第四章 贝塞尔函数

1、深圳大学电子科学与技术学院第四章：贝塞尔函数第四章：贝塞尔函数深圳大学电子科学与技术学院深圳大学电子科学与技术学院 几个微分方程的引入几个微分方程的引入 伽马函数的基本知识伽马函数的基本知识 贝塞尔方程的求解贝塞尔方程的求解 贝塞尔函数的基本性质贝塞尔函数的基本性质 贝塞尔函数应用举例贝塞尔函数应用举例本章提要本章提要: :参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院 贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外，贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以以19世纪德国天文学家世纪德国天文学家 F.W.B

2、essel 的姓氏命名，他的姓氏命名，他在在1824年第一次描述过它们。年第一次描述过它们。深圳大学电子科学与技术学院 德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784 年年7 月月22日生于日生于明登明登 ，1846 年年3月月17日卒于柯尼斯堡。日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业余学习天文、地理和数学。余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏

3、林科学院院士。年当选为柏林科学院院士。 贝塞尔的主要贡献在天文学，以贝塞尔的主要贡献在天文学，以天文学基础天文学基础（1818）为标志发展了）为标志发展了实验天文学实验天文学 ，还编制基本星表，还编制基本星表 ，测定恒星视差，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其

4、求值方法，为解决究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了布拉德布拉德莱星表莱星表，并加上了岁差和章动以及光行差的改正，并加上了岁差和章动以及光行差的改正 ; 还编制了包括比九等星还编制了包括比九等星更亮的更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成

5、著名的波恩巡天星表波恩巡天星表。 1837年，贝塞尔发现天鹅座年，贝塞尔发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置，正在非常缓慢地改变位置， 第二年，他宣布这颗星的视差是第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早弧秒，这是世界上最早 被测定的恒星视差之一。被测定的恒星视差之一。深圳大学电子科学与技术学院三维波动方程：22222222222azyxat三维热传导方程：)()(),(tTrutr222222222azyxat分离变量：（亥姆霍兹方程）022uku一、几个微分方程的引入一、几个微分方程的引入对u(r)，得到：深圳大学电子科学与技术学院xyzrcossinsincossinrz

6、ryrx球坐标下：022uku0sin1sinsin1122222222ukururrurrr深圳大学电子科学与技术学院，代入原方程设)()()(),(rRru0)()( 2m0)sin(sinsin1222mdddd0)(2222RrkdrdRrdrd球贝塞尔方程球贝塞尔方程022RdrdRrdrd欧拉方程欧拉方程k=0k=0深圳大学电子科学与技术学院0)sin(sinsin1222mdddd)()(cosxyx0)1()1 (2222yxmdxdyxdxd连带勒让德方程：勒让德方程：0)1 (22ydxdyxdxdm=0深圳大学电子科学与技术学院xyzrzzyxsincos柱坐标下：022

7、uku01)(1222222ukzuuu深圳大学电子科学与技术学院)()()(),(zZRzu0)()( 2m0)(2222222RmkddRdRd0)()( 2zZzZ贝塞尔方程贝塞尔方程)()()(22Rxykx022222ymxdxdyxdxydx深圳大学电子科学与技术学院)(,0)()()(bxayxyxqxdydxkxdd取：取：1)(0)(1)(xxqxk、022 ydxyd亥姆霍兹方程xxxmxqxxk)()()(2、02xyyxmdxdyxdxd参数形式的参数形式的贝塞尔方程贝塞尔方程取：取：=102xyyxmdxdyxdxdSturm-Liouville（ 施图姆-刘维尔）型

8、方程贝塞尔方程贝塞尔方程101)(2、qxxk0)1 (2ydxdyxdxd勒让德方程取：取：另一途径：另一途径：深圳大学电子科学与技术学院)0()(01xdttexxt定义：基本性质：)() 1(xxx）xxdttexetedtdttexxttxtxxt()(1(0100011证明：!) 1(nn1) 1 (00ttedte1) 1 (1)2(! 2)2(2)3(! 3)3(3)4(二、伽马函数的基本知识二、伽马函数的基本知识深圳大学电子科学与技术学院21求证：dttexxt01)(令t=u2dueuduedtteuut020212021222)()(21dxdyedvedueyxvu0)(

