大工机械工程 第2章系统的数学模型_01

1、223232(1)324(2)263(3)5564yxd ydydxyxdtdtdtd yd ydyyxdtdtdt2222(4)33(5)yxxyxd ydyyxdtdt O -y1 +y1 +y2 -y2 y(t) x(t) 3.消去中间变量，列出各变量间的关系式。消去中间变量，列出各变量间的关系式。最后得到只包含最后得到只包含输入量和输出量输入量和输出量的方程的方程式。式。 4.化成标准形式，即化成标准形式，即输出量放在方程式的输出量放在方程式的左端，而输入量放在方程式的右端左端，而输入量放在方程式的右端，且各，且各阶导数项其阶次依次按幂排列阶导数项其阶次依次按幂排列 * 建立数学模型的

2、基础：建立数学模型的基础： 机械运动：机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理牛顿定理、能量守恒定理 电电 学：学： 欧姆定理、基尔霍夫定律欧姆定理、基尔霍夫定律 热热 学：学： 传热定理、热平衡定律传热定理、热平衡定律0imxF xmx机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素质量质量 m m ( )x t 参参考考点点 ( )v t ( )mft 22( )( )( )mddftmv tmx tdtdt弹簧弹簧 k1212( )( )( )( )( )( )( )kttftk x tx tkx tkv tv tdtkv t dt k 参考点参考点 参考点参考点 1( )v t 1( )x t 2(

3、 )v t 2( )x t ( )kft ( )kft f 参考点参考点 参考点参考点 1( )v t 1( )x t 2( )v t 2( )x t ( )fft ( )fft 1212( )( )( )( )( )( )( )fftf v tv tfv tdx tdx tfdtdtdx tfdt 22( )d xdxmfkxf tatdtm f(t) x f 平移系统平移系统 k 2k 1k ox ix 图 c f o 2k 1k ox ix 图 b f 1f m 2f ox ix 图 a 解：（解：（1）对图）对图a所示系统，所示系统，由牛顿定律有由牛顿定律有12122ddd()dddo

4、oixxxmfffttt即即1222ddddddddioooxxxxffmttttx 1f m 2f ox ix 图 a 1dd()ddioxxxx kftt 消除中间变量消除中间变量x有有12121dd()ddoioxxf kkk k xfktt（2）对图）对图b所示系统，引所示系统，引入一中间变量入一中间变量x并由牛顿定并由牛顿定律有：律有：2ddddooxxfk xtt 2k 1k ox ix 图 b f x (3)对图对图c所示系统，由牛顿所示系统，由牛顿定律有定律有即即121dd()ddoioixxfkk xfk xtt 2k 1k ox ix 图 c f 12ddddioiooxx

5、fkxxk xttJ T fJ 回转系统回转系统 kJ 123TTTT212dTJdt 2JdTfdt 3JTk 22JJddJfkTdtdt m x f k y 加速度计原理图加速度计原理图 22dd0ddyxymfkytt 2222ddddddyyxmfkymmatttmaky kyam M L Tm J1 1 z1 T1 T3 T2 T4 TL z3 z2 z4 J2 2 J3 3 f1 f2 f3 原始轮系原始轮系 1111122222343333mLTJfTTJfTTJfT212121123341433213424 = =zzTTzzzzzzTTzzz z ， 11113122223

6、33324mLTJfzzJfJfTzz2231112312242233111123122424mLzzzTJJJzz zzzzzzfffTzz zz z 22311123224eqzzzJJJJzz z 22311123224eqzzzffffzz z3124LeqLzzTTz z 11meqeqLeqTJfT M Leq Tm TLeq LeLeq 1 feq 等效轮系等效轮系 Jeq o2( )( )u tR i t 11 21( )( )i t dtR i tC o1 2( )( )( )iu tu tR i t12( )( )( )i ti ti tC R1 i2(t) i(t) i1

