子午线轮胎设计的基本理论1

1、 2005.7主要内容一、轮胎结构的力学模型一、轮胎结构的力学模型二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算四、斜交轮胎形状力学四、斜交轮胎形状力学五、子午胎形状力学五、子午胎形状力学六、子午胎的非平衡轮廓理论六、子午胎的非平衡轮廓理论一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型1.子午线轮胎的结构一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型2.轮胎结构的力学模型(1)圆环梁模型B 圆环梁T 弹性体C 弹簧 D 刚性圆板 图1-1 圆环梁模型一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型(2).帘线网络模型a.内压仅由骨架材料

2、帘线来承担 图12 帘线-网络模型 一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型b.应力式中： 为轮胎子午方向应力； 为轮胎圆周方向应力； 为轮胎子午方向主曲率半径； 为轮胎圆周方向主曲率半径； 为轮胎表面垂线与断面对称轴夹角；为轮胎胎面半径； 为轮胎断面最宽点半径； 为轮胎充气压力。图13轮胎在内压作用下 平衡方程 pRRttsscos222RmRsRRRp stsRtRRRmRp一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型c.内轮廓曲线 y为内轮廓上任一点到断面对称轴的垂直距离；R为计算点半径；RRRmmRmRRRRdRRRy212222222)()()(一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型(

3、3).轮胎的薄膜模型 a.载荷是由帘线橡胶薄膜层伸张来支撑 ；b.计算关系式同帘线-网络模型； c.缺点： 1.不能分析几何形状，材料性能和载荷的陡峭变化； 2.不能计算印迹范围内横向剪切变形的影响； 3.不能预测重要的曲率变化和厚度突变部位的局部力。一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型(4).轮胎的薄壳模型 假设：1）壳体厚度相对于壳体表面和曲率半径来说是微小的；2）变形量相对于壳体尺寸来说也是很小的；3）壳体法向应力可忽略不计。壳体厚度方向的截面在壳体变形的前后始终保持一平面。 图14 轮胎的薄壳模型 一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型平衡方程wRRAAuRAAANdduRss)

4、1sin()cos(11112111211)cos(11111211RDDMDddRsQRNRRAAddQRsscos)1sin(1111222211221211221221111sincossin()() ()nA AAA AAuqRARA)()cos()(cos11121212112111112DDDDRQMDDDRddMRsuRddwRss11uAAAARQRNAAARddNRs)()cos(1)(cos111212221121111122112212211sincos)()sA AAwqrA一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型式中：qn和qs为薄壳外部载荷，u为切向位移，w为法向位

5、移， 为转角， 为横向剪切力， 为薄膜力， 为弯曲力矩。 和 为轮胎胎体各叠层的刚度。 为距离中间层为hk的第k层的应力应变矩阵的单元。叠合层的力与力矩与其曲率和中间层应变的通用关系为：式中： 为壳体中曲面应变， 为弯曲和扭转的变化。伸张的基本关系可由A矩阵提供，弯曲的基本关系可由D矩阵提供，而弯曲和伸张并存的基本关系可由B矩阵提供。 NQMijAijDpnkkkkijijhhQA11)()(pnkkkkijijhhQD11)()(31kijQ )(kkkrDDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAAMMMNNN000666261666261262221262221

6、161211162111666261666261262221262221161211161211000r, kkk，一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型(5).有限元模型 图15二维轴对称有限元模型 图16三维有限元模型 一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型(a).几何关系(b).虚功方程式中： 为克希霍夫应力；u为位移； 为初始构形时的面积力； 为初始构形时的力边界；E为Green应变； 为初始构形时的体积力； 为初始构形时的体积。(c).位移插值函数jkikijjiijuuuuE,21)6 , 2 , 1,(jiudAqUdVPEdVtAvv000000qtA00P0VNaU 一、

7、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型(d).应变增量式中：N是形状函数矩阵；a是插值参数，这里取为单元节点位移。B可分为两 部分之和：NBELBBB0LNB 0AGBL000000000121323321XXXXXXXXXLNXIXIXIG321000000000000000000000000000131211232221131211333231232221333231333231232221131211XuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuXuA一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型(e).平衡方程式中：是等效节点载荷。(f

8、).切线刚度矩阵： 式中：00RdVBTVKKKKLT0dVBDBKrTV0000dVBDBBDBBDBKLTTLrTLLTTVL)(000MGdVGKTV0一、轮胎结构的力学模型轮胎结构的力学模型(g).非线性方程组332322131211IIIIIIM0 RKTddDr二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型1.基本假设(1)充气胎轮辋点以上的断面内周长l0在变形中恒定不变；(2)充气胎断面内轮廓曲线在变形前后均可用椭圆弧描述。 二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型r k胎腔里半径；rc胎腔轮辋点半径；a椭圆内轮廓曲线径向半径；b轴向半径；c轮辋宽度之；rm椭圆断面水平轴半径；g(s) 带