9、0002222242221rdrddxdyyxr222derdrdedxdyerrryx2000200)(0222222144421其它结论!2)!2(212nnnn!2)!12(12112nnnn深圳大学电子科学与技术学院)0(022222xyxdxdyxdxydx）（变系数的二阶线性常微分方程，其解称为贝塞尔函数阶贝塞尔方程01 222yxxyxy不能在x=0附近展开成幂级数，因为x=0是它的正则奇点对于变系数方程y+p(x)y+q(x)y=0，如果xp(x)、x2q(x)都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有广义幂级数解)0(00CxCykkckCk是展开系数，c是待定常数三

10、、贝塞尔方程的求解三、贝塞尔方程的求解深圳大学电子科学与技术学院02210)()(kkckkkcxCxCxCxCCxxy01)()(kkckxkcCxy 02)( ) 1()(kkckxkckcCxy代入贝塞尔方程0)()()( ) 1(02201022kkckkkckkkckxCvxxkcCxxkckcCx0)()( ) 1(0200SxCvxkcCxkckcCkkckkkckkkck)2(2202kmxCxCSmmcmkkck022222yvxdxdyxdxydx）（深圳大学电子科学与技术学院0)() 1()()()( ) 1() 1()()() 1()( ) 1() 1() 1()()(

11、 ) 1(22221221220222122122022221120221102110220200kkckkcckkckkkkcckkckkkckcckkckcckkckccmmcmkkckkkckkkckxCvkcCxvcCxvcCxCCvkcCkckcCxvcCxvcCxCxCvxCvxCvxkcCxcCcxCxkckcCxccCcxcCxCxCvxkcCxkckcC要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零深圳大学电子科学与技术学院)0(0)() 1 (022kCvc) 1(0) 1()2(122kCvc)2(0)() 3(222kCCvkckk0)(22vcvc将c=v代入(2)，得C1=

12、0先考虑c=v情况，代入(3)，得)2()2(2kvkkCCkk0)23( 3)23( 31233vCvCC07531CCCC(4)深圳大学电子科学与技术学院)1 (2)22(220222vCvCC)2)(1 ( ! 22)24(4)24(4402244vvCvCvCC)3)(2)(1 ( ! 32)26(6)26(6604266vvvCvCvCC)()3)(2)(1 ( !2) 1(202vmvvvmCCmmm一个特解为02200)()3)(2)(1 ( !2) 1(mvmmmkkckxvmvvvmCxCyC0为任意常数，通常取)1 (210vCv深圳大学电子科学与技术学院) 1()1 ()

13、1)(2() 1)(vmvvvvmvm0222(2)(2)( 1)2! (1)(2)(3)(1)()11( 1)2(1)2! (1)(2)(3)(1)()( 1)2!(1)(1)(2)(3)(1)()( 1)2!(1)mmmmvmmm vmm vCCmvvvmv mvvmvvvmv mvmvvvvmv mvmmv vmmmvxvmmxJ202)1(!) 1()(v阶第一类贝塞尔函数深圳大学电子科学与技术学院对于任意x(-,+)，0)1)(1(1lim2)()(lim21vmmxxuxummmmvmmmmmvxvmmxuxJy20012)1(!) 1()()(因此级数y1的收敛区间为 (-,+)

14、在x=0时，)0(0)0()0(1)0(vJvJvv令深圳大学电子科学与技术学院再考虑c=-v情况，得到vmmmvxvmmxJy2022)1(!) 1()(贝塞尔方程的通解为：)()(xBJxAJyvv其中v为实数（不是整数不是整数），A、B为待定系数称为第一类贝塞尔函数和)()(xJxJvv深圳大学电子科学与技术学院，故有为正整数或零时，当)!()1(nmnmv), 2 , 1 , 0(2! )( !) 1()(20nxnmmxJnmmmn20( 1)( )(0,1,2,)!(1)2m nmnmxJxnmmn 整数阶贝塞尔函数)() 1()(xJxJnnn经过证明，有是线性相关的和)()(x

15、JxJnnvxJvxJxYvvvsin)(cos)()(定义其中v不是整数sin)(cos)(lim)(xJxJxYv当v是整数时深圳大学电子科学与技术学院Yv称为第二类v阶贝塞尔函数（也称诺伊曼或牛曼函数），与Jv(x)是线性无关的v阶贝塞尔方程的通解：)()(xBYxAJyvv如果v不是整数，其通解还可表示为)()(xBJxAJyvv深圳大学电子科学与技术学院第二类贝塞尔函数的图象贝塞尔函数的图象贝塞尔、牛曼函数的图象深圳大学电子科学与技术学院深圳大学电子科学与技术学院深圳大学电子科学与技术学院求求方方程程例例0)()()()(2222 xynxxyxxyx 。的的通通解解，这这里里参参数

