。的过程。第四讲第四讲 微分方程微分方程二、一阶微分方程二、一阶微分方程 一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为 ，下面我们仅讨论，下面我们仅讨论几种特殊类型的一阶微分方程几种特殊类型的一阶微分方程.( , ,)0F x y y 1.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程如果一个一阶微分方程 可化为可化为( , ,)0F x y y 则该方程称为可分离变量的微分方程则该方程称为可分离变量的微分方程.( )( )g y dyf x dx( )( )dyf xg ydx或者或者解法：解法：将方程将方程 两端取积分，得两端取积分，得( )

6、( )g y dyf x dx( )( )g y dyf x dx( )( )G yF xC若若 分别为分别为 的原函数，则方程的通解为的原函数，则方程的通解为( ),( )G y F x( ),( )g yf x第四讲第四讲 微分方程微分方程22(1)(1)0yx dyxydx例例1解：解： 分离变量分离变量 22(1)(1)yx dyxydx 2211yxdydxyx 两边积分两边积分2211yxdydxyx 22221111(1)(1)2 12 1dydxyx 即即 22111ln(1)ln(1)ln222yxC 22(1)(1)xyC方程通解为方程通解为注：注：1.为了化简方便，不定积

7、分中的常数为了化简方便，不定积分中的常数C可以适当的改写；可以适当的改写； 2.微分方程的通解可以是隐函数（方程），有时候显化微分方程的通解可以是隐函数（方程），有时候显化 会使得解析式变得复杂。会使得解析式变得复杂。第四讲第四讲 微分方程微分方程x yedydx例例2解：解： 分离变量分离变量 yxe dye dx两边积分两边积分yxe dye dx即即 yxeeC 方程通解为方程通解为yxeeC ln()xyCe也可以写成也可以写成2yxy 例例3解：解： 分离变量分离变量 2dyxdxy两边积分两边积分2dyxdxy即即 21ln yxC21xCye21xCye 21Cxe e 方程通解

8、为方程通解为因为因为 为任意常数，把它记作为任意常数，把它记作 ，1CeC2xyCe第四讲第四讲 微分方程微分方程注：上题的解答过程很具有一般性，当原函数中含有对数时，注：上题的解答过程很具有一般性，当原函数中含有对数时， 常常需要这样的简化过程，我们可以约定简化写法如下：常常需要这样的简化过程，我们可以约定简化写法如下：( ( )( )( )d G yF x dxG y如果有如果有则有则有ln( )( )lnG yF xC即即( )( )F xG yCe2dyxdxy如上题可以这样写如上题可以这样写2lnlnyxC2xyCe0 xdyydx例例4解：解： 分离变量分离变量 dydxyx两边积

9、分两边积分dydxyx即即lnlnlnyxC方程通解为方程通解为yCx第四讲第四讲 微分方程微分方程tan,()44ydxxdyy例例5解：解： 分离变量分离变量 cotdyxdxy两边积分两边积分cotdyxdxy即即lnlnsinlnyxC方程通解为方程通解为sinyCx带入带入()44y得得4 2C 满足初始条件的特解为满足初始条件的特解为4 2sinyx第四讲第四讲 微分方程微分方程2.齐次微分方程齐次微分方程如果一个一阶微分方程如果一个一阶微分方程 可化为可化为( , ,)0F x y y 则该方程称为齐次微分方程（齐次方程）则该方程称为齐次微分方程（齐次方程）.( )dyydxx例

10、如方程例如方程 22()xxy dyy dx22dyydxxxy可以化为可以化为2( )1yxyx解法：解法：令令yux则则yxudyduuxdxdx两边关于两边关于 求导，得求导，得x代入原方程，得代入原方程，得( )duuxudx即即( )duuudxx分离变量，得分离变量，得( )dudxuux两边积分，得两边积分，得( )dudxuux求出通解后将求出通解后将 换成换成 即可即可uyx可作为公式记忆可作为公式记忆第四讲第四讲 微分方程微分方程22yyyxx例例6解：解：原方程可化为原方程可化为2( )yyyxx令令yux则则yxudyduuxdxdx代入原方程，得代入原方程，得2duu