9、束层内压分担率；bD带束层支撑宽度之半；RD带束层支撑宽度边缘点半；P充气内压；N胎体帘线总根数；Tb带束层周向内压总应力；TB钢丝圆周向内压总压力；TC胎体单根帘线张力。 图1 轮胎断面内轮廓示意图 二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型2.受力分析根据虚功原理式中，f(x)为带束层与胎体层间的接触压力 ；dm为胎里冠部顶点在径向发生一无限小的虚位移；dv为胎腔容积相应变化量；p为内压； Pdv为胎腔储能增量；d(x) 为接触压力f(x)的位移。 0220DbPdvf x dxr x d x ,kdxdm r xr二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型Pdv-2rkFdm=0 式中，F为胎冠

10、区断面周向单位长度所对应的带束段之总接触压力 。二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型3.胎腔容积4.轮辋点间椭圆胎里曲线弧长拟合5.令 ，可得( , , , ,)ckVf a b c r r222202243labcmc00dL (21)daEdmdbDedmdnEdm二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型式中222222222232283 283 2n acnbaba an bcnDmn b abbancn2221/ 2mnbDacnbEan b二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型6.带束周向总内压应力Tb 式中2bkkPdvTr FraZ HSQ Pdm222222222103/202

11、,11,2,3 2,sin1,3/8,21/ 2,1,23kccbmrr am nambclan Jabkmn Lb I cnmMacnbNDnJMaLb LnJKakbDMmbEsbaKaNZKb IaasSDEH023/22221,222121.3amEamamEbEKN EEmnbaa KKDEbb KQEaHsEkEmnasa sas 二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型7.钢丝圆周向内压总压力TB图2 周向力平衡考察 二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型YZ平面上周向力之平衡方程 式中，曲线ABMKMBA绕Y轴旋转 / 2生成的子午胎内腔曲面；d上的面元，其法向向外；i X轴向单

12、位矢量。2bBTTP d 二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型积分面为曲线MKM绕轴旋转 / 2而生成的曲面 。如果Tb0 ，2bBTTpid Tb + 2 T B = S0 P 式中 S0 = b ( 2 rm + a / 2 ) TB = （S0P - Tb）/ 2 TB = S0P / 2 （2-1）二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型8. 胎体单根帘线张力TC 假定带束层实际内压分担率分布（沿断面弧）为g(s)子午胎胎体帘线张力不仅连续、稳定，而且各处相等，轮辋仅提供轴向约束力，径向约束力则完全由钢丝圈提供，即胎体帘线绕过轮辋凸缘后于径向无损失地将其张力完全传递给钢丝圈。因此，钢丝

13、圈所受到径向力之周向密度为NTC/2rB。这里rB为钢丝圈半径，相应的钢丝圈周向应力为： （2-2）22CBBCBNTNTrTr2CBTTN二、建立在椭圆曲线基础上的薄膜网络模型轴向力平衡条件为对无带束子午胎：bD= 0，Tb= 0，RD= rk，且不涉及g(s)分布，可得：N TC= P （rk2 rm2），结合（2-2），可得: 结合（2-1），可得： rk2 rm2 = S0 （2-3） 2212DDrCDmRNTP Rrg szdz222BkmPTrr三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算 1.箍紧系数的定义 H-无带束层充气轮胎断面高度(按胎体第一层帘布计)； H-有带束层

14、充气轮胎断面高度。 HHKH三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算2.无带束子午胎平衡轮廓的一个几何特征 （3-1）dsrdz 图31轮胎剖面图0bbSrdz222222222mKrmrKmmrrrdrrrrr 22222222222222222112mmKKrrmKmmrrKmmKmd rrrrrrrrrrrr 三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算3.椭圆曲线与薄膜平衡轮廓曲线的比较表1 冠角3644时面积的比较三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算图3-2三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算表2 A0=90时椭圆曲线与薄膜平衡轮廓曲线的宽度比较三

15、、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算表3 A0=39左右时椭圆曲线与薄膜平衡轮廓曲线的宽度比较三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算表4 A0=90时椭圆曲线与薄膜平衡轮廓曲线的弧长比较三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算表5 A0=39时椭圆曲线与薄膜平衡轮廓曲线的弧长比较三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算图3-3三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算结论：1.两种不同的数学模式几乎有相同的面积S0和弧长l0,其间的微小差异不致影响到实际需要的计算精度；2.断面形状在水平轴以上二者极为接近，只是在水平轴以下靠近轮辋点附近才有较明显的差异

