第二讲复变函数

1、第二节第二节 复变函数复变函数1、区域与Jordan曲线定义定义(区域区域)：具有下列性质的非空点集D称为区域，(1) 在D中的每一点z，都必有以这点为圆心的一个充分小的 圆包含于D内(开集性)(2) D内任意两点，都可以用一条由D内的点所构成的曲线进 行连通(连通性)在解析函数理论中，函数的定义域不是一般的点集，而是区域，区域是复变函数的基本概念。区域通常用不等式表述。例如： |z|r，表示以原点为中心，半径为r的圆内区域； 0arg(z)，表示实轴上部的上半空间； Im(z)0，表示实轴下部的下半空间定义定义(边界边界)：凡本身不属于D，而在它任意小邻域内都含有属于D的点的那些点，称做区域

2、D的边界点(界点界点)；而所有界点的集合称为边界边界；区域D连同它的边界合在一起称为闭区域(闭域闭域) 。D定义定义(边界的方向边界的方向)：如果沿着边界走，区域保持在边界的左方，则称走向为边界的正向边界的正向；反之称为边界的逆向边界的逆向。若x(t), y(t)为在, 连续的两个实值函数，则：( )( )zx tiy t表示复平面上的一条连续曲线。连续曲线。若t1t2有z(t1)=z(t2)，则称此z点为曲线的重点重点。定义定义(曲线曲线)：凡没有重点的曲线称为简单曲线简单曲线(Jordan曲线曲线)；而同时有z()=z()，则此简单曲线称为简单闭曲线简单闭曲线(Jordan闭曲线闭曲线)。

3、定义定义(连通连通)：如果在区域D内任意画简Jordan闭曲线，曲线所围内部的任意一点都属于D，则称区域D为单连通区域单连通区域；否则称为复连通区域复连通区域。2、复变函数例1: 1,(1)1nzwz wz wzwzz定义定义：设E为一复数集，如果E内每一复数z有唯一确定的复数w与之对应，则称在E上确定了一个单值函数单值函数w=f(z)(zE)。如果对于自变量z，对应着多个w，则称在E上确定了一个多多值函数值函数w=f(z)(zE)。这里E称为定义域定义域，而w的全体称为值域值域。例2: ,rg( )nwz wAz设w=f(z)定义在E上，并令z=x+iy,w=u+iv，显然，u,v皆为x,y

4、的函数，因而，一般可将复变函数表示为：( )( , )( , )f zu x yiv x y3、复变函数的极限和连续性定义定义：设函数f(z)在z0的邻域内有定义，如果存在复数A，对于任意正数存在正数，使当|z-z0|，有：称当 时f(z)的极限存在，记为：( )0，存在与z无关 的正数，使 中任意两点z1,z2，当|z1-z2|，则有：DD12( )() f zf zD*本定理对于区域D不一定成立。例4，设 定义在区域|z|1内。1( )1f zz很显然，在区域D内，函数连续，但函数在趋近 时，显然函数无界。1z 连续函数的和、差、积、商仍然为连续函数，连续函数的复合函数依然为连续函数。总

5、结1、区域与Jordan曲线 定义：区域、边界、曲线、连通性2、复变函数 定义：单值(多值)函数、3、复变函数的极限和连续性模 定义：极限、连续、连续函数 定理1(连续的充要条件)、定理2(连续函数的性质)第三节第三节 复球面与无穷远点复球面与无穷远点1、复球面 复数另外一种几何表示方法就是建立复平面与球面上的点的对应。N:北极，O:南极，则P(z)就建立起来球面上的点与复平面上的点的一一对应关系。在复平面上以原点为圆心做一圆周C，则在复球面上有一纬线与之对应，当圆周C的半径越来越大，复球面上的圆周就越来越靠近北极点，我们约定北极点与复平面上的一个模为无穷大的假想点(无穷远点)对应，并记为，复平面加上点称为扩充平面。扩充平面与复球面存在一一对应关系，原来的复平面称为开平面，扩充平面称为闭平面或全平面。2、闭平面上的几个概念在闭平面上，无穷原点的邻域应理解为以原点为中心的某圆周的外部，即的邻域是指合乎条件 的点集。1z由定义可以看出，开平面存在唯一的界点；而闭平面没有界点和边界，且是唯一无边界的区域。而在闭平面任何闭合圆周的外部都是但连通区域；对于开平面上任何闭合圆周的外部都是复连通区域。作业：