11、xuudx即即2duudxx 分离变量，得分离变量，得2dudxux 两边积分，得两边积分，得2dudxux 即即1lnlnxCu1lnCxu得方程通解为得方程通解为带入带入yuxlnxyCx第四讲第四讲 微分方程微分方程上面从求积分开始也可以这样做上面从求积分开始也可以这样做2dudxux 2dxduxu 1lnlnxCu1uxCexyxCe（这个结果跟上面的结果实际上是一样的！）（这个结果跟上面的结果实际上是一样的！）注：从以上两种解微分方程的方法中，我们可以知道注：从以上两种解微分方程的方法中，我们可以知道“解解”微微分分方程就是消除方程中的导数或微分，至于结果是一个函数还是方程就是消除

12、方程中的导数或微分，至于结果是一个函数还是一个方程，只要是两个变量之间的一个关系表达式即可，所以一个方程，只要是两个变量之间的一个关系表达式即可，所以可能存在结果有不一样的情况；在具体解题的过程中，尤其是可能存在结果有不一样的情况；在具体解题的过程中，尤其是在求积分的时候，会遇到各种各样的情形，不是一两个题目就在求积分的时候，会遇到各种各样的情形，不是一两个题目就能全部包含的，所以要多做一些这类题目，做到熟能生巧。能全部包含的，所以要多做一些这类题目，做到熟能生巧。第四讲第四讲 微分方程微分方程3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程为了帮助大家正确认识什么是为了帮助大家正确认识什么是线性微分方程

13、线性微分方程，我们先引入，我们先引入n阶阶线性微分方程的概念，以便以后学习二阶线性微分方程的解法线性微分方程的概念，以便以后学习二阶线性微分方程的解法( )(1)11( )( )( )( )nnnnyP x yPx yP x yQ x形如形如的方程叫做的方程叫做n阶线性微分方程阶线性微分方程之所以称为之所以称为“线性线性”微分方程，是因为方程中的微分方程，是因为方程中的( ),ny y yy 是通过乘以某些系数（可以是函数或常数）以后，只有加或减是通过乘以某些系数（可以是函数或常数）以后，只有加或减的运算联系起来的，我们把这样的方程称为线性微分方程的运算联系起来的，我们把这样的方程称为线性微分

14、方程特别的，当特别的，当 时，称为时，称为n阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程( )0Q x 注：所谓线性微分方程，说的简单些，就是在方程中，导数与注：所谓线性微分方程，说的简单些，就是在方程中，导数与 导数或者说微分与微分之间除了加减运算以外没有其他形导数或者说微分与微分之间除了加减运算以外没有其他形 式的运算式的运算.第四讲第四讲 微分方程微分方程当当n=1时，就是我们要讲的一阶线性微分方程，如下：时，就是我们要讲的一阶线性微分方程，如下：( )( )yP x yQ x观察方程观察方程，显然它是一个可分离变量的方程，显然它是一个可分离变量的方程，特别的，当特别的，当 时，称为一阶齐次线性

15、微分方程：时，称为一阶齐次线性微分方程：( )0Q x ( )0yP x y分离变量，得分离变量，得( )0dyP x ydx( )dyP x dxy 两边积分，得两边积分，得( )dyP x dxy 为表示方便我们这里就用为表示方便我们这里就用 表示表示 的一个原函数的一个原函数( )P x dx( )P x则则ln( )lnyP x dxC 即方程即方程的通解为的通解为( )P x dxyCe对应的，对于对应的，对于 时的时的又称为一阶非齐次线性微分方程又称为一阶非齐次线性微分方程( )0Q x 第四讲第四讲 微分方程微分方程对于方程对于方程，我们是通过一种叫，我们是通过一种叫“常数变易法

16、常数变易法”的方法，在方的方法，在方程程通解的基础上得到其通解的，结果如下：通解的基础上得到其通解的，结果如下：( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC仔细观察上式不难发现，方程仔细观察上式不难发现，方程的通解是由方程的通解是由方程的通解与的通解与 的一个特解之和构成的，即：的一个特解之和构成的，即：( )( )( )( )P x dxP x dxP x dxyCeeQ x edx的通解的通解的一个特解的一个特解注：在解题的时候，我们只要把一阶（非齐次）线性微分方程注：在解题的时候，我们只要把一阶（非齐次）线性微分方程 变为形如变为形如的标准形式，找出其中的的标准形式，找