7、(t) R2 ui(t) uo(t) 图图 2-4 无源电路网络无源电路网络 将方程联立求解，消去中间变量将方程联立求解，消去中间变量后，即可得到以后，即可得到以为输入量，以为输入量，以为为输出量的电路微分方程式，即：输出量的电路微分方程式，即： 12112( )( )( )( )oioidu tdu tRRR Cu tCRu tdtRdt K0 i2(t) 图图 2-5 有源电路有源电路uo(t) C A - R ui(t) i1(t) B + ( )( )0AButut12( )( )i ti t 1( )( )( )( )iAiu tutu ti tRR 输出电压与电容上电压的关系为输出

8、电压与电容上电压的关系为( )( )oCu tut 2( )( )Cduti tCdt 据此，可列出据此，可列出2( )( )odu ti tCdt ( )( )iou tdu tCRdt 所以所以即即( )( )oidu tu tCdtR 图示系统中，图示系统中，ei(t)为电动机电枢输入电压，为电动机电枢输入电压， o(t)为电为电动机输出转角，动机输出转角，Ra为电枢绕组的电阻，为电枢绕组的电阻，La为电枢绕为电枢绕组的电感，组的电感，ia(t)为流过电枢绕组的电流，为流过电枢绕组的电流，em(t)为电动为电动机感应电动势，机感应电动势，T(t)为电动机转矩，为电动机转矩，J为电动机及负

9、为电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量，载折合到电动机轴上的转动惯量，f 为电动机及负载为电动机及负载折合到电动机轴上的粘性阻尼系数。折合到电动机轴上的粘性阻尼系数。( )( )( )( )aia aamdi te tR i tLetdt( )( )T aT tK i t ( )( )omedtetKdt 22( )( )( )oodtdtT tfJdtdt22( )( )( )ooaTTdtdtJfi tKdtKdt 3232( )( )( )( )ooaaaoaTeTidtdtL JL fR JdtdtdtR fK KK e tdt 22( )( )( )ooaaTeTidtdtR JR

10、 fK KK e tdtdt( )( )oeidtKe tdt M ps pL=p1p2 p2 q1 qL A x y 图图 2-7 阀控液压缸液压伺服系统阀控液压缸液压伺服系统 p f p q2 p1 qL 02LdppC A 2SLppp SLLdppqC x d ,LLqfx p pL0 qL0 x0 O p q x 图图 2-8 qL=f(x,pL)曲线曲线 000,LLqfpx 000000(, )(, )(,)LLLLLLLLx xx xLppppLf p xf p xqf pxxpxp 00(, )LLLqx xppf p xKx 00(, )LLLcx xppLf p xKp

11、LqcLqK x K p LdyqAdt 22Ldydyp A Mfdtdt 22ccqdydyK MK fAKxAdtAdt 00000020000100(,)(,)() (,)1()(,)2!1()(,)(1)!1()(,)(2)1 !nnnnf xh ykf xyhkf xyxyhkf xyxyhkf xyRnxyRhkf xh yknxy 其其中中 （ 时间函数时间函数f(t)，当，当t0时，时， f(t)=0， t0时，时， f(t)的拉的拉氏变换计为氏变换计为Lf(t)或或F(s)，且定义为，且定义为 0( )( )( )stL f tF sf t edt ( )atf tMe 0

12、(0)1( )1(0)ttt )(tf t O 1 （a） 单位阶跃函数单位阶跃函数 图图2-9函数曲线函数曲线 00011111ststsLtt edteseess 00( )0ttt ( )1t dt ( ) ( )(0)t f t dtf )(tf t O )(t （b）单位脉冲函数）单位脉冲函数 图图2-9函数曲线函数曲线 00( )( )1ststtLtt edte 00( )0tf ttt 0( )stF stedt udvuvvdu令令 ststeutdvedtdudtvs )(tf t O （c）单位斜坡函数）单位斜坡函数 图图2-9函数曲线函数曲线 2000111( )0st