16、数0 ，则则原原方方程程可可以以变变成成作作变变换换解解xz 0)(22222ynzdzdyzdzydz0)(22222ynxxdydxxdydx为阶贝塞尔方程，其通解的看出它是关于nz)()(zYBzJAynn所所以以原原方方程程的的通通解解为为)()()(xYBxJAxynn 为任意实数。为任意常数，、其中，nBA从而得到其通解。可以化为贝塞尔方程，程，通过适当的变换，注：有许多二阶微分方深圳大学电子科学与技术学院四、贝塞尔函数的基本性质四、贝塞尔函数的基本性质1、生成函数：、生成函数：如果一个函数的级数展开式的系数是贝塞尔函数，则称该函数为贝塞尔函数的生成函数或母函数。nnnrxJrxf

17、)(),(如果有则称f(x,r)为Jn(x)的生成函数，r为参数整数阶贝塞尔函数的生成函数为nnnrxJrrx)(12exp深圳大学电子科学与技术学院2、贝塞尔函数的递推公式、贝塞尔函数的递推公式)()()()(11xJxxJxdxdxJxxJxdxdvvvvvvvv对任意v都成立)()(10 xJxJdxd)()(01xxJxxJdxd)()(111xJxdxxJxvvvv)()(111xJxdxxJxvvvv深圳大学电子科学与技术学院dxxxJ)(2积分利用递推公式，求不定得利用右式和分部积分，解：)()(1xJxxJxdxdvvvvcxJxxJxJdxxJdxxJxxJdxxJxxxJx

18、xxJxdxdxxJxxdxxxJ)(2)()(2)()(2)()(2)()()()(01011111112112212212 xxx拼凑：拼凑：udvvuvdu )()(12111xJxxJxdxdv 时，当：)()(010 xJxJdxdv时，有特别当：例1深圳大学电子科学与技术学院例2计算积分dxxJx)(14)()(111xJxdxxJxvvvv)()(1xJxxJxdxdvvvv)(2)()(2)()(2)()()()(332423242222222212214xJxxJxdxxJxxJxdxxxJxxJxxxJxdxdxxJxxdxxJx利用深圳大学电子科学与技术学院例3求证：)(

19、)(10axaJaxJdxd证明：利用)()(10 xJxJdxd)()()(10axJaxJaxdd)()(10axaJaxJdxd深圳大学电子科学与技术学院例4求证：)()(01axaxJaxxJdxd证明：利用)()(01xxJxxJdxd)()()(01axaxJaxaxJaxdd)()()()(011axaxJaxaxJaxddaxxJdxd)()(1xJxxJxdxdvvvv深圳大学电子科学与技术学院3、贝塞尔函数的零点、贝塞尔函数的零点的的值值。的的那那些些，是是指指使使所所谓谓贝贝塞塞尔尔函函数数的的零零点点xxJn0)( )(0 xJ)(0 xJx)(1xJ510 零零点点，

20、就就是是方方程程换换言言之之，贝贝塞塞尔尔函函数数的的理理方方程程时时，具具有有的的根根，它它在在求求解解数数学学物物0)( xJn)(xJnn，贝贝塞塞尔尔函函数数的的重重要要的的意意义义。对对于于给给定定，有有多多少少？它它们们是是怎怎样样是是否否存存在在零零点点？如如果果有有的的级级数数表表达达式式虑虑分分布布的的？为为此此，首首先先考考)(xJn)1(!2)1()(220 mnmxxJmnmnmmn )1(!2)1()(220 mnmxxxJmnmmmnn 部分是奇函数。的级数部分是偶函数，由此可见，)(xJn成成对对出出现现。然然以以原原点点为为对对称称中中心心，的的实实零零点点存存

21、在在的的话话，必必故故若若)(xJn这这样样一一个个特特征征。同同时时，还还应应注注意意：,0)0(,1)0(10 JJ零点的概念与初步印象零点的概念与初步印象)0(1 )0(2 )1(2 )1(1 深圳大学电子科学与技术学院)(0 xJ)(0 xJx)(1xJ510 些些重重要要结结论论：面面将将不不加加证证明明地地给给出出一一，有有一一系系列列的的定定理理，下下关关于于贝贝塞塞尔尔函函数数的的零零点点关于零点的几个结论关于零点的几个结论(1) Jn(x)有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x轴上是关于原点对称分布着的，因而Jn(x)必有无穷多个正的零点(2) Jn(x)的零点与Jn+1