17、出其中的 和和 ，直接，直接 代入上面的公式即可代入上面的公式即可( )P x( )Q x第四讲第四讲 微分方程微分方程补充：常数变易法补充：常数变易法中的中的 看作是看作是 的函数的函数 ，并设方程，并设方程的通解为的通解为 ( )P x dxyCe为解决方程为解决方程的通解，我们把方程的通解，我们把方程的通解的通解xC( )C x( )( )P x dxyC x e则则( )( )( )( ) ( )P x dxP x dxyC x eC x P x e代入方程代入方程( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )P x dxP x dxP x dxC x eC x P x e

18、P x C x eQ x得得整理，得整理，得( )( )( )P x dxC x eQ x即即( )( )( )P x dxC xQ x e两边积分，得两边积分，得( )( )( )P x dxC xQ x edxC因此方程因此方程的通解为的通解为( )( )( )P x dxP x dxyeQ x edxC第四讲第四讲 微分方程微分方程26 ,(0)2yxyxy 例例1解：方程变形为解：方程变形为 26yxyx这是一个一阶非齐次线性微分方程这是一个一阶非齐次线性微分方程 ( )2 ,( )6P xx Q xx 则原方程的通解为则原方程的通解为 ( 2 )( 2 ) 6x dxx dxyexe

19、dxC22( 6)xxexedxC22( 3)xxeeC23xCe代入代入 得得 (0)2y 1C 所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为23xye第四讲第四讲 微分方程微分方程22(1)(1)x xdyxydxdx例例2解：方程变形为解：方程变形为 211(1)dyydxxx x211( ),( )(1)P xQ xxx x则原方程的通解为则原方程的通解为 1121(1)dxdxxxyeedxCx x211()1dxCxx1(arctan)xCx这里我们仍然把这里我们仍然把 写成写成ln xln x1ln1dxxxeex1lndxxxeex第四讲第四讲 微分方程微分方程

20、2(2)0 xydyydx例例3解：方程变形为解：方程变形为 2dxxydyy 2( ),( )P yQ yyy 则原方程的通解为则原方程的通解为 22()() ()dydyyyxey edyC221 ()yydyCy2( ln)yyC注：在微分方程中，没有绝对的自变量与函数值，只要能注：在微分方程中，没有绝对的自变量与函数值，只要能 符合某种类型的微分方程就可以使用特定的方法求解符合某种类型的微分方程就可以使用特定的方法求解如：如： 就可以看作是关于就可以看作是关于 一阶线性一阶线性微分方程，通解公式只要把微分方程，通解公式只要把x与与y交换位置就可以使用交换位置就可以使用( )( )xP

21、y xQ yy第四讲第四讲 微分方程微分方程三、可降阶的高阶微分方程三、可降阶的高阶微分方程二阶或二阶以上的微分方程称为高阶微分方程二阶或二阶以上的微分方程称为高阶微分方程1. 型的微分方程型的微分方程( )( )nyf x将方程两边积分一次就得到一个将方程两边积分一次就得到一个n-1阶的方程阶的方程(1)1( )nyf x dxC再积分一次，得再积分一次，得(2)12( )nyf x dxC xC 就这样逐次进行积分，便可得到所求方程的通解就这样逐次进行积分，便可得到所求方程的通解xye1xyeC 12xyeC xC21232xCyexC xC 例例1第四讲第四讲 微分方程微分方程2. 型的

22、微分方程型的微分方程( ,)yf x y此类型的方程就是不显含未知数此类型的方程就是不显含未知数y的二阶微分方程的二阶微分方程yp令令dpypdx则则于是，原方程变为于是，原方程变为( , )pf x p这是一个关于变量这是一个关于变量x和和p的一阶方程，如果可以求出其通解：的一阶方程，如果可以求出其通解：1( ,)pg x C即即1( ,)yg x C接下来再求一次积分便可得原方程的通解接下来再求一次积分便可得原方程的通解第四讲第四讲 微分方程微分方程2(1)2xyxy例例2解：解： yp令令dpydx则则于是，原方程变为于是，原方程变为2(1)2dpxxpdx分离变量，得分离变量，得221