13、ststeeF stedtsssss ()00()011atatsts a ts a tL ee e dtedtes as a cossincossinjjejej sin2cos2jjjjeejee 0022sinsin21112j tj tststeeLttedtedtjjsjsjs 0022coscos21112j tj tststeeLttedtedtjssjsjs 22s 1s21sate 1sa atte 21sa 表表2-1常用函数的拉氏变换对照表常用函数的拉氏变换对照表1!nns 1atbteeba 1sasb22ss (1 2 3)ntn ， (1 2 3)natt en ，

14、 1!nnsa 1btatbeaeba ssasb 111atbtbeaeabab 1s sasb22sin11ntnnet 2222nnnss 22sa 21(1)atatea 21ssa sinatet cosatet 22sasa 2221sin111arctanntnet 2222nnns ss 22211sin111arctanntnet 222nnsss为常数为常数 ，则则112211221122( )( )( )( )( )( )L k f tk f tk L f tk L f tk F sk F s ()( )asL f taeF s 式中式中f(t-a)为函数为函数f(t)延

15、迟时延迟时间间a之后的函数，如图之后的函数，如图2-10所示，当所示，当ta时时f(t)=0。证明：设证明：设(t-a)= 则：则： 0()00()()( )( )( )stsaassasL f taf ta edtfedefedeF s 设设 ，对任一常数，对任一常数a（实数或复数），有（实数或复数），有 ( )()atL ef tF sa 证明：证明： 0()0( )( )( )()atatsts a tL ef tef t edtf t edtF sa 此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏此定理常常在计算有指数函数项的复合函数的拉氏变换时用到。变换时用到。 sinatet 22s

16、in()atL etsa 22cos()atsaL etsa 1!()atnnnL etsa 1()sL f atFaa （2-31） 0()()stL f atf at edt at ()001()( )11( )sasaL f atfedasfedFaaa ( )( )(0 )df tLsF sfdt 0( )( )stdf tdf tLedtdtdt udvuvvdustue ( )df tdvdtdt,stdusedt ( )vf t 00( )( )( )( )(0 )ststdf tLef tsf tedtdts F sf 22(1)2( )( )(0 )(0 )d f tLs F

17、 ssffdt12(1)(2)(1)( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )nnnnnnnd f tLs F ssfsfsffdt ( )( )nnndf tLs F sdt 32325624d yd ydydxyxdtdtdtdt325( )6( )( )2 ( )4( )( )s Y ss Y ssY sY ssX sX s( 1)11( )( )(0 )Lf t dtF sfss ( 1)(0 )f(f tdt ）0( )( )stLf t dtf t dtedt ( ),stuf t dtdvedt 1( )stduf t dtves ，00( 1)11( )( )( )11(0

18、)( )ststLf t dtef t dtf t edtssfF sss 2( 1)( 2)22111( )()( )(0 )(0 )Lf t dtF sffsss ( 1)( 2)()1( )()1111( )(0 )(0 ).(0 )nnnnnLf t dtF sfffssss 式中式中 为式中为式中f(t)的的各重积分在各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有时的值，如果这些初值为零，则有 1( )( )nnLf t dtF ss0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s 0( )( )( )(0 )stdf tdf tLedtsF sfdtdt 0( )limli

19、m( )(0 )0stssdf tedtsF sfdt 0(0 )lim( )lim( )tsff tsF s 0( )lim0stsdf tedtdt ( )atf te ate 0(0 )lim1attfe 1atL esa 1(0 )lim1sfssa 8终值定理终值定理 0( )lim( )lim( )tsff tsF s 0( )( )( )(0 )stdf tdf tLedtsF sfdtdt 0000( )lim( )( )( )(0 )stsdf tedtdf tf tffdt 0lim( )0( )(0 )ssF sfff （ ）0( )lim( )lim( )tsff ts