16、Z，特别是对于无带束子午胎的断面形状，二者在轮辋点附近差异较大。三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算4.回归校正公式a)A0=90度时： y=-0.002609034+0.0280236x2-2.236683 x1x3 +0.5090701x22-1.075544x2x3+2.7063x32 (3-2)b)A0=3644时：（Z1-Z2=yxRk） y=-0.0032292-0.5641067x1+0.111752x2+0.4166261x3- 3.597923x1+1.96383x1x2+7.061253x1x3- 2.424237x2x3-2.904175x32 (3-3) x

17、1=b/rk; x2=1-r/rk; x3=c/rk y=Z /rk三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算5.箍紧系数K的计算轮辋点的座标c，rc断面宽度之半b 胎里半径rk轮辋点间的帘线长度L 图3-4 椭圆轮廓曲线三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算 建立z r直角座标系，过轮辋点（c , rc）和胎冠点（0，rk）作椭圆，并使其轴向轴半径等于b 根据椭圆的解析式，经过简单地推导，可得 帘线长度采用下式近似计算： （3-4）kcmrr2211cbambcmkrra2nam222202243laccnc三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算根据椭圆关系，不难得

18、到：对（3-4）式二端微分，将dn代入并整理得： 2222220ab nb na c222()acnb damnbdbdnan b222222232()8()aan bcnna cn babd adb = Dda 2222222222322832832na cn babaanbcnDm nbabbancn三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算又2a = m + n， 对上式进行微分并整理得：令则 da = Edm db = DEdm如果m变化了m，近似地有： （3-5）2222mnbDacnbdadman b2221/ 2mnbDacnbEan b a = Em b = DEm a=

19、 a + a = a + Em b= b + b = b + DEm m= m + m三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算将（3-5）代入（3-1）式得：展开整理后令： 22kkrmrmaE m22kaE mbDE mbDE mrmaE m222112AD EE2122()2mkBbaD EbEr DEaEr Ea2222mkCabbraar三、子午胎箍紧系数的计算三、子午胎箍紧系数的计算24 /2mBBACA 123/1/kkkckkrrmxb rxrrxc r c = y rk c=c - c 四、斜交轮胎形状力学1、轮胎的帘线角度 ：帘线排列方向与轮胎断面轮廓线的夹角 ：帘线

20、排列方向与轮胎周向平行线的夹角 胎冠角 或 :在轮胎中周线上的帘线角 1帘线方向 2 中周线 3 周向平行线 4 断面轮廓线 5 车轮旋转轴 图4-1 轮胎胎体中的帘线位置 kk四、斜交轮胎形状力学（1）简单正弦定理 :半成品帘布筒帘线角度 :成品轮胎帘线角度 :半成品帘布筒单元帘线长度 :成品轮胎单元帘线长度 :帘布筒半径 :轮胎圆周角图4-2 轮胎中帘线的几何关系drdldl010帘布筒 （4-1）轮 胎 （4-2）dldr.sin001.sindldr四、斜交轮胎形状力学 假设帘线是非伸长即dl=dl1 （4-3） （4-4） （4-5） 00sinsinrr00sinsinrrkkkk

21、rrsinsin四、斜交轮胎形状力学 (2) 广义正弦定理 ：帘线假定伸长量 的影响因素：帘线本身的伸长率 轮胎制造过程的工艺 影响 因 素引起的“最短程线”效应 （4-6）dldl.1111dldrdldr11sin四、斜交轮胎形状力学 010sinsinrr010sinsinrrkk四、斜交轮胎形状力学 （4-7） （4-8） 2、轮胎的几何特性（1）双曲率旋转面的几何特性 通过胎面上某点M作两个相互垂直的平面与胎面相交 。最小的第一主曲率半径R1:与曲面径向相交线最大的第二主曲率半径R2:与曲面周向相交线第一主平面 对应R1第二主平面 对应R2四、斜交轮胎形状力学 图4-3 轮胎几何形状

22、和双曲率半径四、斜交轮胎形状力学 （2）断面轮廓曲线特性角特性角 ：轮胎断面轮廓曲线上某点的切线与横坐标夹角。或者是某点的法线与纵坐标的夹角 图4-4 轮胎断面轮廓曲线特性角四、斜交轮胎形状力学 （3）第一主平面内主曲率半径R1 图4-5断面单元弧长示意图四、斜交轮胎形状力学 dRds1sin/drdssin/1drdRdrddrdR)(cossin11 （4-9）四、斜交轮胎形状力学（4）第二主平面内主曲率半径R2cos/2rR（4-10）3、静平衡状态下轮胎单元的受力分析 图4-6 单元面积示意图四、斜交轮胎形状力学四、斜交轮胎形状力学周向应力 ：径向弧单位长度上作用的内力径向应力 ：周向