23、dpxdxpx两边积分，得两边积分，得221dpxdxpx即即21lnln(1)lnpxC则则21(1)pCx即即21(1)yCx两边积分，得两边积分，得312()3xyC xC第四讲第四讲 微分方程微分方程3. 型的微分方程型的微分方程( ,)yf y y此类型的方程就是不显含自变量此类型的方程就是不显含自变量x的二阶微分方程的二阶微分方程yp令令yp则则dp dydy dxdppdy于是，原方程变为于是，原方程变为( , )dppf y pdy这是一个关于变量这是一个关于变量y和和p的一阶方程，如果可以求出其通解：的一阶方程，如果可以求出其通解：1( ,)pg y C即即1( ,)yg y

24、 C分离变量并求积分，即可得原方程的通解为分离变量并求积分，即可得原方程的通解为21( ,)dyxCg y C第四讲第四讲 微分方程微分方程2002(),1,2xxyyyyyy例例3解：解： yp令令dpypdy则则于是，原方程变为于是，原方程变为22()dppyppdy(0)2,0yp分离变量并积分，得分离变量并积分，得21dpdypy即即1ln(1)2lnlnpyC则则211pC y 即即211yC y 分离变量并积分，得分离变量并积分，得21dydxy2(1)dpypdy代入代入 得得(0)1,(0)2yy11C 即即21yy 则则2arctan yxC2(0)14yC tan()4yx

25、特解为特解为于是有于是有第四讲第四讲 微分方程微分方程四、二阶线性微分方程四、二阶线性微分方程1.定义定义 前面我们已经介绍了前面我们已经介绍了n阶线性微分方程的概念，因此很容阶线性微分方程的概念，因此很容易得到二阶线性微分方程的定义：易得到二阶线性微分方程的定义：形如形如( )( )( )yP x yQ x yf x的微分方程称为二阶线性微分方程的微分方程称为二阶线性微分方程当当 时，方程时，方程称为二阶称为二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程( )0f x 当当 时，方程时，方程称为二阶称为二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程( )0f x ( )( )0yP x yQ x y当当 分

26、别为常数分别为常数 时，方程时，方程、分别称为分别称为二阶二阶常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程和和二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程( ),( )P x Q x, p q( )ypyqyf x0ypyqy第四讲第四讲 微分方程微分方程2.二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构定理定理1 如果函数如果函数 和和 是方程是方程的解，则函数的解，则函数也是方程也是方程的解的解1y2y1122yC yC y证明：证明： 因为函数因为函数 和和 是方程是方程的解，所以的解，所以1y2y因此因此 也是方程也是方程的解的解1122yC yC y111( )( )0

27、yP x yQ x y222( )( )0yP x yQ x y将函数将函数 代入方程代入方程等式左边，得等式左边，得1122yC yC y112211221122()( )()( )()C yC yP x C yC yQ x C yC y左边左边=112211221122( )( )( )( )C yC yC P x yC P x yCQ x yC Q x y11112222( )( )( )( )C yP x yQ x yC yP x yQ x y0=右边右边第四讲第四讲 微分方程微分方程注：上面定理的证明过程也给了我们一种证明一个函数是否注：上面定理的证明过程也给了我们一种证明一个函数是

28、否 是某个方程的解的方法，很简单，就是把这个函数代入是某个方程的解的方法，很简单，就是把这个函数代入 到这个方程中，适合方程就是方程的解；反过来，如果到这个方程中，适合方程就是方程的解；反过来，如果 告诉我们一个函数是某个方程的解，当然也就适合这个告诉我们一个函数是某个方程的解，当然也就适合这个 方程。方程。11221121yC yC yC yC ky现在我们来考虑现在我们来考虑 是不是方程是不是方程的通解的通解1122yC yC y21yky若若 （常数）时，（常数）时， 121()CC k y112()CyCCC k于是，相当于只有一个任意常数了，所以于是，相当于只有一个任意常数了，所以

29、就不是通解了就不是通解了y在这种情况下，我们称在这种情况下，我们称 与与 是是线性相关线性相关的的1y2y21yy若若 （常数）时，我们称（常数）时，我们称 与与 是是线性无关线性无关的的 1y2y第四讲第四讲 微分方程微分方程定理定理2 如果函数如果函数 和和 是方程是方程的两个线性无关的特解，则的两个线性无关的特解，则函数函数 是方程是方程的通解的通解1y2y1122yC yC y证明：略证明：略例：容易验证例：容易验证 是方程是方程 的两个特解的两个特解12cos ,sinyx yx0yy而而 不是常数，不是常数，21sintancosyxxyx所以所以 与与 是线性无关的是线性无关的1