22、(x)的零点是彼此相间分布的，即Jn(x)的任意两个零点之间必存在一个且仅有一个Jn+1(x)的零点(3) 当x的值充分大时，Jn(x)的两个相邻零点之间的距离接近，即Jn(x)几乎是以2为周期)()(10 xJxJdxd的的零零点点。的的极极值值点点，就就是是由由此此断断言言，)()(10 xJxJ深圳大学电子科学与技术学院)(0 xJx)(1xJ510），的的非非负负零零点点（表表示示换换一一种种说说法法：若若以以, 2 , 1)()( mxJnnm ，即即几几乎乎是是于于时时，其其结结果果无无限限地地接接近近当当则则 xnmnm)()(1的的图图形形如如下下与与为为周周期期的的周周期期函

23、函数数。以以)()(210 xJxJ 注意：这里的指标注意：这里的指标(n)，仅表示第仅表示第n 阶贝塞尔阶贝塞尔函数，不要与函数，不要与n 阶导数阶导数混淆。混淆。)(0 xJ ，也也有有类类似似的的结结论论。对对于于)(xYn深圳大学电子科学与技术学院)(0 xJx)(1xJ510 )(nm , 2 , 1 , 0)(nnn阶贝塞尔函数，阶贝塞尔函数，指指., 2 , 1 mmm，个零点个零点第第的的值值。的的那那些些是是指指使使阶阶贝贝塞塞尔尔函函数数的的零零点点，xxJnnnm0)()( )0(1 )1(1 )0(2 )0(3 。确确定定之之后后，即即为为一一常常量量、。一一旦旦零零点

24、点和和其其第第多多少少个个阶阶数数它它取取决决于于贝贝塞塞尔尔函函数数的的轴轴上上的的一一些些数数值值。是是分分布布在在简简言言之之，mnmnxnm,)( )1(2 深圳大学电子科学与技术学院算算出出来来，点点的的数数值值已已被被详详细细地地计计应应用用，贝贝塞塞尔尔函函数数正正零零为为了了便便于于工工程程技技术术上上的的个个正正零零点点的的前前出出了了并并列列成成了了表表格格。下下表表给给9)5 , 2 , 1 , 0()( nxJn的的近近似似值值：)9 , 2 , 1 , 0()( mnm 深圳大学电子科学与技术学院希望光纤传输单模，要求波导的归一化频率满足0V2.405。光纤（光导纤维

25、）是一种圆柱对称的介质光波导。纵向电场分量Ez满足)(002222kEkEzz01)(1222222zzzzEkzEErrErrr0)(2222222FrkdrdFrdrFdrziizeerAFzrE)(),(设后续课程中的一个应用：圆柱坐标系中深圳大学电子科学与技术学院4、贝塞尔函数的渐近公式,.)2 , 1 , 0(24cos2)(nnxxxJn深圳大学电子科学与技术学院5、贝塞尔函数的正交性、贝塞尔函数的正交性kmJRJRkmrdrRJrRJrnmnnmnnknnmnR当当)(2)(20)()()(212)(212)()(0说明，n阶贝塞尔函数在区间0,R 上带权r正交深圳大学电子科学与

26、技术学院贝塞尔函数是正交完备的，可以将一个定义在区间0,R的函数f(r)展开为1)()()(mnmnmrRJArf展开系数)(2)()()(1220)(nmnRnmnmJRdrrRJrrfA由此式所确定的 Am被称为傅立叶-贝塞尔系数傅立叶-贝塞尔级数深圳大学电子科学与技术学院例例1）上）上，在（在（的正零点，试将函数的正零点，试将函数是函数是函数设设101)()(), 2 , 1(0)0( xfxJmm 贝塞尔级数。贝塞尔级数。的傅立叶的傅立叶展成展成-)()0(0 xJm 解解 上上的的带带权权正正交交性性，在在并并利利用用函函数数系系，设设10)()()(1)0(0)0(01 mmmmm

27、rRJrRJArf )()(2)(21)1(1)(2)()()0(2110)0(0)0(10210)0(0)(1220)(mmmmnmnRnmnmJdxxxJJdxxJxJRdrrRJrrfA1, 0,Rnxr对本题而言，得得到到展展开开系系数数上式分子的积分：)0(m令深圳大学电子科学与技术学院因因此此，展展开开系系数数为为）（）（)0(1)0()0(21)0()0(1)0(2110)0(02)(2)()(2mmmmmmmmJJJJdxxxJA于于是是，展展开开式式为为1)0(0)0(1)0(21)(mmmmxJJxf）（）（)0()0(111021001020)()(11)()()(1)(