20、 F s 25( )(2)F ss ss 20055( )lim( )lim( )lim22tssff tsF sss ( )( )dL tf tF sds 0( )( )( )stdL tf tF sf t edtds 00( )( )( )( )ststdF sf tt edtdstf t edtL tf t ( )( )sf tLF s dst 00000( )( )( )1( )( )( )ststsssststF s dsf t edtdsf t dtedsf tf tf t dteedtLttt 设设F(s)=Lf(t)；G(s)= Lg(t)0() ( )( ) ( )tLf t

21、gdF s G s （2-42） 0() ( )( )* ( )tf tgdf tg t f(t)和和g(t)000() ( )( ) ()( ) ()( )( )tttf tgdfg tdfg tdg tf t ( )* ( )( )*( )f tg tg tf t 01tf ttf tt )(tf t O 1 000() ( )() ( )ttstLf tgdf tgdedt 00() ( )()1() ( )tf tgdf ttgd 0000000() ( )()1() ( )( )()1()( )()tstststLf tgdf ttgd edtgdf ttedtgdf tedt 00

22、0()0000() ( )( )()( )( )( )( )( )( )tstsssLf tgdgdf tedtgdfedgedfedG s F s 11( )( )( )2rjstrjLF sf tF s e dsj （2-43） 如某一原函数如某一原函数的象函数为的象函数为,可以把可以把分解分解成一些分量之和，即成一些分量之和，即 121( )( )( )( )( )nnF sF sF sFsF s 式中的式中的F1(s)、 F2(s)、 、 Fn-1(s)、 Fn(s)又很容又很容易由表易由表 2-1得到所对应的原函数得到所对应的原函数f1(t) 、f2(t) 、 fn-1(t) 、 f

23、n(t) ，即，即11111121121( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnf tLF sLF sLF sLFsLF sf tf tftf t 121210121210( )( )( )mmmmmmnnnnnnb sbsbsb sbB sF sA sa sasasa sa（2-44） 123( )()()()()nA sspspspsp（2-45） 1212( )( )( )nnAAAB sF sA sspspsp由于极点由于极点可为实数或复可为实数或复数，所以系数数，所以系数 -1也也可为实数或复数。这些系数有的书又称可为实数或复数。这些系数有的书又称留数留

24、数。求留。求留数的方法可分为下面三种情况研究。数的方法可分为下面三种情况研究。 ( )()()()( )()()kk12kkk12spknkkkknspAAB sspspspA sspspAAspspAspsp ( )()( )kkkspB sAspA s53( )(1)(2)(3)sF ssss 31253( )(1)(2)(3)123AAAsF sssssss 115( 1)3( )(1)1(21)(31)sAF s s 225( 2)3( )(2)7(12)(32)sAF s s 335( 3)3( )(3)6(13)(23)sAF s s 1123176( )( )12376tttf

25、tLF sLssseee 176( )123F ssss 312123( )( )( )()()nnAAsB sF sA sspspspsp 113121212312( )()()()()().( )()()spnspnAB sspspsspspA sspAspspsp 111212( )()()()( )spspB ssspspA s因为因为p1是一个复数值，方程两边也都是复数值。使是一个复数值，方程两边也都是复数值。使方程（方程（2-49）两边的实数部分相等）两边的实数部分相等，得到一个方程。，得到一个方程。同样，同样，使方程两边的虚数部分相等使方程两边的虚数部分相等，得到另一个，得到另一

26、个方程，根据这两个方程就可以确定方程，根据这两个方程就可以确定和和。21( )(1)sF ss ss 12221( )(1)(1)ssAF ss sssss 21(0.50.866)(0.50.866)sssjsjs0.5 j0.866s0.5 j0.8661()()12s ss 120.50.866( 0.50.866)0.50.866jjj 120.50.50.5120.8660.8660.866 121 121 11 20 2011(1)ssAss ss 22222110.50.5( )1(0.5)0.866(0.5)0.866ssF sssssss 10.50.5( )( )1cos0.8660.578sin0.866ttf tLF setet(0)t 112( )() ()().()rrrnA sspspspsp1111112112( )( )( )()()rrrrnrrrrnAAB sF sA ssp