30、y2y因此因此 是方程是方程 的通解的通解12cossinyCxCx0yy定理定理3设函数设函数 是方程是方程的一个特解，函数的一个特解，函数 是方程是方程的通解的通解*yY则则 是方程是方程的通解的通解*yYy证明：可以模仿定理证明：可以模仿定理1的证明，利用的证明，利用 分别适合方程分别适合方程和和 方程方程，把，把 代入到方程代入到方程的左边，得出：的左边，得出： 左边左边= =右边即可右边即可*,y Y*yYy第四讲第四讲 微分方程微分方程类似的，我们还可以证明下面两个结论：类似的，我们还可以证明下面两个结论：若若 是方程是方程的两个特解，则的两个特解，则 是方程是方程的特解的特解12

31、,y y21yyy的特解，则的特解，则 是方程是方程( )( )( )( )yP x yQ x yf xg x12yyy若若 分别是方程分别是方程12,y y( )( )( ),( )( )( )yP x yQ x yf xyP x yQ x yg x的特解的特解注（小结）：注（小结）： 以上三个定理（尤其是定理以上三个定理（尤其是定理2和定理和定理3）给出了二阶线性微分）给出了二阶线性微分方程解的结构，对于二阶齐次线性微分方程，它的通解是由它方程解的结构，对于二阶齐次线性微分方程，它的通解是由它本身的两个线性无关的特解构成的；对于二阶非齐次线性微分本身的两个线性无关的特解构成的；对于二阶非齐

32、次线性微分方程，它的通解由它的一个特解和它对应的二阶齐次线性微分方程，它的通解由它的一个特解和它对应的二阶齐次线性微分方程的通解之和构成的。方程的通解之和构成的。 第四讲第四讲 微分方程微分方程3.二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程的解法0ypyqy由于方程是常系数的，而指数函数由于方程是常系数的，而指数函数 的导数为本身的倍数，因的导数为本身的倍数，因此我们设想方程有形如此我们设想方程有形如 的特解，其中的特解，其中 为待定的常数为待定的常数rxerxyer因为因为 ，故，故20rprq0rxe2()rxrprq e将将 代入原方程中，得代入原方程中，得2,rxrxr

33、xyeyreyr e2rxrxrxr epreqe（* *）由此可见，只要由此可见，只要 是方程（是方程（* *）的根，）的根， 就是上述微分方程的解就是上述微分方程的解rrxe 方程方程 称为二阶常系数齐次线性微分方程的称为二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程特征方程，20rprq特征方程的根称为特征方程的根称为特征根特征根对于特征根，由于是一元二次方程，所以有以下三种情形：对于特征根，由于是一元二次方程，所以有以下三种情形：两个不相等的实根两个不相等的实根12,r r两个相等的实根两个相等的实根12rr两个共轭复根两个共轭复根1,2ri第四讲第四讲 微分方程微分方程下面我们将三种不同情形下

34、的方程的通解总结如下表：下面我们将三种不同情形下的方程的通解总结如下表： 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 注：由上表可以看出，求解二阶常系数齐次线性微分方程注：由上表可以看出，求解二阶常系数齐次线性微分方程 等于就是求它对应的特征方程的根，然后根据根的不等于就是求它对应的特征方程的根，然后根据根的不 同情形依上表写出其通解的形式。同情形依上表写出其通解的形式。 由于二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是由它本由于二阶常系数非齐次线

35、性微分方程的通解是由它本身的一个特解与它对应的二阶常系数齐次线性微分方身的一个特解与它对应的二阶常系数齐次线性微分方程的通解之和构成的，所以这里我们先不做相关例题程的通解之和构成的，所以这里我们先不做相关例题第四讲第四讲 微分方程微分方程4.二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程的解法根据前面的定理根据前面的定理3，二阶常系数非齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程( )ypyqyf x的通解的通解 为它本身的一个特解为它本身的一个特解 加上它对应的二阶常系数加上它对应的二阶常系数齐次微分方程齐次微分方程 的通解的通解 y*y0ypyqyY*yYy即即对于通解对于通解 是非常好求的，但对于是非常好求的，但对于 却是不容易的却是不容易的*yY下面我们仅就下面我们仅就 的两种不同情况给出其特解的形式：的两种不同情况给出其特解的形式：( )f x( )( )xmf xP x e此时特解