23、弧单位长度上作用的内力 图4-7轮胎上的应力NN四、斜交轮胎形状力学（1）径向力 图4-8 单元面积上的应力 1）、单元面积下边周向弧的径向力 2）、单元面积上边周向弧的径向力drNdpNdrNddrNddrrdNNdPdNN)()()(（2）周向力 1）单元面积左边径向弧上的周向力 2）单元面积右边径向弧上的周向力dRNdmN1dRdNNdmdNN1)()(四、斜交轮胎形状力学（3）剪切力 图4-9剪切应力 1）周向弧上两边的剪切力 (a) 沿下边周向弧上的剪切力 (b) 沿上边周向弧上的剪切力 2）径向弧上两边的剪切力 (a)沿着左边径向弧上的剪切力 (b)沿着右边径向弧上的剪切力drTd

24、rTddrT)(dRT1dRdTT1)(四、斜交轮胎形状力学四、斜交轮胎形状力学(4)外力 图4-10 单元上的外力1） 径向力2） 周向分力3） 法向分力（垂直于轮胎的曲面）FFnF四、斜交轮胎形状力学4、静力平衡微分方程（1）径向平衡微分方程 1）在单元面积dA上作用于周向弧长的一对径向力，合力为 图4-11单元面积上周向力的合力 drNddrNdrNddrN)()(四、斜交轮胎形状力学2）作用于径向弧长上的周向力，在单元面积dA上得到的合力为： 图4-12周向合力在单元面积上径向和法向的分力ddmNddmN2sin2 再将周向平面上的合力投影到单元面积dA上径向分力为：3）沿径向弧长剪切

25、力的合力为4）外力在径向上的分力为：5）径向平衡方程 （4-11）ddRNddmNsinsin1dRdTdTRdRdTT111)(0sin)(11ddrRFddTRddRNdrNdrddRFdAF1四、斜交轮胎形状力学四、斜交轮胎形状力学（2）周向平衡微分方程1）作用于径向弧长上的一对周向力的合力为：2) 沿周向弧长剪切力的合力为： 图4-13单元面积径向剪切力在周向上的合力dRdNdRNdRdNN111)(drTddrTdrTddrT)()(四、斜交轮胎形状力学3）沿径向弧长上的剪切力在周向的合力。此时要将单元面积看成一块扇形面积，求出单元面积上径向剪切力之间形成的夹角 。 则ddrdPMO

26、rrdPMOdPdsinMOrsin dd 求得周向合力为4）外力在周向上的分力为：5）周向平衡方程 （4-12）dmdTddmT2sin2ddRTsin1drdRFdAF1四、斜交轮胎形状力学0sin)(111ddRFddTRdrTddRdN四、斜交轮胎形状力学（3）法向平衡微分方程1）一对径向力在薄膜曲面的法向上存在合力为 图4-14单元面积上径向力在法向上的合力ddrNddrN2sin2 2）一对周向力在薄膜曲面的法向上也有合力，先得出周向力在周向平面上的合力为 （图4-11）。dmdN 四、斜交轮胎形状力学四、斜交轮胎形状力学然后把它投影到法向上去 ，求得其分力（图4-12 ）为cos

27、cos10ddRNdmdN 3）任何方向的剪切力在法向上没有分力。4）外力在法向上的分力为：5）法向平衡方程为： （4-13） （4-14）rddRFdAFnn10cos11drdRFdRNddrNnnnFRNRNFrNRN211cos四、斜交轮胎形状力学 将式（4-9）分别代入（4-11）、（4-12）和（4-13）得径向平衡方程 （4-15）周向平衡方程 （4-16）法向平衡方程 （4-17）0sinsin)(rFddTNdrrNd0sinsin2rFddNdrdTrTPRNRN21四、斜交轮胎形状力学 5、斜交轮胎充气自然平衡轮廓轮胎在充气时的外力力为： 径向分力 周向分力 法向分力 根

28、据薄膜理论的假设条件： 1）无弯曲刚度，剪切力 T=0 2）充气压力是作用在轮胎薄壁上的唯一外力 径向平衡方程 （4-18）0F0FPFn0)(NdrrNd四、斜交轮胎形状力学 周向平衡方程 （ 4-19）法向平衡方程 （4-20） （4-21）drrNNNPdcoscos)(cosPRNRN210sinddN四、斜交轮胎形状力学（1）径向力 的求解由（4-18 ）可得：代入法向平衡方程式（4-20）消去 得出：NdrrNdN)(drrdNrPdrrNdcoscoscos)(drrPdrNrNdcoscos)(drrPrNd)cos(crPrN2cos2四、斜交轮胎形状力学N 当r=rm时 （4-22）2PrCm22PrrrNmcos222四、斜交轮胎形状力学（2）周向力将式（4-22）代入（4-21）得 （4-23）cos2)(cos1221rRPrrPRNPrNm2122cos2)(cosRPrrrPNm四、斜交轮胎形状力学（3） 的求解由式 （4-20 ）可