28、)(mmJJxdxJxdxxxJxxJ)()()()(10111xxJdxxxJxJxdxxJxvvvv深圳大学电子科学与技术学院例例2）上上，在在（个个正正零零点点，试试将将函函数数的的第第是是函函数数设设10)()(), 2 , 1(1)1(xxfmxJmm 贝贝塞塞尔尔级级数数。的的傅傅立立叶叶展展成成-)()1(1xJm ), 2 , 1()()R()(1)1(11)1(1mxJArJArfmmmmmm故设解解上的带权正交，在利用本征函数系10)(1)n(nmmrRJ)(21)()(21)1()(2)()(221012)1(11210)1(1)(1220)(JdxxJxJdxxJxxJ

29、RdrrRJrrfAmmnmnRnmnm其中，展开系数其中，展开系数1, 1,Rnxr对本题而言，)1(m令深圳大学电子科学与技术学院)(21)()(21)()(2)()(201012)1(2010)1(12)(1220)(JdxxJxJdxxJxJRdxxRJxfxAmmnmnRnmnm或或者者备用备用 上式分子的积分：上式分子的积分：依据基本递推公式依据基本递推公式,)()(1xJxxJxxddnnnn xdxJxm)()1(1210 )()()(1)()()(1)(210223101231012JxJxxdxJxdxxJx)(2)(2)(21)()(21)()1(2)1(22222210

30、12mmmJJJJJdxxJxA1)1(1)1(2)1()()(2mmmmxJJx展开系数展开式深圳大学电子科学与技术学院例例解解，半半径径为为圆圆柱柱，其其高高为为布布）由由导导体体壁壁构构成成的的空空（圆圆柱柱形形域域内内的的电电势势分分bh电电势势分分布布。零零，试试求求圆圆柱柱体体内内部部的的，侧侧面面和和下下底底的的电电势势为为设设上上底底的的电电势势为为 U z oxyxo 无无关关，边边界界条条件件与与角角度度以以采采用用柱柱坐坐标标系系。由由于于由由于于区区域域为为圆圆柱柱形形，所所 题题：是是归归结结为为求求下下列列定定解解问问两两个个自自变变量量的的函函数数，于于、只只是是

31、因因此此所所求求的的电电势势zu 0112222222 zuuuu )61. 4()0,20,0(012222hzbzuuu)62. 4(,00Uuuhzz)63. 4(0bu zRzuuu0,20,01)(122222 套路套路边界条件边界条件需需“翻译翻译”为为常常数数。这这里里，为为简简单单计计，设设U一、建立方程一、建立方程bbh深圳大学电子科学与技术学院)61. 4()0,20,0(012222hzbzuuu），分离变量，得，代入方程（应用分离变量法，令4.61)()(),(zZRzu21 ZZRRR由由此此得得)64. 4(02 ZZ)65. 4(0222 RRR 其通解为）为零阶

32、贝塞尔方程，方程（4.65)()()(00DYCJR，由由此此推推出出由由问问题题的的物物理理意意义义知知， u)66. 4()0(R取D=0第二类贝塞尔函数在=0不是有界的深圳大学电子科学与技术学院0)()(0bCJbR的正零点，有表示的零点。以是，由此可知即，)()(0)(0)0(00 xJxJbbJm0)()0(0 mJ 函数）下的本征值以及本征）、（）在条件（从而，得到方程（4.674.664.65)()0(bmm )()()0(0 bJRmm )2 , 1( m二、求本征值、二、求本征值、 本征函数本征函数由边界条件得)67. 4(0)(0bRub深圳大学电子科学与技术学院三、由叠加原理写出一般解。三、由叠加原理写出一般解。)64. 4(02 ZZ)65. 4(022 RRR ），可得的值代入方程（将上述4.64)exp()exp()()0()0(zbDzbCzZmmmmm从从而而)()exp()exp(),()0(0)0()0(bJzbDzbCzummmmmm）的解为）满足（由叠加原理，方程（4.634.61)61. 4()0,20,0(012222hzbzuuu)62. 4(,00Uuuhzz)63. 4(0bu )68. 4()()exp()exp(),(1)0(0)0()0(mmmmmmbJzbDzbCzu一般解：本征解：深圳大学电子